Контрольная работа по "Эконометрике"

 

Вариант 5

Постановка  задачи

 

Для анализа зависимости объёма потребления y (д.е.) домохозяйства от располагаемого дохода x (д.е.) отобрана выборка n = 10. В таблице 1 приведены исходные данные.

Таблица 1 ‒ Исходные данные

№	Доход, x	Объём потребления, y
1	91	130
2	90	122
3	113	145
4	104	134
5	97	137
6	121	152
7	96	141
8	114	144
9	97	124
10	106	132

 

Требуется:

1. Оценить силу линейной зависимости между x и y. Оценить значимость коэффициента линейной корреляции при уровне значимости  
α =10%.

2. Построить линейную регрессионную модель: предварительно расположить значения y в порядке возрастания значений x, по методу МНК на основе имеющихся данных рассчитать оценки параметров модели.

3. На одном чертеже отобразить график модели и наблюдаемые (эмпирические) значения.

4. Оценить качество уравнения регрессии.

5. Проверить выполнение предпосылок МНК.

6. Дать точечный прогноз потребления при доходе 100 д. е.

7. Определить 95% доверительный интервал (интервальную оценку) для полученного прогноза.

8. Рассчитать коэффициент эластичности.

1. Оценка силы линейной зависимости между доходом и объёмом потребления

 

Для оценки силы связи между фактором и зависимой  от него переменной рассчитывается выборочный коэффициент линейной корреляции (r ) по формуле:

Построим  промежуточную таблицу 2.

Таблица 2

	x	y	xy	x	y
1	91	130	11830	8281	16900
2	90	122	10980	8100	14884
3	113	145	16385	12769	21025
4	104	134	13936	10816	17956
5	97	137	13289	9409	18769
6	121	152	18392	14641	23104
7	96	141	13536	9216	19881
8	114	144	16416	12996	20736
9	97	124	12028	9409	15376
10	106	132	13992	11236	17424
Сумма	1029	1361	140784	106873	186055
Среднее	102,9	136,1	14078,4	10687,3	18605,5

 

Подставим в  формулу значения из таблицы 2. Тогда получим:

= 0,82

Вывод: полученный коэффициент корреляции r = 0,82 указывает на относительно сильную прямую линейную связь между доходами (фактор x) и объёмом потребления (зависимая переменная y).

 

Оценка  значимости коэффициента линейной корреляции

 

Оценка  значимости коэффициента корреляции r проводится с помощью Т-критерия Стьюдента на основании общей схемы проверки гипотез:

1. Сформулируем H гипотезу и альтернативную гипотезу H :

H : коэффициент линейной корреляции генеральной совокупности ( ) равен 0, т.е. не является значимым.

H : коэффициент линейной корреляции генеральной совокупности ( ) не равен 0, т.е. является значимым.

H : = 0

H : ≠ 0

2. Уровень значимости α =10%

3. Выбираем критерий согласия для проверки H гипотезы –  
t-критерий Стьюдента с γ степенями свободы:

t = t = 1,860,

где α =10% = 0,1 – уровень значимости;

n = 10 – количество наблюдений;

γ = n–2 = 8 – число степеней свободы.

Значение t находится по таблице распределения Стьюдента.

4. Находим расчётное значение T по формуле:

T

= с γ = n–2 степенями свободы

T

= = 4,05

5. Определяем критическую область T и область принятия гипотезы:

T = t = 1,860

В данном случае используется двухсторонний  тест.

T > t , 4,05 > 1,860

Вывод: поскольку T > t , гипотезу H отвергаем, а альтернативную ей гипотезу H принимаем, коэффициент корреляции r значим.

 

2. Расчёт параметров линейной регрессионной модели

 

Для оценки параметров регрессионного уравнения  наиболее часто используют метод  наименьших квадратов (МНК), который  минимизирует сумму квадратов отклонения наблюдаемых значений от модельных значений .

