Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Задача  № 1………………………………………………………………………3

Задача № 2………………………………………………………………………..10

Список использованной литературы…………………………………………12 

Задача  № 1

 

Район	Потребительские расходы  в расчете на душу населения, тыс. руб., у	Средняя заработная плата  и выплаты социального характера
Волго-Вятский
Республика Марий Эл	302	554
Республика Мордовия	360	560
Чувашская Республика	310	545
Кировская область	415	672
Нижегородская область	452	796
Центрально-Черноземный
Белгородская область	502	777
Воронежская область	355	632
Курская область	416	688
Липецкая область	501	833
Поволжский
Республика Калмыкия	265	584
Республика Татарстан	462	949
Астраханская обл.	470	888
Волгоградская область	399	831

 

Задание:

1. Постройте поле корреляции и сформулируете гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнений регрессии линейной, степенной, показательной и равносторонней гиперболы.

3. Оцените тесноту связи  с помощью показателей корреляции  и детерминации.

4. дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности  сравнительную оценку силы связи  фактора с результатом.

5. оцените с помощью  средней ошибки аппроксимации  качество уравнений.

6. оцените с помощью  F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выберете  лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

7. рассчитайте прогнозное  значение результата, если прогнозное  значение фактора увеличиться  на 7% от его среднего уровня. Определите  доверительные интервал прогноза  для уровня значимости α = 0,05.

 

 

Решение:

1.Постороение поля корреляции по заданным параметрам:

 

Вывод: по построенному графику  видно, что потребительские расходы  в расчете на душу населения и  средняя заработная плата и выплаты  социального характера по территориям  Волго-Вятского, Центрально-Черноземного и Поволжских районов имеют прямую зависимость.

 

2. Расчет параметров уравнений  регрессии линейной, степенной, показательной  и равносторонней гиперболы.

2.1 Линейное уравнение регрессии Y = a + b ∙ x

 

№	y	x	yx	y2	x2	ŷx	y – ŷx	Ai
1	302	554	167308	91204	306916	324,84	-22,84	7,60
2	360	560	201600	129600	313600	327,65	32,35	9,00
3	310	545	168950	96100	297025	320,63	-10,63	3,40
4	415	672	278880	172225	451584	380,06	34,94	8,40
5	452	796	359792	204304	633616	438,09	13,91	3,10
6	502	777	390054	252004	603729	429,20	72,80	14,50
7	355	632	224360	126025	399424	361,34	-6,34	1,80
8	416	688	286208	173056	473344	387,55	28,45	6,80
9	501	833	417333	251001	693889	455,41	45,59	9,10
10	265	584	154760	70225	341056	338,88	-73,88	27,90
11	462	949	438438	213444	900601	509,70	-47,70	10,30
12	470	888	417360	220900	788544	481,15	-11,15	2,40
13	399	831	331569	159201	690561	454,47	-55,47	13,90
Σ	5209	9309	3836612	2159289	6893889	5208,97	0,03	118,20
сред знач	400,69	716,08	295124	166099,15	530299,15			9,09
δ	74,48	132,40
δ2	5546,67	17528,58

 

 

- управление регрессии

С увеличением средней  заработной платы и выплаты социального  характера на 1 т. р. потребительские  расходы в расчете на душу населения  увеличатся в среднем на 0,468% - х  пункта. Линейный коэффициент парной корреляции.

Связь тесная, прямаяКоэффициент детерминации

Вариация результата на 69,2% объясняется вариацией фактора  х

 

Коэффициент эластичности

 

При изменении фактора  на 1% результат изменится на 0,84%.

Средняя ошибка аппроксимации 

Это говорит о хорошем  качестве управления регрессии.

 

Рассчитаем F – критерий.

По таблице находим  Fx=0,05=4,84, т.к. Fфакт > Fтабл, то можно сделать вывод о значимости уравнения регрессии. Нулевая гипотеза Н_о об отсутствии связи знаков признаков отклоняется.

