Математическая теория двойственности и применение её в экономическом анализе

Поэтому, следует исключить  из базиса исходной задачи вектор А_i, который соответствует компоненте x_i<0. Данный вектор относится к отрицательной оценке, его необходимо включить в базис двойственной задачи.

Просматриваем i-ю строку для выбора вектора, включаемого  в базис исходной задачи. Т.е. если строка не имеет x_ij<0, тогда линейная функция двойственной задачи не ограничена на многограннике решений. Поэтому нет решений исходной задачи.

В противном случае для  столбцов, имеющих отрицательные  значения, определяем q_0j=min(x_i/x_ij)>0. Также находим вектор, который соответствует minq_0j(Z_j–C_j) при решении исходной задачи на максимум, а также maxq_0j(Z_j–C_j) при значении исходной задачи на минимум.

Найденный вектор включаем в базис исходной задачи. Направляющей строкой определяется вектор, который  надо убрать из базиса исходной задачи.

Допустим, что q_0j=min(x_i/x_ij)=0, т.е. x_i=0, тогда x_ij выбирается как разрешающий элемент, но лишь тогда, когда x_ij>0.

Данный подход к решению  задачи не приводит к росту количества отрицательных компонент вектора X. Пока не будет получено Х>0, процесс не прекращается.

Определяя оптимальный  план двойственной задачи, находим  и оптимальный план исходной задачи.

Используя при решении, алгоритм двойственного симплексного метода условие Z_j–C_j>0 допускается не учитывать, пока не будут исключены все х_i<0.

Обычным симплексным  методом определяется оптимальный  план. Этот метод обычно используется при условии, что все х_i<0. Чтобы перейти к плану исходной, задачи за одну итерацию надо определить q_0j=max(x_i/x_ij)>0.

Задачи линейного программирования можно решать двойственным симплексным методом. Системы ограничений в задачах при положительном базисе имеют свободные члены любого знака. Двойственный симплексный метод позволяет значительно уменьшить размеры симплексной таблицы и количество преобразований системы ограничений.

 

 

 

Глава 2. Разработка программы

 

2.1 Постановка  задачи

 

Необходимо спланировать работу швейной мастерской на некоторый  период. Установлен перечень выпускаемой  продукции, известна рыночная цена каждого  продукта. Для производства продукции  используются ресурсы: материал, нитки, пуговицы, труд закройщиков, швей-мотористок и т.д. Установлен полный перечень этих ресурсов и общее количество каждого ресурса, которое может быть израсходовано в плановом периоде. Известен расход каждого ресурса на единицу каждого продукта. Необходимо определить, сколько каждой продукции нужно производить, чтобы суммарная рыночная цена всей продукции (выпуск, выручка) была наибольшей.

Введем следующие  обозначения:

i=1,…, m - номера (индексы) используемых ресурсов;

 - запас i-го ресурса, т.е. допустимый расход i-го ресурса в плановом периоде; другое название - ограничение по ресурсу i;

j=1,…, n - номера (индексы) продуктов;

 - рыночная цена j-го продукта;

- расход i-го ресурса на производство единицы j-го продукта;

 - плановый объем производства j-го продукта, величина неизвестная, ее нужно найти в процессе решения задачи. Исходные данные задачи запишем в виде матрицы.

Рис. 2

Каждая строка матрицы соответствует одному ресурсу, каждый столбец – одному продукту. Справа от каждой строки записана величина ограничения по ресурсу (b₁,…, b_i,…, b_m); внизу каждого столбца - цена продуктов (с₁,…, с_j,…, с_m).

В каждой клеточке матрицы записаны так называемые технологические коэффициенты a_ij, показывающие расход i-го ресурса на производство единицы j-го продукта.

Запишем конкретный числовой пример

Рис. 3

 

2.2 Построение  математической модели

 

Теперь приступим  к созданию математической модели, т.е. к математической записи задачи.

Целевая функция:

Ограничения:

x₁ ³ 0;

x₂ ³ 0;

x₃ ³ 0.

 

2.3 Описание  решения данной задачи

Решим поставленную выше задачу с применением EXCEL.

