Решение задачи восстановления линейной регрессии для случая одной переменной

Контрольная работа по эконометрике

«Решение задачи восстановления линейной регрессии  
для случая одной переменной»

Вариант № 12

Первая контрольная работа заключается в решении задачи восстановления линейной регрессии  для случая одной переменной. Все задачи решаются на компьютере, независимо от среды реализации.

Номер варианта контрольного задания совпадает с двумя  последними цифрами зачётной книжки по модулю 15. Две последние цифры зачетной книжки составляют число 12, значит остаток от деления Excel: ОСТАТ(12,15)=12. Следовательно, наклон прямой b₁=12, коэффициент b₀ задается произвольно (5).

Получаемое таким образом  число, является коэффициентом наклона  прямой линии, которая задаёт связь  между независимой и зависимой переменными в дальнейших расчетах.

По номеру варианта синтезируется  матрица данных для линейной регрессионной  модели. Для этого выполняется  следующая последовательность действий:

1. Выбирается столбец электронной таблицы и в нем синтезируется последовательность номеров измерений. Обычно эта последовательность начинается с 1 и продолжается в пределах видимости данных на экране. Длина последовательности 25 – 30 значений.

2. Для этого столбца  номеров измерения задаётся столбец значений аргумента. Пределы изменения аргумента задаются самим пользователем.

3. Задаётся столбец значений возмущений для аргумента. Можно задавать значения путём обращения к функциям пакета, но лучше это сделать, используя меню «Сервис \ Анализ данных \ Генерация случайных чисел». При задании случайного возмущения аргумента обычно задается закон распределения вероятности генерируемых значений. Если выбрать нормальное распределение, то следует задать среднее значение и стандартное отклонение. В этом случае мы получим хорошее согласие с требованиями к методу наименьших квадратов, если зададим нулевое среднее и небольшое значение стандартного отклонения (1).

4. К настоящему моменту  под регрессией понимается некоторая функциональная зависимость между объясняющими переменными и условным математическим ожиданием (средним значением) зависимой переменной.

5. Реальные значения зависимой  переменной могут быть такими, что не всегда совпадают с условными математическими ожиданиями и одному и тому же значению аргумента отвечают разные значения функции. Это легче всего истолковать как наличие некоторой случайной величины (СВ), которая объясняет возможные отклонения наличием довольно продолжительного списка факторов. По этой причине, основная известная нам, в пределах данного примера, функциональная зависимость должна быть дополнена СВ, которую и называют часто остаточным эффектом. Выбор случайного возмущения производится путём автоматического синтеза (генерации) случайных чисел по указанной методике, не нарушая предпосылок МНК.

6. В нашем случае мы  будем моделировать связь между  двумя случайными величинами, которая  подчиняется зависимости:

 

здесь β₀, β₁ – теоретические параметры регрессии;

ε – случайное отклонение (возмущение, ошибка).

Задача линейного регрессионного анализа формулируется как задача получения наилучших оценок неизвестных параметров β₀, β₁.

7. Требуется по выборке  ограниченного объёма построить  так называемое эмпирическое  уравнение:

 

где y – оценка условного математического ожидания Y,

b₀, b₁ – оценка неизвестных параметров β₀, β₁, называемых эмпирическими коэффициентами регрессии.

8. Самым известным и  исследованным является метод  наименьших квадратов (МНК), согласно которому, для определения b₀, b₁, следует минимизировать сумму квадратов отклонений:

Следствием этого требования является система линейных уравнений, которая легко решается относительно параметров b₀ и b₁.

В том случае, если возмущение касается только аргумента, схема приводит к идеальному результату. Однако, если возмущение касается значений функции, то мы получаем видимые отличия, сравнивая восстановленные параметры со значениями параметров тестовой функции. Вид системы уравнений сводится к следующим соотношениям:

Полученная система уравнений  легко решается относительно неизвестных b₀ и b₁. Получить необходимые результаты можно на основе разных подходов. Для продвинутых пользователей системы Excel, можно порекомендовать использование различных матричных операций, а для начинающих пользователей лучше провести все расчеты путём задания явных формул.

После получения результатов  можно сделать несколько выводов:

1. Методом наименьших  квадратов можно получить оценки  коэффициентов, которые зависят  от значений, попавших в выборку  случайным образом.

2. Полученные оценки являются  точечными оценками теоретических коэффициентов регрессии.

3. Эмпирически подобранная  прямая регрессии обязательно  проходит через точку с координатами равными средним значениям аргумента и функции.

4. Оценки не позволяют  сделать вывод о точности эмпирического уравнения регрессии.

Для того, что бы быть уверенными в полученных результатах, можно провести автоматические расчеты уравнения регрессии через меню «Сервис | Анализ данных | Регрессия». При правильных расчетах результаты должны совпасть. Если результаты не совпадают, значит, в процессе расчетов, допущены ошибки. Кроме указанной информации по результатам применения можно получить дополнительную информацию об уравнении регрессии.