Визначення розмірності простору вкладення при реконструкції атрактора

   Для обчислення D_с використовують формулу:

де  – кореляційний інтеграл, ε - розмір 
комірки розбиття фазового простору, N - кількість точок , що використовуються 
для оцінки розмірності, v - функція Хевісайда. Для 
визначення D_c будують залежність lg С (ε,N) від lg ε і шукають на ній лінійну 
ділянку, нахил якої і визначає шукане значення розмірності. 
   Крім того, іноді аналізують залежність D_c(n) і збільшують n до 
тих пір, поки D_c не досягне насичення. Відомо, що при обчисленні D_c існують обмеження на величину ε. Якщо ε наближається до розмірів атрактора ε_max, то лінійна залежність lg С (ε,N) від lg ε пропадає, що пояснюється впливом границь атрактора, де число сусідів у кожної точки зазвичай менше , ніж у «середині». У максимумі, якщо ε = ε_max, то lg С (ε,N) = 1. З іншого боку, при 
зменшенні значення ε існує деяке ε_min, таке що для ε < ε_min 
структура атрактора залишається невирішеною. Як наслідок, знову порушується лінійна залежність lg С (ε,N) від lg ε. 
Однією з проблем при розрахунку розмірності є вибір величин N i Δt. Існують різні оцінки мінімальної кількості точок для правильного 
визначення D_c. Аргументи на користь тієї чи іншої оцінки злегка 
варіюються в різних дослідженнях , але всі вони засновані на припущеннях 
про однорідність атрактора. Атрактори в динамічних системах 
майже ніколи не бувають однорідними, проте ці оцінки корисні і дають, принаймні, загальне уявлення про можливості визначення розмірності за експериментальними даними. При розрахунку D_c можна виділити 3 важливі характеристики масиву даних: повний час спостереження Т_obs, число точок N і крок між ними Δt. Вони пов'язані співвідношенням Т_obs = NΔt, і їх слід розглядати разом, оскільки однієї характеристики недостатньо: велика Т_obs при малому N може бути настільки ж погано, як і мале Т_obs при великому N.    Можливість розрахунку кореляційної розмірності за даними тільки про одну траєкторію заснована на добре відомій властивості хаотичних атракторів: траєкторія, що проходить через будь-яку точку, протягом деякого часу блукає по атрактору, але потім ( через інтервал часу Т_R) вона повертається в ε – окружність цієї точки. Чим менше ε, тим більше має бути Т_R. При одному і тому ж ε величина Т_R зазвичай змінюється від однієї точки до іншої, проте можна ввести деякий середній час повернення. Щоб визначити D_c, точки атрактора повинні мати достатнє число «сусідів». Для різних точок число ε - сусідів 
буде відрізнятися, але передбачається, що ε_min відповідає ситуації, коли 
в середньому у точки атрактора існує близько одного сусіда всередині 
кулі радіуса ε_min. Відповідне Т_obs повинно бути таким, щоб для 
більшості точок траєкторія встигла повернутися в їх ε_min – окружність 1-2 
рази. Таким чином, якщо розглянути покриття атрактора кулями розміру 
ε_min (число яких дорівнює М), то більшість з них траєкторія 
відвідає 1 -2 рази. Для даного Т_obs існує деяка оптимальна кількість точок N, 
необхідна для того, щоб забезпечити дозвіл на масштабі ε_min (ця 
кількість має бути близькою до M ). Так як швидкість уздовж траєкторії 
змінюється, при однорідному розбитті траєкторії за часом t_i щільність 
точок у фазовому просторі однорідною не буде, але цим ефектом можна 
знехтувати. Якщо NМ, то вирішуваний масштаб буде обмежений 
вже величиною N замість Т_obs, а в разі NМ на малих масштабах 
(ε < ε_min) алгоритм буде вимірювати розмірність не атрактора, а самої 
траєкторії, якщо не вжити спеціальних застережних заходів. отже , 
щоб дозволити масштаб ε_min, необхідно NМ. 
Зазвичай поступають таким чином. Вибирається довільно мале 
значення розмірності простору вкладення n і обчислюють D_c по 
нахилу лінійної ділянки графіка С (ε,N) від lg ε. Потім збільшують 
n на одиницю і знову визначають D_c. Таким чином, аналізується 
залежність результатів розрахунку кореляційної розмірності від вибору 
простору вкладення. Цей прийом дозволяє зробити висновок про існування 
маломірної динаміки ( D_c < 4): при її наявності залежність D_c( n ) швидко досягає насичення і при подальшому збільшенні n не змінюється 
в межах точності обчислень. Якщо маломірна динаміка відсутня, 
то D_c збільшується із зростанням n. У цьому випадку при досить великих n 
можливо насичення, яке обумовлено фундаментальними обмеженнями 
на значення кореляційної розмірності, пов'язаними з кінцевою 
довжиною аналізованого часового ряду:

