Контрольная работа по "Методам математического моделирования"

 
1. Проверка критерия оптимальности. 
Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи. 
Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
x5	4	0	0	1/4	-1/2	1	0	-1	0
x6	4	0	0	-1/8	1/2	0	1	0	-1
x1	4	1	0	1/4	-1/2	0	0	0	0
x2	4	0	1	-1/8	1/2	0	0	0	0
F(X5)	32	0	0	1/8	1	0	0	M	M

 
Так как в оптимальном решении отсутствуют искусственные переменные (они равны нулю), то данное решение является допустимым. 
Оптимальный план можно записать так: 
x1 = 4 
x2 = 4 
F(X) = 3•4 + 5•4 = 32

 

 

 

№3. От трех поставщиков, запасы которых составляют 60, 120, 100 единиц, товар необходимо отправить четырем получателям, потребности которых равны 20, 110, 40 и 110 единиц товара соответственно. Известна матрица затрат на перевозку

.

Найдите оптимальный план перевозок, предполагающий минимальную стоимость транспортировки всего товара.

 

Решение:

Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов

	1	2	3	4	Запасы
1	1	2	5	3	60
2	1	6	5	2	120
3	6	3	7	4	100
Потребности	20	110	40	110

 
Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи. 
∑a = 60 + 120 + 100 = 280 
∑b = 20 + 110 + 40 + 110 = 280 
Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой. 
Занесем исходные данные в распределительную таблицу.

	1	2	3	4	Запасы
1	1	2	5	3	60
2	1	6	5	2	120
3	6	3	7	4	100
Потребности	20	110	40	110

Искомый элемент равен 1 
Для этого элемента запасы равны 60, потребности 20. Поскольку минимальным является 20, то вычитаем его. 
x11 = min(60,20) = 20.

1	2	5	3	60 - 20 = 40
x	6	5	2	120
x	3	7	4	100
20 - 20 = 0	110	40	110	0

 
Искомый элемент равен 2 
Для этого элемента запасы равны 40, потребности 110. Поскольку минимальным является 40, то вычитаем его. 
x12 = min(40,110) = 40.

1	2	x	x	40 - 40 = 0
x	6	5	2	120
x	3	7	4	100
0	110 - 40 = 70	40	110	0

 
Искомый элемент равен 2 
Для этого элемента запасы равны 120, потребности 110. Поскольку минимальным является 110, то вычитаем его. 
x24 = min(120,110) = 110.

1	2	x	x	0
x	6	5	2	120 - 110 = 10
x	3	7	x	100
0	70	40	110 - 110 = 0	0

 
Искомый элемент равен 3 
Для этого элемента запасы равны 100, потребности 70. Поскольку минимальным является 70, то вычитаем его. 
x32 = min(100,70) = 70.

1	2	x	x	0
x	x	5	2	10
x	3	7	x	100 - 70 = 30
0	70 - 70 = 0	40	0	0

 
Искомый элемент равен 5 
Для этого элемента запасы равны 10, потребности 40. Поскольку минимальным является 10, то вычитаем его. 
x23 = min(10,40) = 10.

1	2	x	x	0
x	x	5	2	10 - 10 = 0
x	3	7	x	30
0	0	40 - 10 = 30	0	0

 
Искомый элемент равен 7 
Для этого элемента запасы равны 30, потребности 30. Поскольку минимальным является 30, то вычитаем его. 
x33 = min(30,30) = 30.

1	2	x	x	0
x	x	5	2	0
x	3	7	x	30 - 30 = 0
0	0	30 - 30 = 0	0	0

 

	1	2	3	4	Запасы
1	1[20]	2[40]	5	3	60
2	1	6	5[10]	2[110]	120
3	6	3[70]	7[30]	4	100
Потребности	20	110	40	110

 
В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи. 
2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 6, а должно быть m + n - 1 = 6. Следовательно, опорный план является невырожденным. 
Значение целевой функции для этого опорного плана равно: 
F(x) = 1*20 + 2*40 + 5*10 + 2*110 + 3*70 + 7*30 = 790 
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0. 
u1 + v1 = 1; 0 + v1 = 1; v1 = 1 
u1 + v2 = 2; 0 + v2 = 2; v2 = 2 
u3 + v2 = 3; 2 + u3 = 3; u3 = 1 
u3 + v3 = 7; 1 + v3 = 7; v3 = 6 
u2 + v3 = 5; 6 + u2 = 5; u2 = -1 
u2 + v4 = 2; -1 + v4 = 2; v4 = 3

	v1=1	v2=2	v3=6	v4=3
u1=0	1[20]	2[40]	5	3
u2=-1	1	6	5[10]	2[110]
u3=1	6	3[70]	7[30]	4

