Распределение ресурсов между предприятиями

В реально функционирующих  больших экономических системах еженедельно требуется принимать микроэкономические решения. Модели ДП ценны тем, что позволяют на основе стандартного подхода с использованием при минимальном вмешательстве человека принимать такие решения. И если каждое взятое в отдельности такое решение малосущественно, то в совокупности эти решения могут оказать большое влияние на прибыль.

Рассматривается управляемый  процесс, например, экономический процесс распределения средств между предприятиями, использования ресурсов в течение ряда лет, замены оборудования, пополнения запасов и т. п. В результате управления система (объект управления) S переводится из начального состояния (S₀) в конечное состояние(S_n). Предположим, что управление можно разбить на n шагов, т.е. решение принимается последовательно на каждом шаге, а управление, переводящее систему S из начального состояния в конечное, представляет собой совокупность n пошаговых управлений:

На каждом шаге применяется  некоторое управленческое решение x_k, при этом множество называется управлением. Таким образом, задача оптимального управления имеет следующую структурную схему:

Предположим, что

1-е Задача принятия  оптимального решения может быть интерпретирована как n-шаговый процесс управления.

2-е Показатель эффективности  всего процесса управления является аддитивной (суммарной) функцией показателей эффективности каждого шага.

3-е Состояние S_k зависит только от состояния S_k-1 и управления X_k.S_k (S_k-1, X_k)

4-е Выбор управления  на k-ом шаге зависит только  от состояния системы к этому шагу X_k (S_k-1)

5-е На каждом шаге  управления X_k зависит от конечного числа управляющих переменных. Состояние системы на каждом шаге зависит от конечного числа параметров.

Принцип оптимальности  Беллмана.

Принцип оптимальности  впервые был сформулирован Р. Беллманом в 1953 году: «Каково бы ни было состояние S системы в результате какого-либо числа шагов, на ближайшем шаге нужно выбирать управление так, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих шагах приводило к оптимальному выигрышу на всех оставшихся шагах, включая данный». Беллманом были четко сформулированы и условия, при которых принцип верен.

Основное требование - процесс управления должен быть без  обратной связи, т.е. управление на данном шаге не должно оказывать влияния на предшествующие шаги.

Принцип оптимальности  утверждает, что для любого процесса без обратной связи оптимальное управление таково, что оно является оптимальным для любого подпроцесса по отношению к исходному состоянию этого подпроцесса. Поэтому решение на каждом шаге оказывается наилучшим с точки зрения управления в целом. Если изобразить геометрически оптимальную траекторию в виде ломаной линии, то любая часть этой ломаной будет являться оптимальной траекторией относительно начала и конца.

Для каждого состояния системы на ближайшем шаге нужно выбрать управление так, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих шагах приводило к наивысшим показателям эффективности всего процесса управления.

Т.е. на каждом шаге управление должно быть наилучшим с точки зрения управления в-целом.

Соотношение Беллмана (конкурентное соотношение)

Обратная схема Беллмана

Прямая схема Беллмана

 

4. Решение задачи распределения ресурсов

Решение задачи распределения  ресурсов было произведено по прямой схеме Белмана. В следующих таблицах представлены полученные значения:

1. В данной таблице представлены значения прибыли (F_i(Q)), которые были получены путем решения в MathCAD производственно-экономической задачи каждого инвестируемого предприятия. Эти значения изменяются в зависимости от объемов вложенных инвестиций.
2. В данной таблице представлены данные о дополнительном доходе(p_i(Q)), которое предприятие-инвестор получит от каждого инвестируемого предприятия в зависимости от объема вложенных инвестиций.
3. В данной таблице рассчитаны показатели эффективности (Z_i(Q)) инвестируемых предприятий, которые были получены с помощью прямой схемы Беллмана.

Данные значения рассчитаны для каждого предприятия:

1. ОАО «Квадробублик» - F₁(Q),P₁(Q),Z₁(Q);
2. Мебельная фабрика «Утром деньги, вечером стулья» - F₂(Q),P₂(Q),Z₂(Q);
3. Обувная фабрика «Два сапога - пара» - F₃(Q),P₃(Q),Z₃(Q);
4. ОАО «Фабрика зверушек» - F₄(Q),P₄(Q),Z₄(Q);
5. ОАО «Мороженное мороженое» - F₅(Q),P₅(Q),Z₅(Q).

