Ықтималдық теориясы

Ықтималдылық  Теориясы – кездейсоқ бір оқиғаның ықтималдығы бойынша онымен қандай да бір байланыста болатын басқа бір кездейсоқ оқиғаның ықтималдығын анықтауға мүмкіндік беретін математика білімі. Ықтималдылық теориясында кездейсоқ құбылыстардың заңдылығы зерттеледі. Кездейсоқ құбылыстарға анықталмағандық, күрделілік, көп себептілік қасиеттері тән. Сондықтан мұндай құбылыстарды зерттеу үшін арнайы әдістер құрылады. Ол әдістер мен тәсілдер Ықтималдылық теориясында жасалынады. Мысалы, біркелкі болып келетін кездейсоқ құбылыстарды жан-жақты бақылай отырып қандай да болмасын бір заңдылықты (тұрақтылықты), яғни статистик. заңдылықты байқаймыз. Ықтималдылық теориясының негізгі ұғымдары элементар ықтималдылық теориясы шегінде қарапайым түрде анықталады. Элементар ықтималдылық теориясында қарастырылатын әрбір сынау (Т) Е1,Е2, ...,Еs оқиғаларының тек қана біреуімен ғана аяқталады. Бұл оқиғалар сынау нәтижесі (қорытындысы) деп аталады. Әрбір Еk нәтижесімен оның ықтималдығы деп аталатын рk оң саны байланыстырылады. Бұл жағдайда рk сандарының қосындысы бірге тең болуы керек. А оқиғасы тең мүмкіндікті бірнеше оқиғаларға (Еі ,Еj , …, Еk) бөлінеді және олардың кез келген біреуінің (не Еі , не Еj ,…, не Еk) пайда болуынан А оқиғасының пайда болуы шығады. Сынау нәтижесінде А оқиғасы бөлінетін мүмкін мәндері (Еі E,j , …, Еk) осы оқиғаға (А-ға) қолайлы жағдайлар деп атайды. Анықтама бойынша А оқиғасының р(А) ықтималдығы оған қолайлы жағдайлар нәтижелері ықтималдықтарының қосындысына тең деп ұйғарылады: P(A)=Pі+Pj+...+Pk (1) Дербес жағдайда р1=р2=...=рs=1/s болғанда Р(А) =r/s (2) болады. А оқиғасына қолайлы жағдайлар нәтижесі санының (r) барлық тең мүмкіндікті нәтижелер санына (s) қатынасы А оқиғасының ықтималдығы деп аталады. (2) формула ықтималдықтың классикалық анықтамасын өрнектейді. Бұл анықтама “ықтималдық” ұғымын дәл анықтамасы берілмейтін “тең мүмкіндік” (тең ықтималдық) ұғымына келтіреді. Тең мүмкіндік немесе тең ықтималдық ұғымдары алғашқы ұғымдарға жатады.Олар логикалық (формалды) анықтама беруді қажет етпейді. Егер жалпы сынау нәтижесінде бірнеше оқиғалар пайда болса және олардың біреуінің пайда болу мүмкіндігінің екіншісіне қарағанда артықшылығы бар деп айта алмасақ (яғни сынаулар нәтижесінде симметриялы қасиеті болса) онда мұндай оқиғалар тең мүмкіндікті делінеді. Элементар ықтималдылық теориясының негізгі формулаларының қатарына ықтималдылықтардың толық формуласы да жатады: егер А1, А2,..., Аr оқиғалары қос-қостан үйлесімсіз болып әрі олардың бірігуі нақты бір оқиға болса, онда кез келген В оқиғасының ықтималдылығы: Р(В)= Р(В/Аk)Р(Аk) қосындысына тең болады. Ықтималдылық теориясының негізін құрудағы қазіргі ең жиі тараған логик. сұлбаны 1933 ж. кеңес математигі А.Н. Колмогоров жасаған. Бұл сұлбаның негізгі белгілері төмендегідей. Ықтималдылық теориясының тәсілдерімен қандай да болмасын нақты бір есепті зерттегенде ең алдымен U элементтерінің (элементар оқиғалар деп аталатын) U жиыны бөлініп алынады. Кез келген оқиға оған қолайлы жағдайлардың элементар оқиғаларының жиыны арқылы толық сипатталынады. Сондықтан ол элементар оқиғалардың белгілі бір жиыны ретінде де қарастырылады. Белгілі бір А оқиғалары мен олардың ықтималдығы деп аталатын Р(А) сандары байланыстырылады және олар мынадай шарттарды қанағаттандырады:

