План производства

 

Все элементы в строке целевой  функции итоговой симплекс-таблицы  положительны, поэтому получен оптимальный  план производства гусеничных механизмов:

x = (1525,42; 0; 0; 4237,29; 0; 237,29; 0; 59,32) (единиц продукции), при этом максимальная прибыль составит: max F = 264406,78 (ф. ст.).

Таким образом, оптимальный  план производства гусеничных механизмов включает в себя изготовление 1525,42 единиц механизмов типа А и 4237,29 единиц механизмов типа D. При этом полностью используется сырье (кг) для изготовления продукции и ресурс по обжигу (ч). Остаются частично неиспользованными ресурсы по сборке механизмов (237,29 ч) и упаковке продукции (59,32 ч).

 

2.3. Анализ модели на  чувствительность

2.3.1. Построение двойственной  задачи и ее решение

В этой задаче m двойственных переменных у, каждая из которых соответствует одному из m ограничений прямой задачи, и n ограничений, каждое из которых связано с одной из n переменных х прямой задачи. Коэффициенты целевой функции прямой задачи с и значения правой части ограничений b в двойственной задаче меняются местами. Строки коэффициентов левой части системы ограничений прямой модели становятся столбцами в двойственной, а столбцы – строками. Двойственные переменные у являются теневыми ценами ресурсов в прямой задаче, и наоборот. В данном случае целевая функция двойственной задачи минимизируется, а целевая функция прямой задачи – максимизируется. Если ограничения прямой задачи имеют знак "<", то ограничения двойственной задачи записываются со знаком " ".

Для рассматриваемой модели двойственная задача примет вид:

 

при условиях:

 

 

Для решения двойственной задачи воспользуемся итоговой симплекс- таблицей (см. табл. 2.5) прямой задачи:

Итоговая симплекс-таблица

	Cj	40	42	44	48	0	0	0	0	bi
Cб	Базис	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
40	x1	1	0,65	0	0	0,34	0	−0,34	0	1525,42
0	x6	0	−0,33	0,25	0	−0,17	1	0,01	0	237,29
48	x4	0	0,42	1	1	−0,17	0	0,34	0	4237,29
0	x8	0	−0,14	−0,25	0	−0,04	0	−0,08	1	59,32
	Dj	0	4,44	4	0	5,42	0	2,49	0	264406,78

 

Из элементов строки целевой  функции получили, что оптимальный план двойственной задачи можно записать так:

y₁=5,42,  y₂=0, y₃=2,49, y₄=0,

Разница значений целевой  функции для прямой и для двойственной задачи объясняется погрешностью округления элементов симплекс-таблиц.

 

2.3.2. Определение статуса  и значимости ресурсов

Решение прямой задачи дает оптимальный план производства гусеничных механизмов типа А, В, С и D, а решение двойственной – оптимальную систему оценок запасов ресурсов, используемых для изготовления данной продукции.

Переменные y₁ и y₃ обозначают условные двойственные оценки единицы запасов ресурсов соответственно: сырье (кг) и обжиг (ч). Эти оценки отличны от нуля, а сами ресурсы полностью используются при оптимальном плане производства продукции. Двойственные оценки единицы запасов ресурсов сборки (ч) и упаковки (ч) равны нулю. Эти виды ресурсов используются не полностью при оптимальном плане производства. Значит, двойственные оценки определяют дефицитность используемых ресурсов.

Таким образом, положительную  двойственную оценку имеют ресурсы, которые полностью используются при оптимальном плане производства и являются дефицитными. Если ресурс используется не полностью, то его двойственная оценка равна нулю, и такой ресурс является избыточным. Для данной задачи статус ресурсов приведен в таблице 2.6.

 

Таблица 2.6

Статус ресурсов

Ресурс	Двойственная оценка ресурса	Статус ресурса
Сырье, кг	5,42	Дефицитный
Сборка, ч	0	Избыточный
Обжиг, ч	2,49	Дефицитный
Упаковка, ч	0	Избыточный

 

Значимость ресурса характеризуется  величиной улучшения максимального  значения целевой функции при  поиске нового оптимального решения, приходящейся на единицу прироста данного ресурса.

Величина данной двойственной оценки показывает, на сколько возрастает максимальное значение целевой функции  прямой задачи при увеличении соответствующего вида ресурса на 1 единицу. Например, увеличение количества сырья на 1 кг показывает, что появится возможность найти новый оптимальный план производства, при котором общая прибыль от реализации продукции возрастет на 5,42 ф. ст. А числа, стоящие в столбце x₆ табл. 2.5 показывают, что данное увеличение прибыли может быть достигнуто за счет увеличения количества сырья на 0,34 кг и уменьшения сборки на 0,17 ч, обжига – на 0,17 ч и упаковки – на 0,04 ч.

Аналогично, увеличение времени  обжига на 1 ч приведет к возможности  поиска нового оптимального плана производства, в котором общая прибыль от реализации продукции увеличится на 2,49 ф. ст. Из столбца x₇ табл. 2.5 видно, что это возможно при увеличении сборки на 0,01 ч, обжига – на 0,34 ч и уменьшении сырья на 0,34 кг, упаковки – на 0,08 ч.