   Дана формула означає, що алгоритм розрахунку розмірності не може 
дати значення більше, ніж D_max при заданому числі точок N. Іншими 
словами, якщо r = 0.1 і N = 1000, то D_max ≤ 6; якщо N = 100000, 
то D_max ≤ 10. Наявність фундаментальних обмежень створює серйозні 
проблеми, якщо проводиться порівняння складних, але детермінованих режимів динаміки в системах з досить великим числом ступенів свободи 
і випадкових процесів. При вивченні динаміки маломірних систем 
таких проблем не виникає.

   Практична реалізація алгоритму розрахунку розмірності D_c припускає 
складання програми обчислення кореляційного інтеграла 
в широкому діапазоні по параметру ε і знаходження локальних нахилів 
Залежно lg С (ε,N) від lg ε. Володіння розмірності дозволить нам реконструювати атрактор методом (2), як було описано вище.

   Метод затримки Такенса є найбільш відомим, але не єдиним 
способом завдання вектора стану. Альтернативою йому служить 
так званий метод послідовного диференціювання, що має 
певні переваги при вирішенні завдання реконструкції математичної 
моделі. Ідея даного методу наступна. Нехай є часовий 
ряд а(iΔt) = ai, i = 1,. . . , N. Завдання вектора стану у фазовому 
просторі проводиться таким чином:

   Оскільки відомі значення a_i тільки в дискретні моменти часу 
iΔt, координати x_j вектора визначаються шляхом чисельного диференціювання вихідного часового ряду по наближених математичних 
формулах. Очевидно, що точність обчислення похідних буде 
визначатися найменшою величиною кроку дискретизації Δt. Недоліком методу 
є підвищена чутливість до шуму, що обмежує його 
застосування для просторів вкладення великої розмірності (принаймні, без проведення попередньої процедури фільтрації).

   На даний момент розроблений ще ряд способів задання вектора 
стану, наприклад, метод інтегральної фільтрації:

   При його використанні  забезпечується згладжування вихідної  реалізації 
і фільтрація шуму. Різновидом даного методу є метод ковзаючого 
середнього:

де k - постійний параметр. Даний метод також дозволяє проводити 
згладжування сигналу. Іноді для реконструкції атрактора використовується 
відразу кілька методів (для різних координат вектора стану).

   Відзначимо, що при розрахунку розмірності зазвичай обмежуються методом затримки, інші варіанти відновлення траєкторії у фазовому просторі 
застосовуються в більш складних завданнях, наприклад, при побудові 
рівнянь руху по часовому ряду.

Список використаної літератури

1. Анищенко В.С. Лекции по нелинейной динамике: учебное пособие для вузов// Анищенко В.С., Вадивасова Т.Е. – М. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»., 2011. – 516с.
2. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах// Анищенко В.С. – М.: УРСС, 2009. – 324с.
3. Кузнецов А.П. Нелинейные колебания. Учебное пособие для вузов// Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. – М.: Физматлит, 2002. – 457с.
4. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны// Ланда П.С. – М.: Наука, 1997. – 145с.
5. Малинецкий Г.Г. Хаос, структуры, вычислительный експеримент// Малинецкий Г.Г. – М.: УРСС, 2001. – 238с.
6. Мун Ф. Хаотические колебания// Мун Ф. – М.: Мир, 1990. – 453с.
7. Стратонович Р. Л. Случайные процессы в динамических системах// Стратонович Р.Л. – М. – Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2009. – 345с.
8. Табор М. Хаос і інтегрованість в нелінійній динаміці// Табор М. - М.: Едіторіал УРСС, 2001. - 318с.
9. Данилов Ю. А. Лекції з нелінійної динаміки// Данилов Ю.А. - М.: Постмаркет, 2001. - 184с.