Лабораторная работа по "Экономико-математическому моделированию"

Лабораторная работа №6

Вариант 20

текущий период     t	Налоги     T         (млн.руб.) yt	Запас капитала     K (мдн.руб.) xt
1	152	325
2	3893	4550
3	28672	34965
4	85044	133209
5	253326	327941
6	380685	454369
7	471657	482451
8	520534	485452
9	875751	766672
10	1348178	1293750

Указания к решению. Для нахождения уравнений регрессии использовать табличный процессор MS Excel (функция – расчет уравнения регрессии) 

 

1. Построить уравнение авторегрессии .

Включенные в модель в качестве факторов значения переменных в предыдущие моменты времени называются лаговыми переменными. Значениями лаговых переменных являются временные ряды исходных уровней, сдвинутые назад на один или более моментов времени. Величина этого сдвига называется лагом.

Рассмотрим модель авторегрессии первого порядка 

Одна из основных проблем при построении моделей авторегрессии (при оценке параметров) связана с наличием корреляционной зависимости между переменной yt-1 и остатками εt в уравнении регрессии, что приводит при применении обычного МНК к получению смещенной оценки параметра при переменной yt-1.

Для преодоления этой проблемы обычно используется метод инструментальных переменных, согласно которому переменная  yt-1 из правой части модели заменяется на новую переменную ŷt–1, которая, во-первых, должна тесно коррелировать с yt-1, и, во-вторых, не коррелировать с ошибкой модели εt. 

В качестве такой переменной можно взять регрессию переменной yt-1 на переменную xt-1, определяемую соотношением  , где константы d0,  d1 являются коэффициентами уравнения регрессии , полученными с помощью обычного МНК.  Итак, получаем таблицу 1:

текущий период     t	Налоги     T         (млн.руб.)   yt	Запас капитала     K (мдн.руб.)     xt	yt-1	хt-1	ŷt–1
1	152	325	-	-	-
2	3893	4550	152	325	-33929,12
3	28672	34965	3893	4550	-29329,79
4	85044	133209	28672	34965	3779,96
5	253326	327941	85044	133209	110728,31
6	380685	454369	253326	327941	322713,42
7	471657	482451	380685	454369	460342,85
8	520534	485452	471657	482451	490912,90
9	875751	766672	520534	485452	494179,78
10	1348178	1293750	875751	766672	800315,67

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,9848779
R-квадрат	0,9699845
Нормированный R-квадрат	0,9656965
Стандартная ошибка	55369,388
Наблюдения	9
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	6,935E+11	6,94E+11	226,21	1,38E-06
Остаток	7	2,146E+10	3,07E+09
Итого	8	7,15E+11
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
d0	-34282,91	28436,077	-1,20561	0,267133	-101524	32957,72
d1	1,0885993	0,0723785	15,04037	1,38E-06	0,917451	1,259747

Получаем, .   Подставляя xt-1 , находим ŷt–1 (см. последний столбец в таблице 1)   Эта формула получена в предположении о наличии зависимости yt-1 от  хt-1 ,  как следствия предполагаемой зависимости yt  от хt. Переменная ŷt–1, во-первых, тесно коррелирует с yt-1, во-вторых, она не будет коррелировать с ошибкой εt, так как она линейно зависит от хt-1, некоррелирующей с εt, по предположению.

В результате, для оценки параметров уравнения используется уравнение , где значения переменной ŷt–1  уже рассчитаны в таблице 1.

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,99358797
R-квадрат	0,98721706
Нормированный R-квадрат	0,98295608
Стандартная ошибка	57388,9834
Наблюдения	9
Дисперсион-ный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	2	1,53E+12	7,6306E+11	231,69	2,09E-06
Остаток	6	1,98E+10	3293495414
Итого	8	1,55E+12
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
a	-37090,9	29522,66	-1,25635239	0,255689	-109330	35148,4832
c1	0,10220571	0,211106	0,48414489	0,645447	-0,41435	0,61876258
b0	1,01266495	0,154192	6,56755515	0,000597	0,635371	1,38995937

 

Итак,

 

2. Проверить значимость уравнения регрессии и отдельных коэффициентов.

Оценка значимости всего уравнения регрессии в целом осуществляется с помощью F-критерия Фишера. F-критерий Фишера заключается в проверке гипотезы Н0 о статистической незначимости уравнения регрессии. Для этого выполняется сравнение фактического Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F-критерия Фишера.

. Фактическое значение критерия берется из табл., т. е. Fфакт = 231.69.  Так как , то гипотеза Но отклоняется и признается статистическая значимость, надежность уравнения регрессии.

Для оценки статистической значимости коэффициентов авторегрессии  применяется t-критерий Стьюдента. Согласно t-критерию выдвигается гипотеза Н0 о случайной природе показателей, т. е. о незначимом их отличии от нуля. Далее рассчитываются фактические значения критерия tфакт для оцениваемых коэффициентов регрессии  путем сопоставления их значений с величиной стандартной ошибки

Из таблицы , , . (из таблицы распределения Стьюдента   =СТЬЮДРАСПОБР(0,05;6))

Так как , то гипотеза отклоняется, коэффициент не имеет случайную природу. и , то гипотеза о случайной природе показателя а и с не отклоняется.

3. Проверить наличие автокорреляции в остатках.

Влияние фактора времени будет выражено в корреляционной зависимости между значениями остатков εt за текущий и предыдущие моменты времени, которая получила название «автокорреляция в остатках».

Сформулируем гипотезы:

Н0 – в остатках нет автокорреляции;

Н1 – в остатках есть положительная автокорреляция;

Н1*– в остатках есть отрицательная автокорреляция. 

Для проверки гипотезы об автокорреляции остатков в моделях авторегрессии Дарбин предложил использовать критерий, который называется критерием h Дарбина. Его расчет производится по следующей формуле:

,

где d – фактическое значение критерия Дарбина–Уотсона для модели авторегрессии

; n – число наблюдений в модели;  V – квадрат стандартной ошибки при лаговой результативной переменной. 
Рассчитаем фактическое значение критерия Дарбина–Уотсона для модели авторегрессии:

 

t	yt	xt		yt-1	xt-1			y^t-1	ut=yt-y^t	ut - ut-1	(ut - ut-1)2	ut 2
1	152	325		-	-			-	-	-	-	-
2	3893	4550		152	325			-33929,1	37822,1	-	-	1430512611
3	28672	34965		3893	4550			-29329,8	58001,8	20179,7	407219002,3	3364207185
4	85044	133209		28672	34965			3779,961	81264	23262,2	541132410,3	6603844028
5	253326	327941		85044	133209			110728,3	142597,7	61333,7	3761816912	20334101569
6	380685	454369		253326	327941			322713,4	57971,8	-84626,1	7161579330	3360703667
7	471657	482451		380685	454369			460342,9	11314,1	-46657,4	2176915750	128009914,1
8	520534	485452		471657	482451			490912,9	29621,1	18306,96	335144602,3	877409663,6
9	875751	766672		520534	485452			494179,8	381571,2	351950,1	1,23869E+11	1,45597E+11
10	1348178	1293750		875751	766672			800315,7	547862,3	166291,1	27652733448	3,00153E+11
										summa	1,65905E+11	4,81849E+11
d=			0,34431034
V=			0,044565587