Временные ряды: стацинарные и не стацинарные

Временным рядом (динамическим рядом) называется набор значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Отдельные наблюдения называются уровнями ряда. 
 
В общем виде при исследовании экономических процессов временного ряда выделяются несколько составляющих: 
 
y_t = u_t + v_t + c_t + ε_t (t=1, 2, …, n), 
 
где u_t – тренд, v_t – сезонная компонента, c_t – циклическая компонента, ε_t – случайная компонента. 
 
Стационарные временные ряды. 
 
Важное значение в анализе временных рядов имеют стационарные временные ряды, вероятностные свойства которых не изменяются во времени.

Временной ряд y^t (t=1, 2,…, n) называется строго стационарным, если совместное распределение вероятностей n наблюдений  y₁, y₂,…, y_n такое же, как и n наблюдений y_{1+ τ}, y_{2+ τ},…, y_{n+ τ} при любых n, t, τ-лаг.

Таким образом, свойство строго стационарных рядов не зависят от момента времени  t, т. е. в таких рядах от момента времени t не зависит закон распределения и числовые характеристики временного ряда.

 
Степень тесноты связи между последовательностями наблюдений временного ряда y₁, y₂, …, y_n и y_1+τ, y_2+τ, …, y_n+τ можно оценить с помощью выборочного коэффициента корреляции r(τ): 
 
. 
 
Так как он оценивает корреляцию между уровнями одного и того же ряда, его называют коэффициентом автокорреляции. 
 
Функция r(τ) называется выборочной автокорреляционной функцией, а ее график - коррелограммой.  
 
Кроме автокорреляционной функции при исследовании стационарных временных рядов рассматривают частную автокорреляционную функцию. Статистической оценкой частного коэффициента корреляции является выборочный частный коэффициент корреляции (или просто частный коэффициент корреляции): 
 
, 
 
где r_ij, r_ik r_jk – выборочные коэффициенты корреляции. 
 
Так, выборочный частный коэффициент автокорреляции 1-го порядка между членами временного ряда y_t и y_t+2 при устранении влияния y_t+1 определяется по формуле: 
 
, 
 
где r(1), r(1,2), r(2) – выборочные коэффициенты автокорреляции между y_t и y_t+1, y_t+1 и y_t+2, и y_t и y_t+2соответственно. 
 
Наиболее распространенным приемом устранения автокорреляции во временных рядах является подбор соответствующей модели: авторегрессионной АР(p), скользящей средней СС(q) или авторегрегрессионной модели скользящей средней АРСС(p,q) для остатков модели (в литературе можно встретить англоязычные названия моделей: авторегрессионной – АR(p), скользящей средней – MA(q) и авторегрегрессионной модели скользящей средней АRMA(p,q).) 
 
 
Идентификацией временного ряда называется построение для ряда остатков адекватной АРСС-модели, в которой остатки представляют собой белый шум

(Белым шумом называется случайная последовательность значений y1, y2,…,yN, если её математическое ожидание равно нулю, т.е. E(Yt)=0, где

её элементы являются некоррелированными (независимыми друг от друга) одинаково распределёнными  величинами, и дисперсия является постоянной величиной D(Yt)=G2=const.

Белый шум – это теоретический процесс, который реально не существует, однако он представляет собой очень важную математическую модель, которая используется при решении множества практических задач.),

 а  все регрессоры значимы. Такое  представление, как правило, не  единственное, и один и тот  же ряд может быть идентифицирован  и с помощью АР-модели, и с помощью СС-модели. 
 
Авторегрессионная модель порядка p (модель АР(p)) имеет вид: 
 
y_t = β₀ + β₁ y_t-1+ β₂ y_t-2+…+ β_p y_t-p+ε_t, (t=1, 2, …, n), 
 
где β₀, β₁,… β_p – некоторые константы. 
 
Если исследуемый процесс y_t в момент t определяется его значениями только в предыдущий период t-1, то получаем авторегрессионную модель 1-го порядка (или модель АР(1)). 
 
y_t = β₀ + β₁ y_t-1 +ε_t, (t=1, 2, …, n), 
 
Наряду с авторегрессионными моделями временных рядов в эконометрике рассматриваются также модели скользящей средней. В них моделируемая величина задается линейной функцией от возмущений (остатков) в предыдущие моменты времени. Модель скользящей средней порядка q (модель СС(q)) имеет вид: 
 
y_t = ε_t – γ₁ε_t-1 – γ₂ε_t-2 –…– γ_qε_t-q (t=1, 2, …, n). 
 
Нередко используются и комбинированные модели временных рядов АР и СС, которые имеют вид: 
 
y_t = β₀ + β₁ y_t-1+ β₂ y_t-2+…+ β_p y_t-p+ ε_t – γ₁ε_t-1 – γ₂ε_t-2 –…– γ_qε_t-q. 
 
Если все значения выборочной частной автокорреляционной функции порядка выше p незначимо отличаются от нуля, временной ряд следует идентифицировать с помощью модели, порядок авторегрессии которой не выше p. 
 
Если все значения выборочной автокорреляционной функции порядка выше q незначимо отличаются от нуля, временной ряд следует идентифицировать с помощью модели скользящей средней, порядок которой не выше q. 
 
Нестационарные временные ряды. 
 
Пусть имеется временной ряд  
 
y_t = ρy_t-1+ ξ_t. 
 
Предположим, что ошибки ξ_t независимы и одинаково распределены, т.е. образуют белый шум. Перейдем к разностным величинам: 
 
Δy_t = λy_t-1+ ξ_t, 
 
где Δy_t = y_t – y_t-1, λ= ρ-1. 
 
Если ряд Δy_t является стационарным, то исходный нестационарный ряд y_t называется интегрируемым (или однородным). 
 
Нестационарный ряд y_t называется интегрируемым (однородным) k-го порядка, если после k-кратного перехода к приращениям  
 
d^ky_t = d^k-1y_t – d^k-1y_t-1, 
 
где d¹y_t = Δy_t, получается стационарный ряд d^ky_t. 
 
Если при этом стационарный ряд d^ky_t корректно идентифицируется как АРСС(p,q), то нестационарный ряд y_tобозначается как АРПСС(p,k,q). Это означает модель авторегрессии – проинтегрированной скользящей средней (другое обозначение - ARIMA(p,k,q)) порядков p, k, q, которая известна как модель Бокса-Дженкинса. Процедура подбора такой модели реализована во многих эконометрических пакетах.