1. ,
2. Р(U)=1,
3. Егер А1, ..., Аn

оқиғалары қос-қостан үйлесімсіз болып, ал А – олардың қосындысы  болса, онда: Р(А)=Р(А1)+Р(А2)+...+Р(Аn) болады. Толық матем. теория құру үшін 3-шарттың  қос-қостан үйлесімсіз оқиғалардың  шектеусіз тізбегі үшін де орындалуы  қажет. Теріс еместік пен аддитивтілік қасиеттері – жиын өлшеуінің негізгі  қасиеттері. Сондықтан Ы. т. формалды түрде өлшеуіштер теориясының бөлігі ретінде де қарастырылуы мүмкін. Бұл  тұрғыдан қарағанда Ы. т-ның негізгі  ұғымдары жаңа мәнге ие болады. Кездейсоқ  шамалар өлшемді функцияларға, ал олардың матем. үміті А.Лебегтің абстракт интегралына айналады, тағы басқа. Бірақ ықтималдылық теориясы мен өлшеуіштер теориясының негізгі  мәселелері әр түрлі болып келеді. Ықтималдылық теориясының негізгі, өзіне тән ұғымына оқиғалардың, сынаулардың, кездейсоқ шамалардың тәуелсіздік ұғымы жатады. Сонымен  бірге ықтималдылық теориясында  шартты үлестіру, шартты матем. үміт, тағы басқа объектілер де зерттеледі. Ықтималдылық теориясы 17 ғ-дың орта кезінде пайда болды. Ықтималдылық теориясы 17 ғ-дың орта шенінде әйгілі ғалымдар Б.Паскаль (1623 – 62) мен П.Ферма (1601 – 65), Х.Гюйгенс (1629 – 95), Я.Бернулли (1654 – 1705), Муавр (1667 – 1754), Гаус (1777 – 1885) еңбектерінде пайда болып, әрі қарай дамыған. Қазір Лаплас (1812) пен Пуассон (1837) теоремаларының дәлелденуі осы кезеңге жатады; ал А.Лежандр (Франция, 1806) мен К.Гаусс (1808) ең кіші квадраттар тәсілін жетілдірді. Ықтималдылық теориясы тарихының үшінші кезеңі (19 ғ-дың 2-жартысы) негізінен орыс математиктері П.Л. Чебышев, А.М. Ляпунов және А.А. Марков (үлкені) есімдеріне байланысты. 19 ғ-дың 2-жартысында Батыс Еуропада матем. статистика (Белгияда А.Кетле, Англияда Ф.Гальтон) мен статис. физика (Австрияда Л.Больцман) бойынша көптеген еңбектер жазылды. Бұл еңбектер (Чебышев, Ляпунов және Марковтардың негізгі теор. еңбектерімен қатар) ықтималдылық теориясы тарихының төртінші кезеңінде ықтималдылық теориясының шешілуге тиісті мәселелерінің аясын кеңейтті. Бұл кезеңде шет елде де (Францияда Э.Борель, П.Леви, т.б., Германияда Р.Мизес, АҚШ-та Н. Винер, т.б., Швецияда Г.Крамер) КСРО-да өте маңызды зерттеулер жүргізілді. Ықтималдылық теориясының жаңа кезеңі С.Н. Бернштейннің зерттеулерімен байланысты. Ресейде А.Я. Хинчин мен А.Н. Колмогоров ықтималдылық теориясының мәселелеріне нақты айнымалы функциялар теориясының тәсілдерін қолдана бастады. Кейінірек (30-жылдары) олар процестер теориясының негізін қалады. Қазақстан ғалымдары да (І.Б. Бектаев, Б.С. Жаңбырбаев) Ықтималдылық теориясы бойынша зерттеулер жүргізіп келеді

Негізі тәжірибеге дейін  бізге қолайлы оқиғаның орындалатынын, не болмаса орындалмайтынын анықтау  мүмкін емес, оны тек тәжірибе соңында  ғана көреміз. Біз ықтималдықтар  теориясында кездейсоқ тәжірибеге қатысты барлық оқиғаларды кездейсоқ  оқиғалар дейміз және кездейсоқ оқиға  болып мына оқиғалар саналады:  
 
1. жалған — ешқашан орындалуы мүмкін емес оқиға, 
 
2. айқын — әрбір тәжірибе барысында орындалатын оқиға. 
 