 

2.2 Cтепенная модель y = ax^b

Прологарифмируем это  уравнение

Обозначим Y=lgy, x=lgx, С=lga

Получим уравнение:

Y=C+bx

 

 

Получим линейное уравнение

 

Выполним потенцирование

 

Индекс корреляции

 

Индекс детерминации

 

Коэффициент эластичности Э=в=0,9143%

 

Средняя ошибка аппроксимации 

 

F - критерий Фишера

 

По таблице находим 

 

Так как Fфакт > Fтабл, то нулевая гипотеза Н_о отклоняется.

 

2.3 Показательная модель

 

 

Выполним потенцирование

 

Индекс корреляции

 

Индекс детерминации

Коэффициент эластичности

Средняя ошибка аппроксимации 

F - критерий Фишера

По таблице находим 

Так как Fфакт > Fтабл, то нулевая гипотеза Н_о отклоняется.

 

2.4 Гиперболическая модель

Сделаем замену

 

 

Индекс корреляции

Индекс детерминации

Коэффициент эластичности

Средняя ошибка аппроксимации 

F - критерий Фишера

По таблице находим 

Так как Fфакт > Fтабл, то нулевая гипотеза Н_о отклоняется.

Занесем полученные данные в таблицу

 

Модель					F
Линейная	0,832	0,692	0,84	9,09	24,71
Степенная	0,830	0,688	0,91	8,75	24,26
Показательная	0,807	0,651	0,88	9,5	20,52
Гипербол	0,862	0,743	0,82	7,92	31,8

 

Из таблицы видно, что  наилучшие показатели имеет гиперболическая  модель. Выбираем ее для взаимосвязи  между переменными х и y. Используем для прогноза уравнение регрессии . Если прогнозное значение фактора увеличится на 7% от среднего уровня, то прогнозное значение результата составит

Ошибка прогноза составит

 

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет  превышена, составит

Доверительный интервал прогноза

               

 

 

Задача № 2

 

По 38 предприятиям одной  отрасли исследовалась зависимость  производительности труда – у от уровня квалификации рабочих – х₁ и энерговооруженности их труда –  х₂. Результаты оказались следующими:

Уравнение регрессии	y = 3 + b1x1 + 4 x2
Средние стандартные ошибки параметров	1,2       2       ?
t – критерий Стьюдента для параметров	?         4       2
Множественный коэффициент  корреляции	0,84

 

Задание:

1. Определить параметр b₁ и заполните пропущенные значения.

2. Оцените значимость  уравнения в целом, используя  значение множественного коэффициента  корреляции.

3. Какой из факторов  оказывает более сильное воздействие  на результат?

 

Решение:

По 38 предприятиям одной  отрасли исследовалась зависимость  производительности труда - у от уровня квалификации рабочих – х₁ и энерговооруженности их труда – х₂. Результаты оказались следующими:

 

Уравнение регрессии	у = 3 + b1x1+ 4 x2
Средние стандартные ошибки параметров	ma=1,2    mb1=2    mb2=?
t-критерий Стьюдента для параметров	ta=?      Tb1=4      Tb2=2
Множественный коэффициент  корреляции	Ryx1x2=0,84

 

1. Линейное уравнение  множественной регрессии y от х₁ и х₂ имеет вид y=a+b₁x₁+b₂x₂

Сравнив его с заданным уравнением регрессии y=3+b₁x₂+4x₂  получим, что а=3, в₂=4.

Средняя стандартная ошибка параметра а m_a и t-критерий Стьюдента t_a связаны соотношением

Аналогично        

       

С учетом произведенных расчетов таблица примет вид

 

Уравнение регрессии	у = 3 + 8x1+ 4x2
Средние стандартные ошибки параметров	ma=1,2    mb1=2    mb2=2
t-критерий Стьюдента для параметров	ta=2,5     tb1=4      tb2=2
Множественный коэффициент  корреляции	Ryx1x2=0,84

 

2. Значимость уравнения  множественной регрессии в целом  оцениваться с помощью F – критерия Фишера

R = 0,84 – множественный коэффициент корреляции;

n = 38 – число наблюдений;

m = 2 – число включенных в модель факторов.

При уровне значимости λ=0,05  и степенях свободы факторной  к₁=m=2 и остаточной

к₂=n-m-1=38-2-1=35 имеет F_табл=3,25