Контрольная работа по "Экономико-математическим методам и прикладныме моделям"

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

 

по дисциплине «Экономико-математические методы и

прикладные модели»

Вариант: №3

Задачи: 1.3; 2.3; 3.3; 4.3

 

 

 

 

 

 

 

 

              Исполнитель: Юматова Минзиля Данияровна

            Специальность: БУиА 13БВ

         Курс: 3

                                       Преподователь: Профессор Горбатков С.А.

                                     

 

 

 

 

УФА-2011

Задача 1.3.

1.3. Некоторая фирма выпускает  два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный — 2 кг азотных, б кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. ед., а улучшенный — 4 ден. ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?

 

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

 

Пусть

Вi –  необходимый минимум питательных веществ i-го типа.

Так, В1 = 10 кг, В2 = 20 кг , В3 = 7 кг

Сi – стоимость 1 кг  j-го набора.

Так, С1 = 3 д.е. С2 = 4 д.е..

Пусть Хi –количество j-го набора

Целевая функция (общие расходы) 

Ограничения:

Х1,2>=0

 

 

 

1. По системе ограничений построим  область допустимых решений (ОДР) – область, которая удовлетворяет всем неравенствам системы ограничений. Она ограничена фигурой Ох2-А-С-Е-В-Ох1

2. Построим линию целевой  функции f(x) = 0 и укажем направление вектор - градиента drad F (x1, x2) = {3;4}. Перемещаем линию F(x1, x2) по направлению вектор – градиента параллельно самой себе (в сторону­). Первая точка ОДР, которую коснется линия F(x1, x2), является точкой минимума (в нашем случае, линия F(x1, x2) первой коснется т.С).

3. Найдем координаты  угловой точки С (решение нашей задачи):

3. Определим значение F(x1, x2) в угловой точке ОДР – С и определим min:

Для минимизации расходов на удобрения требуется:

Х1 (обычный набор) = 2 ед

Х2 (улучшенный набор) = 2 ед

Тогда минимальные затраты F(x) = 14 ден.ед.

Решая на максимум значение F(x1, x2) будет стремиться в ∞, т.к. ОДР не ограничен сверху:

Сформулируем двойственную задачу – задачу на максимум:

* целевая  функция Z(у) = = 10y1 + 20y2 + 7y3 ® mах.

* ограничения

Экономический смысл целевой функции Z(у) – стоимость ресурсов, задействованных в оптимальном рационе

У1 – двойственная оценка азотных удобрений

У2 – двойственная оценка фосфорных удобрений

У3 – двойственная оценка калийных удобрений

 

 

Задача 2.3.

 

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Требуется: 

Сформулировать прямую оптимизационную задачу на 
максимум выручки от реализации готовой продукции, получить 
оптимальный план выпуска продукции.

1. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
2. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
3. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

• проанализировать использование ресурсов в оптимальном 
  плане исходной задачи;

• определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и II видов на 8 и 10 единиц соответственно и уменьшении на 5 единиц запасов сырья III вида;

• оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

 

1) Сформулируем  прямую задачу:

х1 ед. продукции вида A

х2 ед. продукции вида Б

х3 ед. продукции вида В

х4 ед. продукции вида Г

Выручка от реализации продукции выражается целевой функцией:

f(x) = = 5х1 + 7х2 + 3х3 + 6x4 ® max

На изготовление изделий будет израсходовано (2х1 + 1х2 + 3х3 + 2х4) ед. ресурса 1, (1х1 + 2х2 + 4х3 + 8х4) ед. ресурса 2, (2х1 + 4х2 + 1х3 + 1х4) ед. ресурса 3.

Так как запасы ресурса 1 не превышает 200 ед., запасы ресурса 2 не превышает 160 ед., запасы ресурса 3 не превышает 170 ед., то имеем систему ограничений (по ресурсам):

1. Запишем исходную задачу в  канонической форме, для чего  вводим дополнительные переменные – по одному в каждое управление так, чтобы получить равенство:

 

2. В качестве основных переменных (ОП) примем х5 х6 х7,

Определитель матрицы, состоящей из значений ОП, не равен 0:

Выразим ОП через свободные переменные (СП) – х1 х2 х3 х4 и получим общее решение:

 

 

т.к. в базисном решении (БР) СП объявляются равными нулями, то имеем БР на I шаге   Это решение допустимо, т.к. все хj ≥ 0.

