Симплекс метод

 

 

Содержание

I. Цель работы……………………………………………………………………..3

II.     1.Решение задачи графическим методом……………………………........4

2. Экономический анализ  задачи с использованием графического  метода……………………………………………………………………………...5

3. Решение задачи симплекс-методом………………………………..........11

4. Решение двойственной задачи…………………………………………..12

5. Расчет функции предельной  эффективности ресурсов (теневых  цен), поступающих на данное предприятие…………………………………………..13

6. Исследование предельной  эффективности с помощью симплекс-метода……………………………………………………………………………..18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Цель работы

Изучить теоретически и применить  на практике симплекс-метод для составления  оптимальной производственной программы  предприятия.

Предприятие готовит к  выпуску два новых изделия  народного потребления. Расходы  по фонду заработной платы, амортизационным  отчислениям и оборотным средствам (материалам) на единицу изделия, общий  расход ресурсов и прибыль на одно изделие приведены в таблице.

 

Наименование ресурса	Расход ресурса на ед. изделия, тыс. руб.		Общий расход ресурсов, тыс.руб.
	Изделие 1	Изделие 2
Заработная плата	6	10	450
Амортизация	8	8	440
Материалы	8	4	360
Прибыль	20	15

 

Необходимо составить  такой план производства, который давал бы предприятию максимальную прибыль.

 

 

1. Решение задачи графическим методом

Записываем задачу в математическом виде (1.1):

	(1.1)

Каждое из ограничений  задачи можно представить на графике  в виде области, ограниченной осями  х₁и х₂ и прямой линией, соответствующей ограничению, представленному в виде равенства.

Совмещая эти решения  на графике, получим область допустимых решений, которая удовлетворяет  всем ограничениям. Далее находим  оптимальное решение путём обхода угловых точек и с помощью  линий прибыли (уровня).

Общий график

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(D) = 20 * 45 + 15 * 0 = 900

Оптимальное решение в  точкеC: 35; 20, при этом прибыль составляет 1000 у.е.

Проверка решения:

Подставим найденное решение  х₁= 35;  х₂ = 20:

 

 

 

Получаем:

 

 

Избыток ресурса составляет 40.

Таким образом, при оптимальном  выпуске фонды амортизации и материалов расходуются полностью, а от фонда заработной платы должно остаться 40 условных единиц.

2. Экономический анализ задачи с использованием графического метода

Далее проводим анализ изменения  активных и пассивных ограничений  и его влияние на оптимальное  решение.

В точке оптимального решения  ресурсы по амортизации и материалам активны, т.е. эти ресурсы дефицитны и используются полностью, а ресурс заработная плата является пассивным, т.е. находится в избытке. Рассмотрим увеличение ресурса по амортизации. Для этого двигаем прямую линию, соответствующую данному ресурсу до точки М. Координаты точки М (; ) можно найти, вычислив координаты точки пересечения прямых по заработной плате и материалам, для чего нужно решить систему уравнений:

 

Откуда , .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим координаты этой точки в ограничение по амортизации:

 

Получаем, что запас этого  ресурса может быть увеличен до 462,9 (при этом оно будет оставаться активным).

Следовательно, количество дефицитного ресурса (амортизация) можно увеличить на:

462,9-440=22,9 (приблизительно; округление до десятых)

Прибыль при этом составит:

1028,6 (приблизительно; округление до десятых)

Рассмотрим увеличение ресурса по материалам. Для этого двигаем прямую линию, соответствующую данному ресурсу до точки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим координаты этой точки в ограничение по материалам:

 

Получаем, что запас этого  ресурса может быть увеличен до 440 (при этом оно будет оставаться активным).

Следовательно, количество дефицитного ресурса (материалы) можно увеличить на:

440-360=80

Прибыль при этом составит:

1100

Рассмотрим поведение  пассивного ограничения по материалам. Для этого сдвигаем прямую материалов  параллельно самой себе до точки оптимального решения C (55;30) (в этой точке ресурс становится активным)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим  координаты точки  оптимального решения в ограничение по заработной плате:

 

Получаем, что запас ресурса «заработная плата» можно уменьшить до 40.

