Однофакторные корреляционно - регрессионные модели и возможности их применение при анализе социально-экономических систем

    3. Проверим результаты, полученные  в п.2 с помощью ППП Exel.

    3а)  Результат вычислений функции  ЛИНЕЙН для рассматриваемого примера представлен на рис. 1.5. 

    Рис. 1.5. Результат вычисления функции ЛИНЕЙН 
 

    3б)  Проведем анализ исходных данных рассматриваемого примера с помощью инструмента анализа Регрессия (рис. 1.9).

    Рис. 1.9. Результаты применения инструмента Регрессия 

    Сравнивая полученные вручную и с помощью  ППП Exel данные, убеждаемся в правильности выполненных действий. 

    4. Построению показательной модели  у=a∙b^х  (29) предшествует процедура линеаризации переменных.

    Данная  функция нелинейна относительно параметров, но линейна по переменным. В нелинейных регрессиях относительно параметров процедура линеаризации производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

    ln y = lna+x∙lnb      (30)

    Введем  обозначения

    У= ln y , С= lna , В= lnb

    Тогда уравнение (30) запишется в виде:

    У= С+ В∙ x.      (31) 

    Для нахождения параметров полученной линейной модели (31)  воспользуемся вспомогательными расчетами (табл. 1.4)

     
 

=5,283-104,125∙0,00092=0,01112.

    Получим линейное уравнение регрессии:

    Ŷ= 5,379+0,000092∙х.      (32) 

    Тесноту полученной линейной модели характеризует  линейный коэффициент парной корреляции:

    Коэффициент детерминации при этом равен: 

    R²=r²_хУ=1,11%. 

    Это означает, что чуть более 1% вариации фактора Y объясняется вариацией фактора x.

    Средняя ошибка линейной аппроксимации составляет:

     = ∙100% = 0,816%.

    В среднем по полученной линейной модели расчетные значения отклоняются от фактических на 0,816%, что входит в допустимый предел. 

    Проведя потенцирование уравнения (32), получим искомую нелинейную (показательную) модель.

     216,776∙0,99908^х      (33) 

Результаты вычисления параметров показательной кривой (1) проверим с помощью ППП Exel, для чего используем встроенную статистическую функцию ЛГРФПРИБЛ.

Результат выполнения:

 
 

    Для расчета индекса корреляции ρ_xy нелинейной регрессии воспользуемся вспомогательной таблицей 5.

    Таблица 1.5. – Расчетные величины

 

    

ρ_{xy= =} =  
 

    Найдем  коэффициент детерминации

    R²= ρ²_xy·100%=0,11²

    Полученное  значение коэффициента детерминации говорит  о том, что 1,2% вариации урожайности картофеля объясняется вариацией фактора х – дозы внесения органических удобрений.

    Рассчитаем  фактическое значение F-критерия при заданном уровне значимости =0,05:

F_факт = _{= ·} (n-2)= =0,171. 

    Сравнивая табличное F_табл=4,6 и фактическое F_факт=0,171 значение отмечаем , что F_факт.< F_табл.,

    Это означает, что  при заданном уровне вероятности g=0,05 следует принять нулевую гипотезу о статистической незначимости параметров уравнения регрессии. 
 

    5. По условию задачи прогнозное значение фактора выше его среднего уровня x=104,125 на 5%, тогда оно составит:

 
 

    Обе модели статистически незначимы, прогноз  не будет иметь смысл

    оба уравнения регрессии является статистически незначимыми и ненадежными, рассчитывать  прогнозируемое значение урожайности ни по одному из рассмотренных уравнений не имеет смысла, поскольку данный прогноз не даст достоверного результата.

    Тем не менее, выполним расчет прогнозного  значения результата по линейной модели. (R²_лин >R²_{показат.}). 
 
 

     ; 

    Найдем  ошибку прогноза: 

    

     =  

     =

     

    Далее построим доверительный интервал прогноза при уровне значимости g=0,05:

     ;    

предельная  ошибка прогноза, которая в 95% случаев  не будет превышена, составит:

      =2,1448∙12,807=27,47

    Доверительный интервал прогноза

    (168,859;  223,796). 

    С вероятностью 95% при внесении 109,33 ц/га удобрений урожайность будет находиться в пределах указанного выше интервала.