Математическая теория общественного выбора

Рис. 3 – Прямоугольник распределения  товаров

 

При указанном способе изображения  в координатной системе кривые безразличия первого потребителя – выпуклые, второго потребителя – вогнутые. Поэтому такие кривые могут находиться в следующих отношениях:

а) не пересекаются ни в одной точке;

б) пересекаются в двух точках;

в) касаться.

Кривая  оставленная из точек касания кривых безразличия потребителей, называется договорной кривой. Все точки этой кривой характеризуют такие состояния, когда не может быть увеличена полезность одного потребителя без снижения полезности другого. Таким образом, все точки, находящиеся на этой кривой, оптимальны по Парето.

Все точки прямоугольника вне этой кривой не обладают этим свойством. В  самом деле, возьмем любую точку  А вне договорной кривой и будем  двигаться по кривой безразличия одного из потребителей в направлении к договорной кривой, тогда полезность этого потребителя будет постоянной, в то время как полезность другого будет возрастать.

Из условия касания кривых безразличия  в точках на договорной кривой вытекает, что в этих точках предельные нормы замены первого товара на второй для первого и второго потребителя одинаковы:

                             

                                   (7)

На рисунке 3 в координатной системе  показана кривая производственных возможностей, в некоторой точке О₂ которой находится вершина прямоугольника распределения товаров.

Рис. 4 – Область полезностей

 

На рисунке 4 показано отображение  прямоугольника распределения товаров, изображенного на рисунке 3, на плоскость полезностей Получившаяся картина аналогична отображению прямоугольника распределения ресурсов на плоскость выпусков В самом деле, отрезки кривых безразличия перейдут в отрезки прямых, параллельных осям координат, договорная кривая – в кривую полезности, которая, как и кривая производственных возможностей, является убывающей вогнутой функцией. Таким образом, движение по кривой полезности связано с возрастанием полезности одного потребителя при убывании полезности другого. Образами характерных точек на плоскости выпусков являются точки на плоскости полезностей.

Таким образом, для точек  договорной кривой, для которых выполнено условие:

        (8)

 

изменение выпусков при движении точки по кривой производственных возможностей сопровождается сохранением полезностей обоих потребителей.

 

Точка А* (или несколько таких точек) на договорной кривой характеризуется тем, что в ней полезность одного потребителя (в нашем случае второго) максимальна при фиксированной полезности другого (в нашем случае первого). Эта точка перейдет в точку на кривой возможных полезностей (рис. 5). Все точки данной кривой полезности, для которых не выполнено условие (8), попадут внутрь области возможных полезностей.

 

 

Таким образом, все точки кривой возможных полезностей  характеризуются следующим свойством:  при заданной полезности одного потребителя полезность второго потребителя максимальна. Следовательно, уменьшение полезности одного потребителя приводит к увеличению полезности другого потребителя, т. е. все точки на кривой возможных полезностей являются оптимальными по Парето. Движение по этой кривой связано с перераспределением ресурсов и товаров. Выбор конкретной точки на этой кривой является задачей социально-политической, а не экономической, далее рассматривается один из возможных подходов к решению этой задачи.

С помощью введения функции благосостояния: , подлежащей максимизации, можно выбрать единственную функцию на кривой возможных полезностей. Предельные социальные значимости потребителей (т.е. производственные функции благосостояния) положительны и, вообще говоря, различны.

Реальное представление о действительном различии в потреблении различных  групп населения дает кривая Лоренца. На осях абсцисс и ординат показаны нарастающим итогом доли различных  социальных групп в общей численности населения и в общих доходах населения (группы ранжированы в порядке возрастания доходов на одного члена группы).

 

 

Площадь заштрихованной области характеризует степень  неоднородности распределения доходов и называется коэффициентом Джинни. При равномерном распределении этот коэффициент равен нулю.

Вернемся  к кривой возможных полезностей. Точка касания  на кривой возможных полезностей и некоторой линии уровня функции благосостояния и есть та единственная точка, которую мы выделяем из всех точек, оптимальных по Парето. Этой точке соответствует определенное социально-оптимальное распределение ресурсов и продукции.

Линии в пространстве выпусков продукции  , соответствующие линиям уровня благосостояния в пространстве полезностей, называются кривыми социального безразличия.

В случае конкурентной (децентрализованной) экономики условия оптимальности по Парето:

 

                                                   (9)

где - цены ресурсов.

Точно так  же в конкурентной экономике потребители  максимизируют свою полезность, что  требует касания кривой безразличии  и бюджетной линии. Поэтому условие оптимальности по Парето в распределении товаров дополняется условием максимизации полезности:

 

                                                                                           (10)

 

где - цены товаров.

 

Список используемых источников

 

 

1 Замков О.О., Толстопятенко А.В. Математические методы в экономике 

– М: Дело и Сервис, 2001, 156-173с.

2 Колемаев В.А. Математическая  экономика – М: ЮНИТИ, 2002, 14-52с.

3 Смирнов А.Д. Лекции по макроэкономическому  моделированию – М: 

ЮНИТИ, 2001,  120-134с.