Вывод:

Следовательно, оптимальное  решение находится в точке  C(35;20). Прибыль в этой точке равна 1000 у.е.

Активное ограничение  по амортизации можно увеличить на  22,9 у.е. Прибыль составит 1028,6  у.е.

Активное  ограничение –материалы можно увеличить на 80 у.е. Прибыль при этом 1100 у.е.

Пассивное ограничение по заработной плате можно уменьшить до 40, решение при этом не изменится.

II. Проведем анализ коэффициентов целевой функции, т.е. по диапазону цен на изделия, при котором не происходит изменение оптимального решения. Анализ проводим с помощью угловых коэффициентов. Изменение коэффициентов целевой функции оказывает влияние на наклон линии уровня.

 

Угловой коэффициент линии  уровня: K=C₁\C₂

Находим изменение коэффициента C₂

По условию задачи C₁=20

Ограничение по амортизации:

 

C₂можно увеличивать до совпадения линии уровня с прямой «амортизация»

Угловой коэффициент прямой «амортизация»:К_А=. Так как прямые совпадают, К=К_А, то , С_2(МАХ)=20. С₂можно уменьшать до совпадения линии уровня  с прямой «материалы» (8х₁+4х₂₃₆₀). Угловой коэффициент прямой «материалы »: К_м=. Так как прямые совпадают, К=К_м, то , С_2(MIN)=10. Находим изменение коэффициента C₁. По условию задачи С₂=15. C₁ можно уменьшать до совпадения линии уровня с прямой «амортизация»(8х₁+8х₂₄₄₀). Угловой коэффициент прямой «амортизация»: К_а=. Так как прямые совпадают, С_1(min)=15. Ограничение по материалам: 8Х₁+4Х₂₃₆₀. Аналогично С_1(max)=30

 

 

 

 

 

 

Таким образом, оптимальное  решение задачи не изменяется, если отпускная цена на единицу изделия 1 лежит в диапазоне от 15 тыс. руб. до 30  тыс. руб., при этом доход будет от 825 тыс. руб.  до 1350 тыс. руб., отпускная цена на изделие 2 лежит в диапазоне от 10 тыс. руб.  до 20 тыс. руб., при этом доход будет от 900 тыс. руб. до 1100 тыс. руб.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Решение задачи симплекс-методом

Приводим задачу к каноническому  виду путем введения в условия  балансных или базисных переменных ().

 

 

 

 

 

Решаем задачу симплекс-методом (табл.1).

Таблица 1

Базисные переменные	Оценки переменных	Переменные					Свободные члены	Контрольный столбец
		x1	x2	х3	x4	x5
х3	0	6	10	1	0	0	450	0
x4	0	8	8	0	1	0	440	0
x5	0	8	4	0	0	1	360	0
F		20	15	0	0	0	F	0
х3	0	0	7	1	0		180	0
x4	0	0	4		1	-1	80	0
x1	20	1			0		45	900
F		0	5		0		F-900	900
х3	0	0	0	1		1	40	0
x2	15	0	1				20	300
x1	20	1	0	0			35	700
F		0	0				F-1000	1000

Вывод: оптимальное  решение состоит в выпуске 

и  F=1000 .

Двойственные оценки: ресурс «материалы» , ресурс «амортизация» .

Оптимальное решение по симплекс-методу полностью совпадает с решением по графическому методу.

4. Решение двойственной задачи

Составим и найдем решение  двойственной задачи к задаче, решенной графическим  и симплекс-методом.

