Задача по "Эконометрике"

Задание для выполнения практической работы

Работа включает в себя анализ реальных экономических данных при помощи изученных эконометрических моделей. Требования к содержанию работы:

1. Расчет показателей тесноты связи между, как минимум, тремя экономическими показателями из статистических данных по выборке не менее 15 наблюдений (из Интернета, печатных источников и Вашего предприятия). Формирование гипотезы о взаимосвязи этих показателей. Выбор зависимой (объясняемой) переменной. Выбор объясняющей переменной для парной регрессионной модели. При необходимости из выборки следует исключить «выбросы».
2. Определение и графическое изображение регрессионной зависимости между рассматриваемыми показателями по методу метод выбранных точек и МНК линейная модель и любая на выбор (квадратичная, логарифмическая). Оценка адекватности построенной модели. Интерпретация, выводы.
3. Построение регрессионной модели с 2-мя объясняющими переменными (одна может быть фиктивной). (как вариант – модель с фиктивной зависимой переменной) Определение и сравнение адекватности модели с парной регрессией.
4. Проверка модели на отсутствие гетероскедастичности и автокорреляции.

 

 

Решение:

№ завода	Произведено продукции, тыс. шт.	Общая сумма затрат, млн. руб.	Среднесписочное число работников, чел.
1	900	810	6525
2	187	160	1712
3	416	400	3502
4	1105	860	7868
5	211	190	2835
6	1066	820	5632
7	610	510	3730
8	875	700	7645
9	1126	870	7779
10	136	150	1943
11	412	400	3912
12	794	610	5881
13	418	430	3805
14	275	290	3413
15	460	360	4111
16	1130	860	7755
17	718	650	5782
18	220	270	2815
19	559	510	3725
20	710	580	5680

Строим эконометрическую модель, которая относится к классу факторных статических моделей:

y=f(x₁,x₂) 

где x₁ – общая сумма затрат (объясняющая переменная)

x₂ – среднесписочное число работников (объясняющая переменная)

y – объем продукции (зависимая переменная)

Чтобы убедиться в том, что выбор объясняющих переменных оправдан, оценим связь между признаками количественно, для этого заполним матрицу корреляций:

 

	y	X1	X2
y	1
X1	0,987916181	1
X2	0,945787045	0,942741375	1

Анализируя матрицу корреляций, можем сделать вывод о наличии  сильной положительной связи  между объемом производства и общей суммой затрат. Поэтому модифицируем модель к виду парной регрессии:

y=f(x₁) 

Для выбора функциональной формы модели проанализируем корреляционное поле:

 

Визуальный анализ показывает, что для построения модели вполне подойдет линейная функция:

y=α₀ + α₁x₁ + ε

Проведем оценку параметров модели при помощи различных способов.

Метод выбранных  точек. Проанализируем корреляционное поле и выберем точки, которые ближе всех лежат в предполагаемой прямой линии, описывающей модель. Это будут точки 7 (510;610) и 20 (580;710).

Рассчитаем параметры  модели:

уравнение регрессии выглядит следующим образом:

y=-118,57+1,43x₁+e

 

 

 

 

 

Метод наименьших квадратов. Для применения этого метода составим вспомогательную таблицу:

№п/п	x	y	x2	xy
1	810	900	656100	729000
2	160	187	25600	29920
3	400	416	160000	166400
4	860	1105	739600	950300
5	190	211	36100	40090
6	820	1066	672400	874120
7	510	610	260100	311100
8	700	875	490000	612500
9	870	1126	756900	979620
10	150	136	22500	20400
11	400	412	160000	164800
12	610	794	372100	484340
13	430	418	184900	179740
14	290	275	84100	79750
15	360	460	129600	165600
16	860	1130	739600	971800
17	650	718	422500	466700
18	270	220	72900	59400
19	510	559	260100	285090
20	580	710	336400	411800
сумма	10430	12328	6581500	7982470
среднее	521,5	616,4	329075	399124

Составим систему для  расчета значений параметров:

Решив эту систему, получаем значения

a₀ = -92,82

a₁ = 1,36

Линия регрессии описывается  уравнением: y=-92,82+1,36x₁+e

 

Оценку адекватности модели в целом проведем для каждой из выбранных моделей:

