Системы эконометрических уравнений

Структурные модели эконометрики представляются системой линейных по отношению к наблюдаемым переменным уравнений. Если алгебраическая система соответствует графу без контуров (петель), то она является рекурсивной системой. Такая система позволяет рекуррентно определять значения входящих в нее переменных. В ней в уравнения для признака включаются все переменные, кроме тех, которые расположены выше него по графу. Соответственно формулировка гипотез в структуре рекуррентной модели довольно проста, при условии использования данных динамики. Рекурсивная система уравнений позволяет определить полные и частные коэффициенты влияния факторов. Коэффициенты полного влияния измеряют значение каждой переменной в структуре. Структурные модели позволяют оценить полное и непосредственное влияние переменных, прогнозировать поведение системы, рассчитывать значения эндогенных переменных.

Если нужно всего лишь уточнить характер связей переменных, то используют метод путевого анализа (путевых коэффициентов). В основе его лежит гипотеза об аддитивном характере (аддитивность и линейность) связей между переменными. К сожалению, применение путевого анализа в социально-экономических исследованиях затруднено тем, что не всегда линейная зависимость удовлетворительно выражает все разнообразие причинно-следственных связей в реальных системах. Значимость результатов анализа определяется правильностью построения максимально связного графа и, соответственно, изоморфной математической модели в виде системы уравнений. В то же время важным достоинством путевого анализа является возможность производить декомпозицию корреляций.

В данной главе мы рассмотрели сущность систем эконометрических уравнений, их применение. Таким образом, понятие одновременных эконометрических уравнений и методы их решения были впервые предложены норвежским экономистом Т. Хавельмо, лауреатом Нобелевской премии по экономике.

В зависимости от характера ограничений и статистической структуры переменных эконометрические модели классифицируются на линейные модели с одной, двумя и большим числом переменных, а также на пробит-модели, логит-модели, тобит-модели и др.

Применение систем эконометрических уравнений представляет собой непростую задачу.

Основной областью применения эконометрических моделей является построение макроэкономических моделей экономики целой страны. Это, главным образом, мультипликаторные модели кейнсианского типа.

 

2. Системы эконометрических уравнений

 

1. Система независимых уравнений

Объектом статистического изучения в социальных науках являются сложные системы. Измерение тесноты связей между переменными, построение изолированных уравнений регрессии недостаточно для описания таких систем и объяснения механизма функционирования. При использовании отдельных уравнений регрессии, в большинстве случаев предполагается, что аргументы (факторы) можно изменять независимо друг от друга. Однако это предположение является очень грубым: практически изменение одной переменной, как правило, не может происходить при абсолютной неизменности других. Ее изменение повлечет за собой изменение во всей системе взаимосвязанных признаков. Следовательно, отдельно взятое уравнение множественной регрессии не может характеризовать истинные влияния отдельных признаков на вариацию результирующей переменной.

Система независимых уравнений – система, в которой каждая зависимая переменная y рассматривается как функция одного и того же набора факторов x то есть система вида: Y1=a11x1 + a12x2 +…+ a1mxm +ε1;

Y2=a21x1 + a22x2 +…+ a2mxm +ε2; Yn=an1x1 + an2x2 +…+ anmxm +εn.

Система рекурсивных уравнений – система, в которой зависимая переменная одного уравнения выступает в виде фактора x в другом уравнении, то есть система вида: Y1=a11x1 + a12x2 +…+ a1mxm +ε1; Y2= b21y1 +a21x1 + a22x2 +…+ a2mxm +ε2 ; Y3= b31y1 + b32y2+a31x1 + a32x2 +…+ a3mxm +ε2 ; Yn= bn1y1 + bn2y2 +…+ bnn-1yn-1 + an1x1 + an2x2 +…+ anmxm +εn.

Система взаимозависимых уравнений (система совместных одновременных уравнений) – система в которой одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях – в правую, то есть система вида: Y1= b12y2 + b13y3 +…+ b1nyn + a11x1 + a12x2 +…+ a1mxm +ε1; Y2= b21y1 +b23y3 +…+ b2nyn + a21x1 + a22x2 +…+ a2mxm +ε2 ; Yn= bn1y1 + bn2y2 +…+ bnn-1yn-1 + an1x1 + an2x2 +…+ anmxm +εn.

Приведенная форма модели – система линейных функций эндогенных переменных от экзогенных:

 

Y1=δ11x1 +δ12x2 +…+ δ1mxm;

Y2=δ21x1 +δ 22x2 +…+ δ2mxm;

Yn=δn1x1 + δn2x2 +…+ δnmxm,

 

где δij – коэффициенты приведенной формы модели.

 

2. Пример модели авторегрессии

В качестве первоначального примера рассмотрим эконометрическую модель временного ряда, описывающего рост индекса потребительских цен (индекса инфляции).

Пусть I(t) - рост цен в месяц t. Тогда, по мнению некоторых экономистов естественно предположить, что

 

I(t) = сI(t- 1) + a + b S (t - 4) + e, (1)

 

где I(t- 1) - рост цен в предыдущий месяц

с - некоторый коэффициент затухания, предполагающий, что при отсутствии внешний воздействий рост цен прекратится),

a - константа (она соответствует  линейному изменению величины I(t) со временем),

b S (t - 4) - слагаемое, соответствующее  влиянию эмиссии денег (т.е. увеличения  объема денег в экономике страны, осуществленному Центральным Банком) в размере S (t - 4) и пропорциональное  эмиссии с коэффициентом b, причем  это влияние проявляется не  сразу, а через 4 месяца; наконец, e - это  неизбежная погрешность.