Прямая задача:

Найти , чтобы

F(x)= при

 

 

 

 

Решение прямой задачи:

 

F(x)=1000

Двойственная задача:

Найти , чтобы

Z(u)=

 

Соответствующие условия  «дополняющей нежесткости» первой и  второй группы выглядит следующим образом:

 

	Первая группа

 

 

 

	Вторая группа

 

Из условий первой группы, так как    следует, ограничение по заработной плате не лимитирует оптимальную программу, т.е. Так как по оптимальной программе выпускаются 2 изделия и при условии из второй группы условий «дополняющей нежесткости» получаем систему уравнений:

 

;

При этом доход составит

5. Расчет функции предельной эффективности ресурсов (теневых цен), поступающих на данное предприятие

Рассмотрим изменение  предельной эффективности ресурса «амортизация».

При увеличении его запаса от 0 до запаса в точке D(45;0) решение будет находиться на оси , т.е. будет выпускаться только изделие №1 и согласно условию «дополняющй нежесткости» первой группы ограничения по материалам и заработной плате будут иметь нулевые цены .  Поскольку  выпускается только изделие №1, из условия «дополняющей нежесткости» получаем: . То есть при изменении запаса «амортизация» от 0 до его расхода в т. D (45*8+0=360)его эффективность (теневая цена, двойственная оценка) будет равна 2,5.

При дальнейшем увеличении запаса «амортизация» оптимальное решение будет находиться на прямой амортизации до точки М (; ), т.е. ресурс по материалам и амортизации будет активен, а ресурс по заработной плате – пассивен, имеет нулевую оценку (). Используя условие «дополняющей нежесткости» первой и второй группы получаем тот же ответ, что и при решении двойственной задачи, т.е. , ;.

Подставляя координаты точки  М (; ) в уравнение «амортизации», получаем его расход равный 462,9 ед., что полностью совпадает с графическим решением. То есть в пределах от 360 до 462,9 предельная эффективность ресурса «амортизация» будет .

Дальнейшее увеличение запасов «амортизация» не имеет смысла, так как этот ресурс будет в избытке, т.е. его цена будет равна 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим изменение  предельной эффективности ресурса «материалы». При увеличении его запаса от 0 до запаса в точке А(0;45) решение будет находиться на оси , т.е. будет выпускаться только изделие №2. Согласно условиям «дополняющей нежесткости»  первой группы ограничения по материалам и амортизации будут иметь нулевые цены: . Поскольку выпускается только изделие №2, из условия «дополняющей нежёсткости» №2  получаем=3,75.

То есть при изменении запаса ресурса «материалы» от 0 до его расхода в точке А (8*0+4*45=180) эффективность(теневая цена, двойственная оценка) ресурса будет равна 3,75.

При дальнейшем увеличении запаса «материалы» оптимальное решение будет находиться на прямой «материалы» до точки В, т.е ресурс по материалам и заработной плате будет активным, а ресурс по амортизации – пассивным, имеет нулевую оценку используя условия «дополняющей нежесткости» первой и второй группы получаем ответ, ; .

Подставляя координаты точкиВ(25;30) в уравнение материалы получаем его расход равный 320, что полностью совпадает с графическим решением. То есть в пределах от 180 до 320 предельная эффективность ресурса «материалы» будет

При дальнейшем увеличении запаса «материалы» оптимальное решение будет находиться на прямой «амортизация» до точки Е(55;0). Используя условия «дополняющей нежесткости» первой и второй группы получаем тот же ответ, что и при решении двойственной задачи, т.е. .

Подставляя координаты точки  Е(55;0) в уравнение материалов получаем его расход равный 440, что полностью совпадает с графическим решением. То есть в пределах от 320 до 440 предельная эффективность ресурса «материалы» будет

Дальнейшее увеличение запасов «материалы» не имеет смысла, так как этот ресурс будет в избытке и его цена будет равна 0.

 

 

 

 

 

 

Сводим полученные данные в таблицу и изображаем их на графике.

Функция предельной эффективности ресурса «амортизация».

Предельная эффективность, , руб.	2,5		0
Запас ресурса (амортизация), тыс.рублей	0 – 360	360 – 462,9