Мысал 2: Жұмыртқаны пісіргенде пайда болатын оқиғаларды қарастырайық: 
 
А= жұмыртқаның пісуі ; 
 
В= жұмыртқаның піспеуі ; 
 
С= піскен жұмырқадан балапанның шығуы  
 
А, В оқиғалары – кездейсоқ оқиғалар, яғни айқын оқиғалар, С оқиғасы – жалған оқиға. 
 
Мысал 3: Немесе ойын тасын (біртекті куб) тастағанда, ол алты жағына түсуі мүмкін. Егер оларды 1, 2, 3, 4, 5, 6 деп белгілесек, 7 түсуі жалған, осы алты жағының бірі түсуі айқын оқиғалар. 
 
Ал жұп ұпайдың түсуі, түспеуі кездейсоқ оқиға, өйткені оның яғни 2, 4, 6 жағының түсуін алдын-ала болжай алмаймыз. Ол нәтижеге байланысты. Нәтиже дегеніміз, кездейсоқ тәжірибені аяқтайтын және бір-бірін өзара жоққа шығаратын нұсқалардың бірі.  
 
Мысалы 4: 
 
1. Тиынды лақтырғанда — екі нәтиже: елтаңба және цифр жағының түсуі  
 

 
 
2. Ойын тасын лақтырғанда — 6 нәтиже: 1, 2, 3, 4, 5, 6 жағының түсуі  

 
 
 
Оқиғаның ықтималдығы әрқашан оң сан болады немесе нөлге тең болады. Ол 1-ден артық бола алмайды, себебі ықтималдық анықталатын бөлшектің алымы бөлімінен үлкен сан бола алмайды (себебі қолайлы оқиғалар саны барлық оқиғалар санынан артпайды).  
Ықтималдықты кездейсоқтықтың сипаттамасы деп қарастырамыз. А оқиғасының ықтималдығын Р(А) деп белгілейік, онда оқиға қандай болса да,  
. 
Оқиғаның орындалуы айқын болған сайын ықтималдық 1-ге, ал оқиғаның орындалу мүмкіндігі азайған сайын немесе жалған ықтималдық 0-ге жақындайды. 
1.2. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы. 
 
Сонымен, біз кездейсоқ оқиғаның ықтималдығы сол оқиғаны құрайтын нәтижелер ықтималдығынан шығады деп қарастырдық. Егер осы нәтиженің ақырғы саны мен олардың ықтималдықтары белгілі болса, онда кездейсоқ оқиғаның ықтималдығын сол оқиғаға кіретін нәтижелер ықтималдығының қосындысы ретінде қарастыруға болады: 
Мысал 1: 
А= жұп сан түсуі = 2, 4, 6 ; 
В= 3 тен кем сан түсуі = 1, 2 ; 
С= жай сан түсуі = 2, 3, 5 ; 
Р(С) = Р(2) + Р(3) + Р(5) 
Жауабын табу үшін әрбір нәтиженің ықтималдығын анықтау керек. Бұл оңай емес. Бірақ ойынтасы үшін, бәрі айқын, яғни барлық нәтиже бір және жалғыз ықтималдыққа ие: ; Неге біз оған сенімдіміз? Себебі, ол — ойынтасының симметриясына байланысты. Ойынтасының әрбір алты жағының қалған бес жағынан еш артықтығы жоқ. Бұдан біз тәжірибенің 6 нәтижесінің бірдей ықтималдығы болатынын анықтаймыз. Дәл осыны тиын лақтыру барысындағы екі нәтижеге байланысты айтуға болады, яғни ықтималдығы: ; 
Мұндай нәтижелер — теңмүмкіндікті нәтижелер. Ақырғы саны бар теңмүмкіндікті нәтижелерден тұратын тәжірибе үшін кез келген кездейсоқ оқиғаның ықтималдығын есептеудің қарапайым шартынан ықтималдықтың классикалық анықтамасы немесе Лаплас формуласы деп аталатын формуланы қорытып шығаруға болады: 
 