 

Содержание ячеек:

B1:D1 – имена продуктов (технологических способов);

A2:A4 – имена ресурсов;

B2:D4 – технологические коэффициенты (расход ресурсов при единичных интенсивностях технологических способов);

B6:D6 – цены продуктов;

B8:D8 – переменные;

F2:F4 – запас ресурсов;

G2:G4 – плановые расходы ресурсов, получаются в результате решения;

G6 – значение целевой функции, получается в результате решения.

Формулы для  вычислений:

G2=СУММПРОИЗВ (B$8:D$8; B2:D2);

G3:G4 – копируются из G2;

G6=СУММПРОИЗВ (B8:D8; B6:D6).

Запишем формулы  в ячейки G2:G4. Установить курсор на G2. На панели инструментов выбрать значок формул (f). Появятся два окна. В окне «категория» выбрать «математические», затем в окне «функция» выбрать «СУММПРОИЗВ». Появится окно «СУММПРОИЗВ». В нем нужно указать, где располагаются операнды. Первый операнд – строка B$8:D$8, второй операнд – стока B2:D2. В ячейки G3:G4 формулу скопировать из G2. Аналогичным образом записать формулу целевой функции в ячейку G6. Теперь нужно указать остальные условия решения задачи. Установить курсор на ячейку целевой функции G6. В главном меню выбрать «сервис», а потом «поиск решения». Появится окно, в котором нужно указать:

1. Целевая ячейка – G6;
2. Включить кнопку «максимальное значение»;
3. Указать изменяемые ячейки (расположение переменных) – B8:D8;
4. Записать ограничения. Их можно записать прямо в этом же окне, но лучше выбрать «добавить» и в появившемся окне «добавить» последовательно записать ограничения:

B8:D8 0 – неотрицательности переменных;

G2:G4 F2:F4 – плановый расход ресурсов меньше их запаса.

Теперь электронная  модель сформирована и можно решать задачу. Для этого нужно вернуться  в окно «поиск решения» и нажать «выполнить». Если электронная модель сформирована правильно, то будет получено сообщение, что задача решена. Результат решения находится на листе EXCEL и в трех отчетах: Результаты, Устойчивость, Пределы.

Рис. 4.1.4

Основные результаты видны в таблице (рис. 4.1.4.). По сравнению с условиями задачи, показанными на рис. 4.1.3., появились данные:

1. Значение целевой  функции в ячейке G6 = 15880;

2. Значения переменных  в ячейках B8:D8: х₁ = 86, х₂ = 0, х₃ = 268; это значит, что 1-й продукт должен производиться в объеме 86 единиц, 2-й – 0, а 3-й – 286.

3. Плановый расход  ресурсов в ячейках G2:G4: расход 1-го ресурса = 271,6, расход 2-го ресурса = 310, расход 3-го ресурса = 2200.

Как видно 1-й  ресурс недоиспользован, а 2-й и 3-й  израсходованы полностью.

Кроме результатов  в электронной таблице EXCEL готовит три отчета: Результаты, Устойчивость, Пределы. Отчет по результатам изображен на рис 4.1.5, где изображены три таблицы.

Отчет по результатам

Целевая ячейка (максимум)

Ячейка   Имя   Исходно  Результат

$G$6    Цены  ЦФ  15880

 

Изменяемые  Ячейки

Ячейка Имя  Исходно Результат

$B$8 Перем Пр1 0 86

$C$8 Перем Пр2 0 0

$D$8 Перем Пр3 0 268

 

Ограничения

Ячейка Имя  Значение Формула Статус Разница

$G$2 Рес 1 Расход 271,6 $G$2 $F$2 не связан 228,4

$G$3 Рес 2 Расход 310 $G$3 $F$3 связанное 0

$G$4 Рес 3 Расход 2200 $G$4 $F$4 связанное 0

$B$8 Перем Пр1 86 $B$8 0 не связан 86

$C$8 Перем Пр2 0 $C$8 0 связанное 0

$D$8 Перем Пр3 268 $D$8 0 не связан 268

Рис. 4.1.5

 

1-я таблица  – целевая ячейка – дает  значение целевой функции, которая  уже имеется в таблице EXCEL, значит, эти данные избыточны.

2-я таблица – изменяемые  ячейки – дает значение переменных, которые уже имеются в таблице  EXCEL, эти данные тоже избыточны.

