Теория нечетких множеств

Рис. 2 иллюстрирует определения носителя, ядра,  -сечения и  -уровня нечеткого множества.

Рисунок 2 - Ядро, носитель и  -сечение нечеткого множества

Определение 18. Нечеткое множество  называется выпуклым если:  ,  ,  . Альтернативное определение: нечеткое множество будет выпуклым, если все его  -сечения - выпуклые множества. На рис. 3 приведены примеры выпуклого и невыпуклого нечетких множеств.

Рисунок 3 - К определению выпуклого нечеткого множества

Определение 19. Нечеткие множества   и   равны ( ) если  .

4. Операции над нечеткими множествами

        Определения  нечетких теоретико-множественных  операций объединения, пересечения  и дополнения могут быть обобщены  из обычной теории множеств. В  отличие от обычных множеств, в теории нечетких множеств  степень принадлежности не ограничена  лишь бинарной значениями 0 и 1 - она может принимать значения из интервала [0, 1]. Поэтому, нечеткие теоретико-множественные операции могут быть определены по-разному. Ясно, что выполнение нечетких операций объединения, пересечения и дополнения над не нечеткими множествами должно дать такие же результаты, как и при использование обычных канторовских теоретико-множественных операций. Ниже приведены определения нечетких теоретико-множественных операций, предложенных Л. Заде.

Определение 20. Дополнением нечеткого множества   заданного на   называется нечеткое множество   с функцией принадлежности   для всех  . На рис. 4 приведен пример выполнения операции нечеткого дополнения.

Рисунок 4 - Дополнение нечеткого множества

Определение 21. Пересечением нечетких множеств   и   заданных на   называется нечеткое множество   с функцией принадлежности   для всех  . Операция нахождения минимума также обозначается знаком  , т.е.  .

Определение 22. Объединением нечетких множеств   и   заданных на   называется нечеткое множество   с функцией принадлежности   для всех  . Операция нахождения максимума также обозначается знаком  , т.е.  .

Обобщенные определения операций нечеткого пересечения и объединения - треугольной нормы (t-нормы) и треугольной  конормы (t-конормы или s-нормы) приведены  ниже.

Определение 23. Треугольной нормой (t-нормой) называется бинарная операция   на единичном интервале  , удовлетворяющая следующим аксиомам для любых  :

1.  (граничное условие);
2.  если   (монотонность);
3.  (коммутативность);
4.  (ассоциативность).

Наиболее часто используются такие t-нормы: пересечение по Заде -  ; вероятностное пересечение -  ; пересечение по Лукасевичу -  . Примеры выполнения пересечения нечетких множеств с использованием этих t-норм показаны на рис. 5.

Рисунок 5 - Пересечение нечетких множеств с использованием различных t-норм

Определение 25. Треугольной конормой (s-нормой) называется бинарная операция   на единичном интервале  , удовлетворяющая следующим аксиомам для любых  :

1.  (граничное условие);
2.  если   (монотонность);
3.  (коммутативность);
4.  (ассоциативность).

Наиболее часто используются такие s-нормы: объединение по Заде -  ; вероятностное объединение -  ; объединение по Лукасевичу -  . Наиболее известные треугольные нормы приведены в табл. 1.

Таблица 1 - Примеры треугольных норм

		Параметр
		-
		-
		-
		-

 

Заключение

 

            В процессе работы мы узнали о самых основных положениях теории нечетких множеств таких как определение, свойства , операции нечетких множест и т.д. Наглядные примеры помогли нам лучше усвоить эти понятия. В настоящее время теория нечетких множеств является одной из основ таких областей математики, информатики и т.д.

          Элементами теории нечетких множеств могут быть самые разнообразные предметы: буквы, числа, функции, точкии . Отсюда с самого начала ясна чрезвычайная широта теории нечетких множеств и ее приложимость к очень многим областям знания (математике, механике, физике). Сегодня мы знаем, что, логически говоря, возможно вывести почти всю современную математику из единого источника.

          Нечеткая логика, в основном, обеспечивает эффективные средства отображения неопределенностей и неточностей реального мира. Наличие математических средств отражения нечеткости исходной информации позволяет построить модель, адекватную реальности.

         Анализ нечетких методов принятия решений позволяет сформулировать требования к дальнейшим разработкам в этой области. Это развитие теоретических подходов к описанию сложных взаимоотношений между критериями, более широкое применение интеллектуальных методов на основе нечеткой логики, а также развитие комбинированных методов принятия решений с использованием нечетких представлений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы

 

     1. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта/Под ред. Д. А. Поспелова. — М.: Наука, 1986. — 312 с.

     2. Боросов А.Н. Принятие решений на основе нечетких моделей: ПримерыI использования. Рига: Зинанте, 1990.

      3. Вопросы анализа и процедуры принятия решений/Под ред. И.Ф. Шах-нова. М.: Мир, 1976.

      4. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств/Пер, с франц. М,: Радио и связь, 1982.

      5. Лебег А. Об измерении величин. - М.: Учпедгиз, 1960. - 204 с.

      6. Орлов А.И. Основания теории нечетких множеств (обобщение аппарата Заде). Случайные толерантности. – В сб.: Алгоритмы многомерного статистического анализа и их применения. - М.: Изд-во ЦЭМИ АН СССР, 1975. - С.169-175.

      7. Яхъяева Г.Э. Нечеткие множества и нейронные сети. Серия: Основы информационных технологий. – БИНОМ, 2008. – 320 с.

      8. Jang J.-S., Sun C.T., Mizutani E. Neuro-Fuzzy and Soft Computing: A Computational Approach to Learning and Machine Intelligence. – The USA: Prentice Hall, 1997. – 614 p.

      9. Тарков М.С. Нейрокомпьютерные системы. Серия: Основы информационных технологий. – Изд-во Интернет-университета информационных технологий – ИНТУИТ.ру, БИНОМ, 2006. – 144 с.