Мысал 2:  
 
Ойынтасын лақтырғандағы нәтижелер санын еске түсірейік: 
 
А= жұп сан түсуі = 2, 4, 6 ; 
 
В= 3 тен кем сан түсуі = 1, 2 ; 
 
С= жай сан түсуі = 2, 3, 5 ; 
 
Тәжірибеде теңмүмкіндікті нәтижелер саны n=6. Қолайлы нәтижелер саны: 
 
mA=3, mB=2, mC=3, 
 
; ; ; 
(Даламбер қатесі):  
 
Екі бірдей тиынды лақтырайық. Олардың бірдей жағының түсу ықтималдығы қандай? 
 
(Даламбер шешімі): Тәжірибенің үш теңмүмкіндікті нәтижесі бар: 
 
1. екеуі де елтаңба жағымен түседі 
 
2. екеуі де цифр жағымен түседі 
 
3. тиынның біреуі елтаңба, біреуі цифр жағымен түседі 
 
Бұл жерден бізге қолайлы нәтиже саны — 2, сондықтан ізделінген ықтималдық . 
 
Дұрыс шешімі: Тәжірибенің төрт теңмүмкіндікті нәтижелері бар:  
 
1. Бірінші тиын елтаңба жағымен, екіншісі де елтаңба жағымен түседі 
 
2. Бірінші тиын цифр жағымен, екіншісі де цифр жағымен түседі 
3. Бірінші тиын елтаңба, екінші тиын цифр жағымен түседі 
4. Бірінші тиын цифр жағымен, екінші тиын елтаңба жағымен түседі 
Бұл жерден бізге қолайлы оқиға саны — екі, сондықтан ізделінген ықтималдық -ге тең.  
Осындай қателіктер жібермес үшін тағы да қызықты бір мысал қарастырайық: 
Мысал 3: Қорапта 2 ақ, 2 қара шар бар. Одан 2 шарды қатар алсақ, екеуінің де бір түсті болып шығу ықтималдығы қандай? 
Шешімі. Тәжірибедегі мүмкін нәтижелер: 
 
1. 2 ақ шар шығу 
 
2. 2 қара шар шығу 
 
3. бір ақ, бір қара шар шығу. 
 
Қолайлы нәтижелер саны — екі, бұдан: 
 
n=3, m=2, .  
 
1.3. Ықтималдықтың геометриялық анықтамасы. 
 
Алдыңғы тақырыпта біз тәжірибенің ақырлы санға тең теңмүмкіндікті нәтижелер бойынша оқиғаның ықтималдығын анықтадық. 
 
Ал егер нәтижелер саны ақырсыз болса не істейміз? Мұндай жағдай кейбір геометриялық есептеулерде кездеседі.  
 
Мысал 1: Әлемнің географиялық картасында (мысалға көзімізді жұмып) кездейсоқ нүктені көрсетейік. Бұл нүктенің Қазақстан жері болып шығу ықтималдығы қандай? Бұл сұраққа жауап беру үшін Қазақстан әлем картасының қанша бөлігін алатынын білу қажет. Яғни картаның барлық ауданының Қазақстан қанша бөлігін алатынын білу қажет. Бұл аудандардың қатынасы ізделінді ықтималдықты береді. 
 