 
Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij 
(1;3): 0 + 6 > 5; ∆13 = 0 + 6 - 5 = 1 
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;3): 5 
Для этого в перспективную клетку (1;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	Запасы
1	1[20]	2[40][-]	5[+]	3	60
2	1	6	5[10]	2[110]	120
3	6	3[70][+]	7[30][-]	4	100
Потребности	20	110	40	110

 
Цикл приведен в таблице (1,3; 1,2; 3,2; 3,3; ). 
Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (3, 3) = 30. Прибавляем 30 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 30 из Хij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

	1	2	3	4	Запасы
1	1[20]	2[10]	5[30]	3	60
2	1	6	5[10]	2[110]	120
3	6	3[100]	7	4	100
Потребности	20	110	40	110

 
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0. 
u1 + v1 = 1; 0 + v1 = 1; v1 = 1 
u1 + v2 = 2; 0 + v2 = 2; v2 = 2 
u3 + v2 = 3; 2 + u3 = 3; u3 = 1 
u1 + v3 = 5; 0 + v3 = 5; v3 = 5 
u2 + v3 = 5; 5 + u2 = 5; u2 = 0 
u2 + v4 = 2; 0 + v4 = 2; v4 = 2

	v1=1	v2=2	v3=5	v4=2
u1=0	1[20]	2[10]	5[30]	3
u2=0	1	6	5[10]	2[110]
u3=1	6	3[100]	7	4

 
Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию ui + vj <= cij. 
Минимальные затраты составят: 
F(x) = 1*20 + 2*10 + 5*30 + 5*10 + 2*110 + 3*100 = 760 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№4. Построить линейную модель связи между стоимостью основных производственных фондов и среднесуточной производительностью основных предприятий региона N.

	Стоимость основных фондов (X, млн. руб.)	Среднесуточная производительность (Y, тонн)
Пред. 1	2	14,3
Пред. 2	2,1	18,6
Пред. 3	2,3	18,7
Пред. 4	2,4	20,9
Пред. 5	2,9	22,3
Пред. 6	3,3	24,2
Пред. 7	3,8	25,7
Пред. 8	4,6	27
Пред. 9	5,1	31
Пред. 10	5,4	32,2

 

Решение:

Данные группируются по признаку-фактору. Затем по каждой группе рассчитывается среднее значение. Задача состоит в том, чтобы увидеть, есть связь между признаками или нет; прямая связь или обратная; линейная или нелинейная. 
Так как в основание группировки положен непрерывный количественный признак, то число групп определяют одновременно с размером интервала. 
Когда совокупность единиц более или менее однородна (вариация по группировочному признаку мала), прибегают к равным интервалам, размер которых приближенно определяется по формуле Стэрджесса: 
n = 1 + 3,2log n 
n = 1 + 3,2log 10 = 4 
Тогда ширина интервала составит: 
 
 
Для каждого значения ряда подсчитаем, какое количество раз оно попадает в тот или иной интервал. Для этого сортируем ряд по возрастанию.

2	2 - 2.85	1
2.1	2 - 2.85	2
2.3	2 - 2.85	3
2.4	2 - 2.85	4
2.9	2.85 - 3.7	1
3.3	2.85 - 3.7	2
3.8	3.7 - 4.55	1
4.6	4.55 - 5.4	1
5.1	4.55 - 5.4	2
5.4	4.55 - 5.4	3

 
Аналитическая группировка.

Группы	№	Кол-во, nj	∑X	Xcp = ∑Xj / nj	∑Y	Ycp = ∑Yj / nj
2 - 2.85	1,2,3,4	4	8.8	2.2	72.5	18.13
2.85 - 3.7	5,6	2	6.2	3.1	46.5	23.25
3.7 - 4.55	7	1	3.8	3.8	25.7	25.7
4.55 - 5.4	8,9,10	3	15.1	5.03	90.2	30.07
Итого		10	33.9		234.9