Следовательно, сырье имеет  большую значимость, поэтому его  увеличение более выгодно с точки  зрения влияния на целевую функцию.

 

 

 

2.3.3. Определение интервалов  устойчивости решения

С помощью двойственной оценки можно определить степень влияния  изменения ограничений на значение целевой функции.

Таким образом, если получено оптимальное решение задачи линейного  программирования, то можно провести анализ устойчивости двойственных оценок относительно изменений b_i, т.е. проанализировать устойчивость оптимального плана относительно изменений свободных членов системы линейных уравнений, оценить степень влияния изменения b_i на значение целевой функции и определить наиболее целесообразный вариант изменений b_i.

Следовательно, интерес представляет определение интервалов устойчивости (неизменности) двойственных оценок по отношению к возможным изменениям запасов ресурсов каждого вида . При этом условие устойчивости двойственных оценок задачи исходит из выражения:

, в котором компоненты вектора должны быть неотрицательны .

Матрица соответствует столбцам дополнительных переменных x₅, x₆, x₇, x₈:

 

Следовательно, получим выражение:

 

Получили условие устойчивости решения:

 

Затем последовательно находим  интервалы устойчивости:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

Этим интервалам устойчивости будут соответствовать следующие  пределы запасов ресурсов для  оптимального решения:

1)

2)

3)

4)

Таким образом, если количество запасов одного из видов ресурсов сборки (ч) или упаковки (ч) будет  увеличено или уменьшено на произвольное количество соответственно в пределах 350 ч или 200 ч, то полученное решение  двойственной задачи останется оптимальным. Так же, если количество ресурсов сырья (кг) и обжига (ч) будет находиться в пределах и соответственно, а количество остальных ресурсов остается первоначальным, то решение двойственной задачи так же останется неизменно оптимальным.

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основной целью данной курсовой работы было составление оптимального плана производства продукции для  компании по производству гусеничных механизмов. Для этого были решены следующие задачи:

• составлена теоретическая подоснова проекта: описание симплекс-метода решения задач линейного программирования, подробное изучение алгоритма симплексного метода, рассмотрена теория двойственных задач линейного программирования, а также двойственный симплекс-метод;
• исходные данные были сведены к задаче линейного программирования;
• поставленная задача была решена симплекс-методом;
• произведены оценка имеющихся ресурсов с помощью решения двойственной задачи и анализ устойчивости полученных оценок.

В результате проведенных  исследований и расчетов получили оптимальный  план производства гусеничных механизмов, который обеспечит максимальную прибыль 264406,78 ф. ст. при производстве 1525,42 единиц механизмов типа А и 4237,29 единиц механизмов типа D.

Анализ полученной модели показал, что данный план производства оптимален, т. к. значения целевой функции, рассчитанные в прямой и двойственной задаче, совпадают.

Так же с помощью двойственной задачи был определен статус ресурсов и их значимость. Таким образом, получили, что сырье и обжиг являются дефицитными ресурсами, а сборка и упаковка – избыточными. Из дефицитных ресурсов большую значимость имеет  сырье, т. к. его увеличение на 1 кг приводит к поиску оптимального плана производства, при котором прибыль может  увеличиться на 5,42 ф. ст. (за счет увеличения количества сырья на 0,34 кг и уменьшения сборки на 0,17 ч, обжига – на 0,17 ч и упаковки – на 0,04 ч), в то время как увеличение ресурса обжига на 1 ч позволит найти план, при котором прибыль увеличится лишь на 2,49 ф. ст., что возможно при увеличении сборки на 0,01 ч, обжига – на 0,34 ч и уменьшении сырья на 0,34 кг, упаковки – на 0,08 ч.

Для данного плана производства были рассчитаны интервалы устойчивости, т.е. произведена оценка степени влияния изменения количества каждого ресурса на значение целевой функции и определен наиболее целесообразный вариант изменений. Было получено оптимальное количество ресурсов, которое составляет:

1) – для сырья (кг)

2) – для сборки (ч)

3) – для обжига (ч)

4) – для упаковки (ч)

В конечном итоге был получен  план производства гусеничных механизмов, определена максимальная прибыль при  его реализации, а так же произведен анализ полученного плана с помощью  двойственной задачи, который показал, что данный план оптимален.

 

 

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ

1. Литература

1. Фомин, Г. П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: Учебник / Г. П. Фомин. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 616 с.

2. Акулич, И. А. Математическое программирование в примерах и задачах: Учебное пособие / И. Л. Акулич. – СПб.: Издательство «Лань», 2009. – 352 с.

3. Кузнецов, А. В. Руководство к решению задач по математическому программированию: Учебное Пособие / А.В. Кузнецов, Н.И. Холод, Л.С. Костевич. – М.: Высшая школа, 2001. – 448 с.

4. Кремер, Н. Ш. Исследование операций в экономике: Учебное пособие для вузов / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман; под ред. проф. Н. Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2003. – 407 с.

2. Электронные ресурсы

5. Попова, Н. В. Математические методы: электронный учебник / Н. В. Попова. – М.: ВТК, 2005. [Электронный ресурс] – http://matmetod-popova.narod.ru/Index1.htm