Берілген бір шектелген облысты деп белгбелгілейік. Егер облысының кез келген нүктесіне түсу теңмүмкін болса, онда кездейсоқ нүктенің берілген А жиынына түсу ықтималдығы аудандардың қатынасына тең болады: 
 
, 
мұндағы Р — ықтималдық, S – аудан. Бұл ықтималдықтың геометриялық анықтамасы.  
Мысал 2: Жазықтықта шеңбер және шеңбер ішінде үшбұрыш берілсін. Шеңбер ішінен бір нүкте алайық. Онда нүктенің үшбұрышта жату ықтималдығын қалай анықтаймыз? 
Егер шеңбер ауданы ауданның n бөлігін құраса, ал үшбұрыш ауданы m бөлігін құраса, онда  
 
 
 
 
 
 
Мысал 3: Дәптерге салынған бұрышты транспортирмен өлшегенде, оның 900 –тық бұрыштың өлшемінде жату ықтималдығы қандай? 
Шешімі: 
m=900 –тық бұрыштың өлшемінде жатуы 
n=1800 –тық бұрыштық өлшемі 
 
2. Ықтималдықтың қасиеттері. 
2.1. Кері оқиға және оның ықтималдығы. Эйлер диаграммасы. 
Тәжірибенің барлық мүмкін нәтижелерінің жиынын деп белгілеп, біз әрбір элементер нәтижені осы жиынның элементі ретінде , ал әрбір кездейсоқ оқиғаны осы жиынның ішкі жиыны деп қарастырдық. 
Оқиғаны бұлай қарастырғаннан кейін, оларға біріктіру, қиылыстыру, толықтыру операцияларын қолдану қажетті. Толықтырудан бастайық.  
Ескерту: Аталмыш жиындардың барлығы жиынынң ішкі жиындары. 
Анықтама (жиындар үшін): Егер жиыны жиынының А жиынына кірмейтін элементтерінен құралса, онда жиыны А жиынының толықтауышы деп аталады. 
Анықтама (оқиғалар үшін): Егер А оқиғасы орындалмағанда оқиғасы орындалса, онда оқиғасы А оқиғасының кері оқиғасы деп аталады. 
Анықтамалар екі түрде берілгенімен, мағынасы жағынан бірдей екенін көруге болады.  
 
Мысал 1: Сатып алынған төрт лотерея билеттерін ойнатқандағы кездейсоқ оқиғалар ретін қарастырайық: 
 
А= номері бірінші билеттің ұтуы  
 
В= 3 тен кем билет ұтуы ; 
Онда бұларға кері оқиға: 
 
= номері бірінші билеттің ұтпауы ; 
 
= үшке тең немесе үштен артық билеттің ұту ; 
 
Мысал 2: оқиғасына кері оқиға - «тақ ұпай түсуін» білдіреді. 
 
Кері оқиғаның ықтималдығы формуласымен есептеледі.  
 
Мысал 3: Екі ойын тасын лақтырғанда, екеуінде де әртүрлі ұпай саны түсу ықтималдығын табу керек: 
 
А= ойынтастарында әртүрлі ұпай сандарының түсуі ; 
 
= ойынтастарында бірдей ұпай сандарының түсуі ; 
 
немесе 
= (1:1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6) ; 
Бұдан  
және . 
Осы және алдыда қарастырылатын бөлімдердегі оқиғалардың қатынастарын арнайы суреттердің көмегімен бейнелеу өте ыңғайлы. Мұндай бейнелеудің Эйлер диаграммасы атын алған түрін қолдансақ, онда әр оқиға дөңгелек немесе басқа да әртүрлі фигуралар түрінде бейнеленеді. Және барлық оқиғалар бір төртбұрыштың, яғни тәжірибенің барлық нәтижелерінің жиынының ішінде болуы қажет: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2. Оқиғалардың бірігуі және қиылысуы. 
Анықтама (жиындар үшін): А және В жиындарының элементтерінің түгел жиынтығынан тұратын С жиыны осы екі жиынның бірігуі (кейде қосындысы) деп аталады. 
Анықтама (оқиғалар үшін): А және В оқиғаларының ең болмағанда біреуі орындалғанда орындалатын С оқиғасы олардың бірігуі деп аталады. 
Оқиғалардың бірігуі:  
Эйлер диаграммасында оны  
 