Целевая функция БР на I шаге: f(x) = 5*0 + 7*0 + 3*0 + 6*0 = 0.

 

3. Найдем переменную, рост которой  позволит максимально увеличить значение f(x). В нашем случае возьмем за вводимую переменную х2 , т.к. С2 = 7 > 0 и С2 = 7 max. Определим допустимую границу роста вводимой переменной из оценочных отношений:

хввод = min {200;80;42,5}= 42,5, разрешающее уравнение – 2-е.

 

Основные переменные (ОП) х5 х6 х2,

Свободные переменные (СП) – х1 х3 х4 х7:

Новое общее решение:

Имеем БР на II шаге: Это БР допустимо, т.к. все хj ≥ 0.

4. Найдем переменную, рост которой позволит максимально увеличить значение f(x). В нашем случае возьмем за вводимую переменную х1, т.к. С1 = 1,5 > 0 и С1 = 1,5 max. Определим допустимую границу роста вводимой переменной из оценочных отношений:

 

хввод = min {105;-;85}=85, разрешающее уравнение – 3-е.

 

Основные переменные (ОП) х5 х6 х1,

Свободные переменные (СП) – х3 х4 х2 х7:

Новое общее решение:

Имеем БР на III шаге: Это БР допустимо, т.к. все хj ≥ 0.

5. Найдем переменную, рост которой  позволит максимально увеличить значение f(x). В нашем случае возьмем за вводимую переменную х4, т.к. С4 = 3,5 > 0 и С4 = 3,5 max. Определим допустимую границу роста вводимой переменной из оценочных отношений:

 

хввод = min {30;10;170} = 10, разрешающее уравнение – 2-е.

 

Основные переменные (ОП) х5 х4 х1,

Свободные переменные (СП) – х2 х3 х6 х7:

Новое общее решение:

Имеем БР на III шаге: Это БР допустимо, т.к. все хj ≥ 0.

4. В целевой  функции нет переменных, рост  которых позволит увеличить значение  f(x). Значит, план x(80;0;0;0;10;20;0) – оптимален, а f(x) = 460 = max.

 

3) Поясним  нулевые значения переменных в оптимальном плане:

Имеем оптимальную производственную программу

Х2,3 = 0 означает, что выпуск данной продукции нерентабелен при данной цене и ресурсных ограничениях.

 

2) Сформулируем двойственную  задачу:

y1, y2, y3 – цены сырья I, II, III соответственно.

* целевая  функция Z(y) = = 200y1 + 160y2 + 170y3 ® min.

* ограничения 

Найдем ее оптимальный план подставив в систему (1):

Согласно II теореме двойственности (II ТД): .

Т.к. для (строгое неравенство), то

Согласно II ТД:

т.к. для j = 1 и j = 2 соответственно х1 > 0 и х4 > 0, то в системе (2) для соответствующих строк 1 и 4 имеем:

т.к. , то согласно I ТД план - оптимален, план - оптимален

4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности поясним:

1. Условием  не дефицитности i-го ресурса является: , тогда его оценка (y) = 0. Т.к. y1 = 0, то I вид ресурса недефицитен. Тогда II и III виды ресурсов дефицитны, причем острее чувствуется дефицитность III вида (y3 > y2).

2. Для  имеем:

Тогда, зная и изменения запасов ресурсов, можно определить изменение общей стоимости продукции:

Изменение запасов вызовет изменение производственной программы. Найдем ее, решив систему (1) с учетом изменения запасов и относительного только дефицитных ресурсов:

т.к. х2 = 0, х3 = 0, то х1 = 230/3, х2 = 35/3

Итак, новая производственная программа х (230/3;0,0;35/3)

3. Чтобы  определить целесообразность включения  в план нового изделия, необходимо сравнить «внутреннюю» цену ресурсов используемы в его производстве, и цену на него (Сj).

Очевидно, что данное включение целесообразно, если

Имеем: a15 = 2, a25 = 2, a35 = 2,  C5 = 10

т.к. D5 < 0, то выпуск изделия «Д» целесообразен.