Модель фирмы в долго и кратко срочных периодах

Постановка задачи

 

На основе заданной производственной функции и в зависимости от характера решаемых задач построить  математическую модель и определить оптимальную стратегию поведения  фирмы при заданных ценах на ресурсы  и ограничениях в долгосрочном и  краткосрочном периодах. Предполагается, что в  долгосрочном периоде фирма может выбирать любой вектор ресурсов, в краткосрочном же периоде один или несколько ресурсов являются ограниченными, исходя из достигнутого потенциала. Построить изокванту и изокосту в оптимальной точке и сделать вывод о различиях в характере решения для различных периодов.

Провести моделирование  в случае изменения ограничений (не менее 5 различных вариантов) и  построить стратегическую линию  развития фирмы для долгосрочного  периода и краткосрочную линию развития производства.

Решить задачу аналитически для базового варианта задания.

Провести содержательный экономический анализ и сделать  выводы.

 

5 варианта  задания.

 

№ вариан-та	Производствен-ная функция	Цена ресурса x1	Цена ресурса x2	Издер-жки производства	Объем выпуска	Ограниче-ния на ресурсы  в краткосроч-ном периоде
Обоз-начения	F(x1,x2)	p1	p2	C	Y	x1	x2
5	а) 4x11/3x22/3	2	6	min	3200	900	-

Выполнение работы

 

Построим математическую модель задачи минимизации издержек при фиксированном объёме выпускаемой продукции

 

С(x₁;x₂)= 2x₁+6x₂→min

4x₁^1/3x₂^2/3=3200

  x₁≥0, x₂≥0

 

Построенная модель является задачей нелинейного программирования. Исследуем модель с помощью пакетов  прикладных программ.

 

 

 

обозначения	x1	x2	p1	p2	C0
искомые значения	1048,296	698,8645	2	6	3200
нижняя граница	0	0
верхняя граница	-	-
ограничения	3200
целевая функция	6289,779

 

Далее проиллюстрируем  взаимное расположение изокванты и  изокосты в оптимальной точке.

Оптимальное значение выпуска  равно 6289,779 единиц, следовательно, построим изокванту, определяемую уравнением:

 

4x₁^1/3x₂^2/3=3200

Полученное уравнение  разрешим относительно х₁:   .

Далее построим изокосту для уровня издержек С=3200: 

Протабулируем функции (Таблица 1), изменяя аргумент х₁ в окрестности оптимальной точки и построим графики с помощью «Мастера диаграмм» (Рисунок 5).

Таблица 1 – Исходные данные для построения изокосты и  изокванты

x1	изокоста	изокванта
1000	200	715,5418
1010	196,6667	711,9907
1020	193,3333	708,4919
1030	190	705,0442
1040	186,6667	701,6464
1050	183,3333	698,2972
1060	180	694,9956
1070	176,6667	691,7403
1080	173,3333	688,5304
1090	170	685,3647
1100	166,6667	682,2423

Рисунок 1 – Взаимное расположение изокванты и изокосты в ЭТ «MS Excel»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решим задачу для краткосрочного периода.

В краткосрочном периоде  математическая модель будет дополнена  ограничением на использование первого  ресурса в объеме не более 900 единиц. Это может быть связано с отсутствием  возможности увеличения рабочих мест или с недостатком квалифицированной рабочей силы.

В результате модель примет вид:

 

С(x₁;x₂)= 2x₁+6x₂→min

4x₁^1/3x₂^2/3=3200

  х₁≤ 900

  x₁≥0, x₂≥0

 

Решая задачу для краткосрочного периода, получим следующие результаты: фирма полностью использует ресурс х₁ в количестве 900 единиц, затраты второго ресурса составят 754,2472 единиц, при этом объем выпуска сократится до 6325,483 единиц при заранее обусловленных совокупных затратах в 3200 единиц. Решение и взаимное расположение изокосты и изокванты представлено на рисунке 2. В краткосрочном периоде уже не наблюдается касания, а изокоста и изокванта пересекаются.

Сопоставляя результаты можно сделать вывод, что в  краткосрочном периоде при одинаковых издержках фирмы объем выпускаемой  продукции ниже, чем объем выпуска в долгосрочном периоде. Следовательно, прибыль фирмы в долгосрочном периоде не ниже краткосрочного.

 

обозначения	x1	x2	p1	p2	C0
искомые значения	900	754,2472	2	6	3200
нижняя граница	0	0
верхняя граница	900	-
ограничения	3200
целевая функция	6325,483

 

Рисунок 2 – Результаты решения  задачи в краткосрочном периоде  в ЭТ «MS Excel»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение задачи минимизации выпуска  при ограничении на совокупные затраты  существенно зависит от объема выпуска, следовательно, при изменении Y₀ изменится и положение точки локального рыночного равновесия (x₁⁰(Y₀), x₂⁰ (Y₀)). Множество точек, соответствующих различным значениям Y₀, образуют линию L, которая называется долговременной (стратегической) линией развития фирмы.