 
бейнелей

0дауыс

Ықтималдылық Теориясы – кездейсоқ бір оқиғаның ықтималдығы бойынша онымен қандай да бір байланыста болатын басқа бір кездейсоқ оқиғаның ықтималдығын анықтауға мүмкіндік беретін математика білімі. Ықтималдылық теориясында кездейсоқ құбылыстардың заңдылығы зерттеледі. Кездейсоқ құбылыстарға анықталмағандық, күрделілік, көп себептілік қасиеттері тән. Сондықтан мұндай құбылыстарды зерттеу үшін арнайы әдістер құрылады. Ол әдістер мен тәсілдер Ықтималдылық теориясында жасалынады. Мысалы, біркелкі болып келетін кездейсоқ құбылыстарды жан-жақты бақылай отырып қандай да болмасын бір заңдылықты (тұрақтылықты), яғни статистик. заңдылықты байқаймыз. Ықтималдылық теориясының негізгі ұғымдары элементар ықтималдылық теориясы шегінде қарапайым түрде анықталады. Элементар ықтималдылық теориясында қарастырылатын әрбір сынау (Т) Е1,Е2, ...,Еs оқиғаларының тек қана біреуімен ғана аяқталады. Бұл оқиғалар сынау нәтижесі (қорытындысы) деп аталады. Әрбір Еk нәтижесімен оның ықтималдығы деп аталатын рk оң саны байланыстырылады. Бұл жағдайда рk сандарының қосындысы бірге тең болуы керек. А оқиғасы тең мүмкіндікті бірнеше оқиғаларға (Еі ,Еj , …, Еk) бөлінеді және олардың кез келген біреуінің (не Еі , не Еj ,…, не Еk) пайда болуынан А оқиғасының пайда болуы шығады. Сынау нәтижесінде А оқиғасы бөлінетін мүмкін мәндері (Еі E,j , …, Еk) осы оқиғаға (А-ға) қолайлы жағдайлар деп атайды. Анықтама бойынша А оқиғасының р(А) ықтималдығы оған қолайлы жағдайлар нәтижелері ықтималдықтарының қосындысына тең деп ұйғарылады: P(A)=Pі+Pj+...+Pk (1) Дербес жағдайда р1=р2=...=рs=1/s болғанда Р(А) =r/s (2) болады. А оқиғасына қолайлы жағдайлар нәтижесі санының (r) барлық тең мүмкіндікті нәтижелер санына (s) қатынасы А оқиғасының ықтималдығы деп аталады. (2) формула ықтималдықтың классикалық анықтамасын өрнектейді. Бұл анықтама “ықтималдық” ұғымын дәл анықтамасы берілмейтін “тең мүмкіндік” (тең ықтималдық) ұғымына келтіреді. Тең мүмкіндік немесе тең ықтималдық ұғымдары алғашқы ұғымдарға жатады.Олар логикалық (формалды) анықтама беруді қажет етпейді. Егер жалпы сынау нәтижесінде бірнеше оқиғалар пайда болса және олардың біреуінің пайда болу мүмкіндігінің екіншісіне қарағанда артықшылығы бар деп айта алмасақ (яғни сынаулар нәтижесінде симметриялы қасиеті болса) онда мұндай оқиғалар тең мүмкіндікті делінеді. Элементар ықтималдылық теориясының негізгі формулаларының қатарына ықтималдылықтардың толық формуласы да жатады: егер А1, А2,..., Аr оқиғалары қос-қостан үйлесімсіз болып әрі олардың бірігуі нақты бір оқиға болса, онда кез келген В оқиғасының ықтималдылығы: Р(В)=Р(В/Аk)Р(Аk) қосындысына тең болады. Ықтималдылық теориясының негізін құрудағы қазіргі ең жиі тараған логик. сұлбаны 1933 ж. кеңес математигі А.Н. Колмогоров жасаған. Бұл сұлбаның негізгі белгілері төмендегідей. Ықтималдылық теориясының тәсілдерімен қандай да болмасын нақты бір есепті зерттегенде ең алдымен U элементтерінің (элементар оқиғалар деп аталатын) U жиыны бөлініп алынады. Кез келген оқиға оған қолайлы жағдайлардың элементар оқиғаларының жиыны арқылы толық сипатталынады. Сондықтан ол элементар оқиғалардың белгілі бір жиыны ретінде де қарастырылады. Белгілі бір А оқиғалары мен олардың ықтималдығы деп аталатын Р(А) сандары байланыстырылады және олар мынадай шарттарды қанағаттандырады: 