Таблица 1

Средства	Прибыль от проектов
Q	F1(Q)	F2(Q)	F3(Q)	F4(Q)	F5(Q)
0,00	132 767,50	121 788,15	382 236,00	662 311,80	17 758,24
1 000 000,00	1 712 069,18	590 871,94	1 278 500,00	3 095 547,66	526 351,45
2 000 000,00	3 176 221,24	1 023 252,56	1 778 500,00	3 775 991,72	1 028 012,95
3 000 000,00	4 356 478,71	1 455 633,17	2 278 500,00	4 276 406,25	1 529 131,43
4 000 000,00	5 024 640,00	1 888 013,79	2 778 500,00	4 776 406,25	2 029 963,38
5 000 000,00	5 024 640,00	2 320 394,41	3 278 500,00	5 086 200,00	2 530 643,88

Таблица 2

Средства	Дополнительный  доход от проектов
Q	P1(Q)	P2(Q)	P3(Q)	P4(Q)	P5(Q)
0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00
1 000 000,00	1 579 301,68	469 083,79	896 264,00	2 433 235,86	508 593,21
2 000 000,00	1 464 152,06	432 380,62	500 000,00	680 444,06	501 661,50
3 000 000,00	1 180 257,47	432 380,61	500 000,00	500 414,53	501 118,48
4 000 000,00	668 161,29	432 380,62	500 000,00	500 000,00	500 831,95
5 000 000,00	0,00	432 380,62	500 000,00	309 793,75	500 680,50

Таблица 3

Средства	Показатель  эффективности проектов
Q	Z1(Q)	Z2(Q)	Z3(Q)	Z4(Q)	Z5(Q)
0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00
1 000 000,00	1 579 301,68	1 579 301,68	1 579 301,68	2 433 235,86	2 433 235,86
2 000 000,00	1 464 152,06	2 048 385,47	1 365 347,79	3 329 499,86	2 941 829,07
3 000 000,00	1 180 257,47	2 011 682,30	2 944 649,47	3 798 583,65	3 838 093,07
4 000 000,00	668 161,29	2 011 682,29	2 907 946,30	5 377 885,33	5 377 885,33
5 000 000,00	0,00	2 011 682,30	2 907 946,29	5 341 182,16	5 886 478,54

Рассмотрим нахождение каждого из показателей эффективности, для удобства обозначив аргумент функции 1M=1000000:

Для показателей эффективности  одного предприятия [Z₁(Q)]

Z₁(0M) = P₁(0M) = 0

Z₁(1M) = P₁(1M)= 1579301,68

Z₁(2M) = P₁(2M)= 1464152,06

Z₁(3M) = P₁(3M)= 1180257,47

Z₁(4M) = P₁(4M)= 668161,29

Z₁(5M) = P₁(5M)= 0

Для показателей эффективности  двух предприятия [Z₂(Q)]

Z₂(0) = P₂(0) = 0

Z₂(1M) =max{P₁(0M)+P₂(1M); P₁(1M)+P₂(0M)}= 1579301,68

Z₂(2M) = max{P₁(0M)+P₂(2M); P₁(1M)+P₂(1M); P₁(2M)+P₂(0M)} = 2048385,47

Z₂(3M) = max{P₁(0M)+P₂(3M); P₁(1M)+P₂(2M) ; P₁(2M)+P₂(3M); P₁(3M)+P₂(0M)} =2011682,3

Z₂(4M) = max{P₁(0M)+P₂(4M); P₁(1M)+P₂(3M) ; P₁(2M)+P₂(2M); P₁(3M)+P₂(1M); P₁(4M)+P₂(0M)} =2011682,3

Z₂(5M) = max{P₁(0M)+P₂(5M); P₁(1M)+P₂(4M) ; P₁(2M)+P₂(3M); P₁(3M)+P₂(2M); P₁(4M)+P₂(1M) ; P₁(5M)+P₂(0M)} =2011682,3

Для показателей эффективности  трех предприятия [Z₃(Q)]

Z₃(0) = P₃(0) = 0

Z₃(1M) =max{Z₂(0M)+P₃(1M); Z₂(1M)+P₃(0M)}= 1579301,68

Z₃(2M) = max{Z₂(0M)+P₃(2M); Z₂(1M)+P₃(1M); Z₂(2M)+P₃(0M)} = 1365347,79

Z₃(3M) = max{Z₂(0M)+P₃(3M); Z₂(1M)+P₃(2M) ; Z₂(2M)+P₃(3M); Z₂(3M)+P₃(0M)} =2944649,47

Z₃(4M) = max{Z₂(0M)+P₃(4M); Z₂(1M)+P₃(3M) ; Z₂(2M)+P₃(2M); Z₂(3M)+P₃(1M); Z₂(4M)+P₃(0M)} =2907946,3

Z₃(5M) = max{Z₂(0M)+P₃(5M); Z₂(1M)+P₃(4M) ; Z₂(2M)+P₃(3M); Z₂(3M)+P₃(2M); Z₂(4M)+P₃(1M) ; Z₂(5M)+P₃(0M)} =2907946,3

Для показателей эффективности  четырех предприятия [Z₄(Q)]