3-я таблица  – ограничения – дает оценку  ограничений. Колонка «значение»  дает значения планового расхода ресурсов и переменных – эти данные имеются в таблице EXCEL и здесь избыточны. Столбец «статус» значением «связанное» отмечает ограничения (не больше или не меньше), которые в результате решения превратились в строгие равенства, прочие ограничения имеют статус «несвязанные». Столбец «разница» показывает, на какую величину ограничения отклонились от строгого равенства. Так, например, ограничение 1-го ресурса 500, плановое значение 271,6, разница = 500 – 271,6 = 228,4.

Отчет по устойчивости изображен на рис. 4.1.6. Он состоит из двух таблиц.

 

 

 

 

Отчет по устойчивости

Изменяемые  ячейки

Ячейка Имя  Результат Норир. Значение градиент

$B$8 Перем Пр1 86 0

$C$8 Перем Пр2 0 -22,8

$D$8 Перем Пр3 268 0

 

Ограничения

Ячейка Имя  Результат. Лагранжа значение Множитель

$G$2 Рес 1 Расход 271,6 0

$G$3 Рес 2 Расход 310 20

$G$4 Рес 3 Расход 2200 4,4

Рис. 4.1.6

 

Таблица «изменяемые  ячейки» показывает значения переменных, которые уже имеются в таблице EXCEL. Столбец «нормируемый градиент» показывает, как влияет увеличение переменных на единицу на величину целевой функции. Таблица «ограничения» содержит важную информацию в столбце «Лагранжа множители». Эти величины в литературе имеют различные названия: объективно обусловленные оценки (О.О.О.) по Л. Канторовичу, двойственные оценки по Д. Данцигу, оптимальные цены, теневые цены и другие. В дальнейшем будем называть их наиболее распространенным именем – двойственные оценки и обозначать – v_i, где i – номер ограничения. В данном примере v₁ = 0, v₂ = 20,0, v₃ = 4,4. Отчет по пределам показан на рис. 4.1.7.

 

 

Отчет по пределам

Ячейка Целевое  Значение имя

$G$6 Цены ЦФ 15880

 

Ячейка Изменяемое Значение имя	Нижний Целевой предел результат	Нижний Целевой предел результат
$B$8 Перем Пр1 86	0 10720	86 15880
$C$8 Перем Пр2 0	0 15880	0 15880
$D$8 Перем Пр3 268	0 5160	268 15880

Рис. 4.1.7.

 

В этом отчете уже  в третий раз дается значение целевой  функции 15880, в пятый раз значение переменных (х₁ = 86, х₂ = 0, х₃ = 268). Нижний предел для всех переменных = 0, так, установлены ограничения по переменным. Верхний предел равен соответственно 86, 0 и 268, так устанавливают ограничения по ресурсам. Целевой результат показывает значение целевой функции при соответствующих значениях переменных. Если х₁ = 0, то ЦФ = 10720 и т.д.

Запишем математическую модель рассмотренной  задачи в общем виде:

Пусть:

В-бюджет, т.е. количество денег, которое можно израсходовать на приобретение ресурсов для производства продукции, а s_i – рыночная цена i-го ресурса. Тогда единственное ограничение по ресурсам будет выглядеть следующим образом:

 

.

 

Смысл этого ограничения - нельзя израсходовать ресурсов на сумму больше, чем В.

Здесь:  - расход i-го ресурса в натуральном выражении по j-му технологическому способу;

- расход i-го ресурса в натуральном выражении по всем способам;

- суммарная цена i-го ресурса, израсходованного по всем способам;

- суммарная цена всех ресурсов по всем технологическим способам.

Решим задачу на максимум продукции с ограничением по бюджету. За основу возьмем электронную модель на рис. 4.1.3. и дополним ценами ресурсов s_i и бюджетом В (рис. 4.1.8)

Рис. 4.1.8

Дополнительные  величины:

H2:H4 – цены ресурсов (задаются);

I2:I4 – издержки (вычисляются);

I2 = G2*H2;

I3:I4 – копируется из I2;

H6 = 5000 – бюджет (задается);

I6 – издержки всего (вычисляются);

I6 = СУММ (I2:I4).

Ограничения:

B8:D8 0 – неотрицательности переменных;

I6 H6 – совокупные издержки не больше бюджета.