Модель (1), несмотря на свою простоту, демонстрирует многие характерные черты гораздо более сложных эконометрических моделей. Во-первых, обратим внимание на то, что некоторые переменные определяются (рассчитываются) внутри модели, как I(t). Их называют эндогенными (внутренними). Другие задаются извне (это экзогенные переменные). Иногда, как в теории управления, среди экзогенных переменных, выделяют управляемые переменные - те, с помощью которых менеджер может привести систему в нужное ему состояние.

Во-вторых, в соотношении (1) появляются переменные новых типов - с лагами, т.е. аргументы в переменных относятся не к текущему моменту времени, а к некоторым прошлым моментам.

В-третьих, составление эконометрической модели типа (1) - это отнюдь не рутинная операция. Например, запаздывание именно на 4 месяца в связанном с эмиссией денег слагаемом b S (t - 4) - это результат достаточно изощренной предварительной статистической обработки. Далее, требует изучения вопрос зависимости или независимости величин S (t - 4) и I(t). От решения этого вопроса зависит, как выше уже отмечалось, конкретная реализация процедуры метода наименьших квадратов.

С другой стороны, в модели (1) всего 3 неизвестных параметра, и постановку метода наименьших квадратов выписать нетрудно:

 

 

3. Проблема идентифицируемости

Идентификация – это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь сталкивается с проблемой идентификации. Индетификация – это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

С позиции идентификацируемости структурные модели можно подразделить на три вида:

• идентифицируемые;
• неидентифицируемые;
• сверхидентифицируемые.

Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной модели, т.е. если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели.

Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов.

Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений, каждое из которых требуется проверить на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо.

Чтобы уравнение было идентифицируемо, необходимо, чтобы число экзогенных переменных (D), отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении (H) без одного.

 

D+1=H – уравнение идентифицируемо;

D+1<H – уравнение неидентифицируемо;

D+1>H – уравнение сверхидентифицируемо.

 

Уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем экзогенным и эндогенным переменным можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного.

 

2. 4. Система линейных одновременных эконометрических уравнений

В литературе подобные системы часто называют системами одновременных уравнений, имея в виду, что здесь зависимая переменная одного уравнения может появляться одновременно в виде переменной (но уже в качестве независимой) в одном или нескольких других уравнениях. В таком случае теряет смысл традиционное различение зависимых и независимых переменных. Вместо этого устанавливается различие между двумя видами переменных.

Это, во-первых, совместно зависимые переменные (эндогенные), влияние которых друг на друга должно быть исследовано (матрица A в слагаемом Ay(t) приведенной выше системы уравнений).

Во-вторых, предопределенные переменные, которые, как предполагается, оказывают влияние на первые, однако не испытывают их воздействия; это переменные с запаздыванием, т. е. лаговые (второе слагаемое) и определенные вне данной системы уравнений экзогенные переменные.

Экзогенными, напр., всегда оказываются показатели климатических условий, если они включаются в модель. В то же время многие экономические переменные в зависимости от задач и структуры модели могут относиться и к эндогенным, и к экзогенным.

Понятие одновременных эконометрических уравнений и методы их решения были впервые предложены норвежским экономистом Т. Хавельмо, лауреатом Нобелевской премии по экономике.

В зависимости от характера ограничений и статистической структуры переменных эконометрические модели классифицируются на линейные модели с одной, двумя и большим числом переменных, а также на пробит-модели, логит-модели, тобит-модели и др.

Чисто формально можно все переменные выразить через переменные, зависящие только от текущего момента времени. Например, в случае уравнения (1) достаточно положить

 

H(t) = I(t- 1), G(t) = S (t - 4).

 

Тогда уравнение примет вид:

 

I(t) = сH(t) + a + b G(t) + e. (2)

 

Отметим здесь же возможность использования регрессионных моделей с переменной структурой путем введения фиктивных переменных. Эти переменные при одних значениях времени (скажем, начальных) принимают заметные значения, а при других - сходят на нет (становятся фактически равными 0). В результате формально (математически) одна и та же модель описывает совсем разные зависимости.

 

2.5.  Методы наименьших квадратов

Как уже отмечалось, разработана масса методов эвристического анализа систем эконометрических уравнений. Они предназначены для решения тех или иных проблем, возникающих при попытках найти численные решения систем уравнений.

Одна из проблем связана с наличием априорных ограничений на оцениваемые параметры. Например, доход домохозяйства может быть потрачен либо на потребление, либо на сбережение. Значит, сумма долей этих двух видов трат априори равна 1. А в системе эконометрических уравнений эти доли могут участвовать независимо. Возникает мысль оценить их методом наименьших квадратов, не обращая внимания на априорное ограничение, а потом подкорректировать. Такой подход называют косвенным методом наименьших квадратов.

Двухшаговый метод наименьших квадратов состоит в том, что оценивают параметры отдельного уравнения системы, а не рассматривают систему в целом. В то же время трехшаговый метод наименьших квадратов применяется для оценки параметров системы одновременных уравнений в целом. Сначала к каждому уравнению применяется двухшаговый метод с целью оценить коэффициенты и погрешности каждого уравнения, а затем построить оценку для ковариационной матрицы погрешностей, После этого для оценивания коэффициентов всей системы применяется обобщенный метод наименьших квадратов.

Алгоритм косвенного метода наименьших квадратов:

• Структурная модель преобразовывается в приведенную форму модели.

• Для каждого уравнения приведенной формы модели обычным МНК оцениваются приведенные коэффициенты.

• Коэффициенты приведенной формы модели трансформируются в параметры структурной формы модели.