№п/п	x1	y			e2
			МВТ	МНК	МВТ	МНК
1	810	900	1039,73	1008,78	690,6	620,9
2	160	187	110,23	124,78	415,7	390,0
3	400	416	453,43	451,18	210,9	286,7
4	860	1105	1111,23	1076,78	164,0	54,2
5	190	211	153,13	165,58	17,6	33,0
6	820	1066	1054,03	1022,38	40,8	45,5
7	510	610	610,73	600,78	107,8	81,9
8	700	875	882,43	859,18	0,0	5,6
9	870	1126	1125,53	1090,38	182,7	161,0
10	150	136	95,93	111,18	51,6	40,5
11	400	412	453,43	451,18	0,0	56,7
12	610	794	753,73	736,78
13	430	418	496,33	491,98
14	290	275	296,13	301,58
15	360	460	396,23	396,78
16	860	1130	1111,23	1076,78
17	650	718	810,93	791,18
18	270	220	267,53	274,38
19	510	559	610,73	600,78
20	580	710	710,83	695,98
сум.	10430	12328	12543,5	12328,4	1881,7	1776,1
ср.	521,5	616,4	627,175	616,42	171,1	161,5

На основе таблицы для  каждой модели по формуле 

(3.25) рассчитаем значение  дисперсий случайного остатка,  а по формуле (3.26) – значения  коэффициента детерминации. Результат  запишем в таблицу:

Таблица 5

Оценка адекватности моделей  парной регрессии

№п/п	Метод расчета	Дисперсия случайного остатка (s2e)	Коэффициент детерминации (R2)
1.	Метод средних	10355,2	-14,509
2.	Метод проб	450,8	0,325
3.	Метод выбранных точек	188,2	0,718
4.	Метод наименьших квадратов	177,6	0,734

Как видно из таблицы, наилучшее  качество имеет модель, построенная  по методу наименьших квадратов.

Следующие этапы оценки качества проведем только для этой модели.

Для нее расчетное значение F-критерия равно:

, а соответствующее критическое  значение (приложение 3) – F_0,05;1;9 = 5,117. Поскольку расчетное значение больше критического, то модель признается статистически значимой.

Вычислим дисперсии оценок коэффициентов регрессии. Для этого воспользуемся формулами (3.30) и (3.31):

Стандартные ошибки коэффициентов  регрессии будут равны:

 

Оценим статистическую значимость коэффициентов регрессии. Для этого рассчитаем t-статистику для каждого коэффициента (см. формулу 3.27):

Сравним с критическими значениями, взятыми из таблицы (приложение 2):

Таблица 6

Критические значения t-статистики

№п/п	α (уровень значимости)
1.	0,1	2,26
2.	0,05	2,69
3.	0,01	3,69

Можно сделать вывод, что  коэффициенты регрессии статистически  значимы при 1 %-м уровне значимости.

Оценим доверительные интервалы для коэффициентов регрессии при разных уровнях значимости. Для этого воспользуемся формулами (3.33) и (3.34). Результат расчета занесем в таблицу:

Таблица 7

Доверительные интервалы  для коэффициентов регрессии  
при различных уровнях значимости

№п/п	Уровень значимости	Коэффициент	Доверительный интервал
1.	0,1	a0	(45,0;66,0)
2.		a1	(0,21;0,54)
3.	0,05	a0	(43,1;68,0)
4.		a1	(0,18;0,57)
5.	0,01	a0	(38,4;72,6)
6.		a1	(0,11;0,64)

Рассчитаем доверительные интервалы для зависимой переменной. Для этого воспользуемся формулами (3.35) – для расчета доверительного интервала для среднего значения и (3.36) – для расчета доверительного интервала для индивидуальных значений. Результаты расчета для 5 %-го уровня значимости представлены в таблице и на графиках:

Таблица 8

Доверительные интервалы  для зависимой переменной (уровень  значимости – 5%)

№п/п	x	y		доверительный интервал
				для среднего значения		для индивидуального значения
				нижний предел	верхний предел	нижний предел	верхний предел
1	-75	35	27,3	4,06	50,61	-15,35	70,02
2	-18,9	46	48,4	33,80	63,02	9,76	87,06
3	0,1	65	55,5	43,10	67,99	17,66	93,43
4	9,6	65	59,1	47,47	70,76	21,48	96,74
5	31,2	74	67,2	56,43	78,02	29,85	104,60
6	36,3	49	69,1	58,33	79,96	31,76	106,52
7	39,8	58	70,5	59,58	81,34	33,06	107,86
8	49,5	49	74,1	62,82	85,38	36,58	111,62
9	53	81	75,4	63,93	86,90	37,83	113,00
10	68,7	98	81,3	68,47	94,15	43,29	119,33
11	162,4	124	116,5	89,32	143,69	71,57	161,45
сумм.	357	745	745