, 
Р(U)=1, 
Егер А1, ..., Аn 
оқиғалары қос-қостан үйлесімсіз болып, ал А – олардың қосындысы болса, онда: Р(А)=Р(А1)+Р(А2)+...+Р(Аn) болады. Толық матем. теория құру үшін 3-шарттың қос-қостан үйлесімсіз оқиғалардың шектеусіз тізбегі үшін де орындалуы қажет. Теріс еместік пен аддитивтілік қасиеттері – жиын өлшеуінің негізгі қасиеттері. Сондықтан Ы. т. формалды түрде өлшеуіштер теориясының бөлігі ретінде де қарастырылуы мүмкін. Бұл тұрғыдан қарағанда Ы. т-ның негізгі ұғымдары жаңа мәнге ие болады. Кездейсоқ шамалар өлшемді функцияларға, ал олардың матем. үміті А.Лебегтің абстракт интегралына айналады, тағы басқа. Бірақ ықтималдылық теориясы мен өлшеуіштер теориясының негізгі мәселелері әр түрлі болып келеді. Ықтималдылық теориясының негізгі, өзіне тән ұғымына оқиғалардың, сынаулардың, кездейсоқ шамалардың тәуелсіздік ұғымы жатады. Сонымен бірге ықтималдылық теориясында шартты үлестіру, шартты матем. үміт, тағы басқа объектілер де зерттеледі. Ықтималдылық теориясы 17 ғ-дың орта кезінде пайда болды. Ықтималдылық теориясы 17 ғ-дың орта шенінде әйгілі ғалымдар Б.Паскаль (1623 – 62) мен П.Ферма (1601 – 65), Х.Гюйгенс (1629 – 95), Я.Бернулли (1654 – 1705), Муавр (1667 – 1754), Гаус (1777 – 1885) еңбектерінде пайда болып, әрі қарай дамыған. Қазір Лаплас (1812) пен Пуассон (1837) теоремаларының дәлелденуі осы кезеңге жатады; ал А.Лежандр (Франция, 1806) мен К.Гаусс (1808) ең кіші квадраттар тәсілін жетілдірді. Ықтималдылық теориясы тарихының үшінші кезеңі (19 ғ-дың 2-жартысы) негізінен орыс математиктері П.Л. Чебышев, А.М. Ляпунов және А.А. Марков (үлкені) есімдеріне байланысты. 19 ғ-дың 2-жартысында Батыс Еуропада матем. статистика (Белгияда А.Кетле, Англияда Ф.Гальтон) мен статис. физика (Австрияда Л.Больцман) бойынша көптеген еңбектер жазылды. Бұл еңбектер (Чебышев, Ляпунов және Марковтардың негізгі теор. еңбектерімен қатар) ықтималдылық теориясы тарихының төртінші кезеңінде ықтималдылық теориясының шешілуге тиісті мәселелерінің аясын кеңейтті. Бұл кезеңде шет елде де (Францияда Э.Борель, П.Леви, т.б., Германияда Р.Мизес, АҚШ-та Н. Винер, т.б., Швецияда Г.Крамер) КСРО-да өте маңызды зерттеулер жүргізілді. Ықтималдылық теориясының жаңа кезеңі С.Н. Бернштейннің зерттеулерімен байланысты. Ресейде А.Я. Хинчин мен А.Н. Колмогоров ықтималдылық теориясының мәселелеріне нақты айнымалы функциялар теориясының тәсілдерін қолдана бастады. Кейінірек (30-жылдары) олар процестер теориясының негізін қалады. Қазақстан ғалымдары да (І.Б. Бектаев, Б.С. Жаңбырбаев) Ықтималдылық теориясы бойынша зерттеулер жүргізіп келеді

• Бектаев К.Б., Пиотровский Р.Г., Математические методы в языкознании, ч.1, Теория вероятностей и моделирование нормы языка, А.-А., 1973;
• Колмогоров А.Н., Основные понятия теорий вероятностей, М., 1974;
• Бектаев І.Б., Ықтималдықтар теориясы негізгі ұғымдары, А.-А., 1977;
• Гнеденко Б.В., Курс теории, М., 1988;
• Жаңбырбаев Б.С., Ықтималдылықтар теориясы және математикалық стастика элементтері, А., 1988