Z₄(0) = P₄(0) = 0

Z₄(1M) =max{Z₃(0M)+P₄(1M); Z₃(1M)+P₄(0M)}= 2433235,86

Z₄(2M) = max{Z₃(0M)+P₄(2M); Z₃(1M)+P₄(1M); Z₃(2M)+P₄(0M)} = 3329499,86

Z₄(3M) = max{Z₃(0M)+P₄(3M); Z₃(1M)+P₄(2M) ; Z₃(2M)+P₄(3M); Z₃(3M)+P₄(0M)} =3798583,65

Z₄(4M) = max{Z₃(0M)+P₄(4M); Z₃(1M)+P₄(3M) ; Z₃(2M)+P₄(2M); Z₃(3M)+P₄(1M); Z₃(4M)+P₄(0M)} =5377885,33

Z₄(5M) = max{Z₃(0M)+P₄(5M); Z₃(1M)+P₄(4M) ; Z₃(2M)+P₄(3M); Z₃(3M)+P₄(2M); Z₃(4M)+P₄(1M) ; Z₃(5M)+P₄(0M)} =5341182,16

 

Для показателей эффективности  пяти предприятия [Z₅(Q)]

Z₅(0) = P₅(0) = 0

Z₅(1M) =max{Z₄(0M)+P₅(1M); Z₄(1M)+P₅(0M)}= 2433235,86

Z₅(2M) = max{Z₄(0M)+P₅(2M); Z₄(1M)+P₅(1M); Z₄(2M)+P₅(0M)} = 2941829,07

Z₅(3M) = max{Z₄(0M)+P₅(3M); Z₄(1M)+P₅(2M) ; Z₄(2M)+P₅(3M); Z₄(3M)+P₅(0M)} =3838093,07

Z₅(4M) = max{Z₄(0M)+P₅(4M); Z₄(1M)+P₅(3M) ; Z₄(2M)+P₅(2M); Z₄(3M)+P₅(1M); Z₄(4M)+P₅(0M)} =5377885,33

Z₅(5M) = max{Z₄(0M)+P₅(5M); Z₄(1M)+P₅(4M) ; Z₄(2M)+P₅(3M); Z₄(3M)+P₅(2M); Z₄(4M)+P₅(1M) ; Z₄(5M)+P₅(0M)} =5886478,54

Таким образом получаем решение задачи:

Z₅(5M)= 5377885,33 + 508593,21 = 5886478,54  Q₅ = 1000000 р.

Z₄(4M)= 2944649,47+ 2433235,86 = 5377885,33  Q₄ = 1000000 р.

Z₃(3M)= 2048385,47+ 896264,00 = 2944649,47  Q₃ = 1000000 р.

Z₂(2M)= 1579301,68+ 469083,79 = 2048385,47  Q₂ = 1000000 р.

Z₁(1M) = P₁(1M)= 1579301,68     Q₅ = 1000000 р.

 

Вывод:

Для получения максимальной прибыли предприятием- инвестором выделенные ресурсы (денежные средства в размере 5000000 рублей) должны быть распределены следующим образом - каждому инвестируемому предприятию следует выделить по 1000000 рублей. При этом максимальный объединенный показатель эффективности будет равен 5886478,54 рублей.

 

Заключение

Решение задачи распределения  ресурсов между пятью предприятиями было произведено методами линейного и динамического программирования.

Метод линейного программирования позволил найти оптимальные планы производства продукции и значения прибыли каждого предприятия в зависимости от объема выделенных инвестором денежных средств. Также этим методом были найдены значения прибыли, которую получит каждое из инвестируемых предприятий без выделения инвестором дополнительных ресурсов (денежных средств): ОАО «Квадробублик» - 132767,50 рублей; Мебельная фабрика «Утром деньги, вечером стулья» - 121788,15 рублей; Обувная фабрика «Два сапога - пара» - 382236 рублей; ОАО «Фабрика зверушек» - 662311,80 рублей; ОАО «Мороженное мороженое» - 17758,24 рублей.

Метод динамического  программирования позволил определить оптимальный план распределения ресурсов между предприятиями, который обеспечит предприятию-инвестору максимальную совокупную прибыль. Оптимальный план распределения ресурсов предполагает, что каждое предприятие должно получить от инвестора следующее количество дополнительных средств:

1. 1000000 рублей - ОАО «Квадробублик»;

2. 1000000 рублей - Мебельная фабрика «Утром деньги, вечером стулья»;

3. 1000000 рублей - Обувная фабрика «Два сапога - пара»;

4. 1000000 рублей - ОАО «Фабрика зверушек»;

5. 1000000 рублей - ОАО «Мороженное мороженое».

Данный оптимальный  план предполагает, что максимальный объединенный показатель эффективности (совокупная прибыль от пяти предприятий) будет равен 5886478,54 рублей.