Симплекс метод

                  4x₂+x₃+3x₄+x₆ = 3360

     3x₁+x₂+x₃+x₄+x₇ = 7120

     2x₁+3x₂+x₃+4x₄-x₈ = 5040

     Система ограничений предлагает только 3 допустимых базисных переменных x₅, x₆, x₇ - они входят только в одно уравнение соответственно в 1-е, 2-е, и 3-е с коэффициентом 1. В 4-е уравнение добавляем искусственную переменную x₉ ≥ 0. Чтобы можно было применить симплекс-метод система уравнений-ограничений должна быть системой с базисом, т.е. в каждом уравнении должна быть переменная с коэффициентом 1, которая входит только в одно уравнение системы, в нашем случае это x₅, x₆, x₇ и x₉. Эти добавочные переменные в условиях данной задачи имеют конкретное экономическое содержание, а именно: объем остатков сырья каждого вида после выполнения плана выпуска продукции. [4] Итак, имеем:

     f=400x₁+600x₂+200x₃+1000x₄→max,

      x₂+2x₄+x₅ = 3000

                  4x₂+x₃+3x₄+x₆ = 3360

     3x₁+x₂+x₃+x₄+x₇ = 7120

     2x₁+3x₂+x₃+4x₄-x₈+ x₉ = 5040.

     Данная  система является системой с базисом, в которой x₅, x₆, x₇ и x₉ базисные переменные, а x₁, x₂, x₃, x₄ и x₈ свободные переменные, свободные члены всех уравнений неотрицательны. Следовательно, для решения задачи можно применить симплекс-метод. Запишем начальную симплекс-таблицу:

      Таблица 3.

     В строке индексных оценок таблицы 3 имеются отрицательные значения, следовательно, решение можно улучшить. Среди коэффициентов этой строки (исключая столбец свободных членов b) выбирается наименьшее отрицательное число (-1000). Данный столбец является разрешающим.

      Определяем  разрешающую строку. Для этого находим наименьшее из отношений свободных членов к положительным коэффициентам разрешающего столбца (1120).

      Таким образом, отыскивается разрешающий  элемент таблицы, расположенный на пересечении разрешающих столбца и строки (3).

     В дальнейшем базисная переменная, отвечающая строке разрешающего элемента, должна быть переведена в разряд свободных, а свободная переменная, отвечающая столбцу разрешающего элемента, вводится в число базисных. Строится новая таблица, содержащая новые названия базисных переменных. Разделим каждый элемент разрешающей строки на разрешающий элемент и полученные значения запишем в строку с измененной базисной переменной новой симплекс таблицы. 

     Таблица 4.

     В новой таблице 4 все элементы разрешающего столбца = 0, кроме разрезающего элемента, он всегда равен 1.

     Столбец, у которого в разрешающей строке имеется 0,в новой таблице будет таким же.

     Строка, у которой в разрешающем столбце имеется 0,в новой таблице будет такой же.

      В остальные клетки новой таблицы записывается результат преобразования элементов старой таблицы:  
 
 

     Схема 2.

     В строке индексных оценок имеются отрицательные значения, следовательно, решение не является оптимальным.

      При составлении новой таблицы переменная х₉ попадет в разряд свободных, а переменная х₁ станет базисной. 

Таблица 5.

      В строке индексных оценок имеются отрицательные значения, следовательно, продолжаем улучшать решение.

      Таблица 6.

     Т.к. строка индексных оценок не содержит отрицательных значений, данная таблица 6 является последней.

      Оптимальным будет решение (2000; 0; 0; 1120; 760; 0; 0; 3440; 0), при котором  f_max =1920000.

     Это означает, что

     Прямая  задача:

     Для получения наибольшей прибыли, равной 1920000 руб., предприятие должно выпустить 2000 единиц продукции 1-го вида (комоды) и 1120 единиц продукции 4-го вида (кресла), продукцию 2-го и 3-го видов (стулья и столы) в данных условиях производить не выгодно. 
 

     Двойственная  задача:

     При этом плане сырье 2-го и 3-го типов (сосна и кедр) будет использовано полностью, а 760 м² сырья 1-го типа (дуб) останутся неизрасходованными. Из таблицы 6 также видно, что оптимальным решением двойственной задачи является х₅=0; х₆=288 8/9; х₇=133 1/3; (-х₈+х₉)=0.

     Переменные  х₆ и х₇ обозначают условные двойственные оценки единицы сырья, соответственно 2-го и 3-го видов. Эти оценки отличны от нуля, а сырье 2-го и 3-го видов полностью используется при оптимальном плане производства продукции. Двойственная оценка единицы сырья 1-го вида равна нулю (х₅=0). Этот вид сырья не полностью используется при оптимальном плане производства продукции (остаток 760 м²). Двойственная оценка (-х₈+х₉)=0 показывает, что сотрудники предприятия отработают на 3440 часов больше минимально допустимого значения (по условию задачи: сотрудники предприятия за планируемый месяц должны отработать не менее 5040 часов).

     Таким образом, положительную двойственную оценку имеют лишь те виды сырья (сосна, кедр), которые полностью используются при оптимальном плане производства изделий. Поэтому двойственные оценки определяют дефицитность используемого предприятием сырья. Более того, величина данной двойственной оценки показывает, на сколько возрастает максимальное значение целевой функции прямой задачи при увеличении количества сырья соответствующего вида на 1м². Так, увеличение количества сырья 2-го вида (брезент) на 1 м² приведет к тому, что появится возможность найти новый оптимальный план производства изделий, при котором общая стоимость изготовляемой продукции возрастет на 288 8/9 руб. и станет равной             1920000+288 8/9=1920288 8/9 руб. При этом числа, стоящие в столбце х₆ таблицы, показывают, что указанное увеличение общей стоимости изготовляемой продукции может быть достигнуто за счет увеличения выпуска изделий 4-го вида (кресла) на 1/3 ед. и сокращения выпуска изделий 1-го вида (комоды) на 1/9 ед. Вследствие этого использование сырья 1-го вида (дуб) увеличится на 2/3 м², а время для изготовления такого объема продукции увеличится на 1 1/9 часа. Точно так же увеличение на 1 м² сырья 3-го вида (кедр) позволит найти новый оптимальный план производства изделий, при котором общая стоимость изготовляемой продукции возрастет на 133 1/3 руб. и составит         1920000+133 1/3 =1920133 1/3 руб. Это будет достигнуто в результате увеличения выпуска изделий 1-го типа (комоды) на 1/3 ед., причем время, затраченное на производство этого объема продукции возрастет на 2/3 часа. [3]