Контрольная работа по «Методы оптимальных решений»

 

Базисные переменные	Свободные члены	y1	y2	x1	x2
y1	40	1	-8/9	49/9	0
x2	4	0	1/9	4/9	1
f	8	0	2/9	-1/9	0

 

Теперь все  рассуждения применим к данной симплекс-таблице. Новый разрешающий элемент находится на пересечении строки y₁ и столбца x₁: 49/9. Применяя преобразования описанные выше придём к следующей симплекс-таблице:

Базисные переменные	Свободные члены	y1	y2	x1	x2
x1	717/49	9/49	-8/49	1	0
x2	36/49	-4/49	9/49	0	1
f	840/49	1/49	10/49	0	0

 

Из последней  симплексной таблицы видно, что  в столбце свободных членов все  элементы положительные, а значить  решение является допустимым. В строке целевой функции все элементы неотрицательные, следовательно, это решение является оптимальным при максимизации целевой функции. При этом оптимальным планом является x₁ = 7¹⁷/₄₉, x₂ = ³⁶/₄₉, а целевая функция f = 8⁴⁰/₄₉.

Определим двойственную задачу и найдём двойственные оценки:

f_g = 72z₁ + 36z₂ -> min

9z₁ + 4z₂ >= 1

8z₁ + 9z₂ >= 2

z₁ >= 0, z₂ >= 0

Значения  двойственных оценок уже получены в последней симплекс-таблице

z₁ = ¹/₄₉

z₂ = ¹⁰/₄₉

Их общая стоимость составит f_g = 72*1/49+36*10/49=8⁴⁰/₄₉

Ответ: Оптимальный план x₁ = 7¹⁷/₄₉, x₂ = ³⁶/₄₉; соответствующая плану прибыль f = 8⁴⁰/₄₉; двойственные оценки z₁ = ¹/₄₉,z₂ = ¹⁰/₄₉.

 

Задание 4 (20 баллов)

Решить транспортную задачу, заданную распределительной  таблицей:

ai               bj	30	25
15	2	4
35	1	3
20	1	5

 

Решение:

Строим распределительную  таблицу и начинаем ее заполнять  с клетки (3; 1), т. к. в ней наименьший тариф х₃₁ = min (20; 30) = 20.

bj ai	30	25
15	2	4
35	1 10	3 25
20	1 20	5

 

Потом заполняем клетку (2; 1) с тарифом с₂₂ = 1;

х₂₁ = min (35; 10) = 10.

Далее х₂₂ = min (а₂– х₂₂; b₂) = (25; 25) = 25;

Z = 20*1+10*1+25*3=105

Ответ: Z=105.

 

Задание 5 (20 баллов)

На  приобретение оборудования для нового участка цеха выделено 60000 долларов США. При этом можно занять площадь не более 60 м². Имеется возможность приобрести станки типа А и станки типа Б. При этом станки типа А стоят 8000 долларов США, занимают площадь 8 м² (включая необходимые технологические проходы) и имеют производительность 7 тыс. единиц продукции за смену. Станки типа Б стоят 6000 долларов США, занимают площадь 5 м² и имеют производительность 5 тыс. единиц продукции за смену. Необходимо рассчитать оптимальный вариант приобретения оборудования, обеспечивающий при заданных ограничениях максимум общей производительности участка.

 

Решение:

Пусть X – количество станков типа А, а Y – количество типа Б, входящих в комплект оборудования. Требуется выбрать комплект оборудования так, чтобы максимизировать производительность участка:

С = 7X + 5Y -> max

При этом должны быть выполнены следующие  ограничения по стоимости (тыс. долл. США)

8X + 6Y ≤ 60

по  занимаемой площади (м²)

8X + 5Y ≤ 60

а также специфические ограничения  целостности

X ≥ 0, Y ≥ 0, X и Y – целые числа.

Наличие условия целочисленности позволяет легко решить задачу полным перебором. Условие ограничения по стоимости дают, что Y ≤ 10. Следовательно, Y может принимать одно из значений: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Если Y = 10, то из ограничения по стоимости  имеем, что X = 0, а значит C = 5*10 = 50

Если Y = 9, то из ограничения по стоимости имеем, что X = 0, а из 2-го условия X ≤ 1, а значит C = 5*9 = 45

Если Y = 8, то из ограничения по стоимости  имеем, что X ≤ 1, а из 2-го условия X ≤ 2, а значит C = 7*1+5*8 = 47

Если Y = 7, то из ограничения по стоимости  имеем, что X ≤ 2, а из 2-го условия X ≤ 3, а значит C = 7*2+5*7 = 49

Если Y = 6, то из ограничения по стоимости  имеем, что X ≤ 3, а из 2-го условия X ≤ 3, а значит C = 7*3+5*6 = 51

Если Y = 5, то из ограничения по стоимости  имеем, что X ≤ 3, а из 2-го условия X ≤ 4, а значит C = 7*3+5*5 = 46

Если Y = 4, то из ограничения по стоимости  имеем, что X ≤ 4, а из 2-го условия X ≤ 5, а значит C = 7*4+5*4 = 48

Если Y = 3, то из ограничения по стоимости  имеем, что X ≤ 5, а из 2-го условия X ≤  5 а значит C = 7*5+5*3 = 45

Если Y = 2, то из ограничения по стоимости  имеем, что X ≤ 6, а из 2-го условия X ≤ 6, а значит C = 7*6+5*2 = 52

Если Y = 1, то из ограничения по стоимости  имеем, что X ≤ 6, а из 2-го условия X ≤ 6, а значит C = 7*6+5*1 = 47

Если Y = 0, то из ограничения по стоимости  имеем, что X ≤ 7, а из 2-го условия X ≤ 7, а значит C = 7*7+5*0 = 49

Все возможные случаи рассмотрены. Максимальная производительность C=52 тыс. ед. в смену достигается при X=6, Y=2. Следовательно, необходимо покупать 6 станков типа А и 2 станка типа Б.

Ответ: необходимо покупать 6 станков типа А и 2 станка типа Б.

 

 

Список использованной литературы

 

1. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И. Ермакова.  — М.:ИНФА-М, 2008. —575 с.
2. Красс М.С. Математические методы и модели для магистрантов экономики: Учебное пособие/ М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – СПб.: Питер,2006. – 496 с.
3. Общий курс высшей математики для экономистов : учебник / под ред. В.И. Ермакова .— М. : ИНФРА-М, 2000 .— 656 с.