Рассчитаем  параметры линейного уравнения  регрессии:

= a + bx

Найдем  параметр b по формуле:

b =

b =

= 0,7454

Далее вычислим коэффициент а:

a =

a = 136,1 – 0,7454*102,9 = 59,4011

Вывод: искомое  уравнение линейной регрессии зависимости  объема потребления от дохода будет  иметь вид:

= 59,4011 + 0,7454 * x

Величина  коэффициента b показывает, что при увеличении дохода на единицу этого показателя объём потребления увеличивается на 0,7454.

Составим  вспомогательную таблицу 3.

Таблица 3 – Промежуточные данные для  регрессионного анализа

	x	y
1	90	122	126,4847	-14,1	198,81	-4,4847	20,1124	3,676
2	91	130	127,2301	-6,1	37,21	2,7699	7,6726	2,1307
3	96	141	130,9569	4,9	24,01	10,0431	100,8634	7,1228
4	97	124	131,7023	-12,1	146,41	-7,7023	59,3254	6,2115
5	97	137	131,7023	0,9	0,81	5,2977	28,0657	3,8669
6	104	134	136,9199	-2,1	4,41	-2,9199	8,5259	2,179
7	106	132	138,4107	-4,1	16,81	-6,4107	41,0965	4,8566
8	113	145	143,6283	8,9	79,21	1,3717	1,8816	0,946
9	114	144	144,3736	7,9	62,41	-0,3736	0,1396	0,2595
10	121	152	149,5913	15,9	252,81	2,4087	5,802	1,5847
Сумма	1029	1361	1361,000	0,0000	822,90	0,0000	273,4851	32,8337
Среднее	102,9	136,1	136,1000		82,29		27,3485	3,2834

 

 

3. График линейной регрессионной модели

 

На рисунке 1 показан график линейной регрессионной модели и наблюдаемые значения.

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1 –  График линейной регрессионной модели

4. Оценка качества уравнения  регрессии

 

Оценку  качества полученного уравнения  регрессии определим по следующим  показателям:

1. Средняя ошибка аппроксимации:

Вывод: полученное значение показывает, что расчётные значения в среднем отклоняются от фактических на 3,28337%. Качество модели по этому показателю можно оценить как относительно хорошее.

2. Стандартная ошибка регрессии.

В качестве меры точности применяют стандартную  ошибку регрессии:

,

где − отклонение наблюдаемых значений от линии регрессии;

k – количество факторных переменных (в нашем случае k=1).

Тогда стандартная  ошибка регрессии:

Вывод: для  исходных данных такая величина стандартной  ошибки регрессии указывает на среднее  качество модели.

3. Коэффициент детерминации.

Суммарной мерой общего качества уравнения  регрессии является коэффициент  детерминации, который находится  по формуле:

Коэффициент детерминации показывает долю вариации результата , находящегося под воздействием изучаемого фактора, ко всей общей вариации. Чем ближе к 1, тем лучше качество модели.

Вывод: значение коэффициента детерминации 0,6677 говорит о том, что вариация объёма потребления на 66,77% объясняется вариацией уровня дохода. Это указывает на среднее качество модели.

4. Оценка значимости коэффициента детерминации

Оценку  значимости коэффициента детерминации проведём с помощью F-критерия Фишера. Найдём F-критерий Фишера для наблюдаемых значений:

= 16,0715

По таблице  Фишера найдём критическое значение :

(α, ) = (0,1;1;8) = 3,46

Вывод: так  как F_расч> , то уравнение регрессии является адекватным, т.е. статистически значимым.

 

5. Проверка предпосылок МНК

 

Чтобы полученные оценки параметров уравнения регрессии  соответствовали всем требованиям, должны выполняться условия  
Гаусса-Маркова по отношению к остаткам ( ), а именно:

1. Остатки должны носить случайный характер.
2. Остатки должны быть независимые (отсутствие автокорреляции).
3. Для каждого наблюдения остатки должны быть распределены по нормальному закону.
4. Математическое ожидание для каждого наблюдения должно быть равно 0.
5. Для каждого наблюдения дисперсия остатков должны быть одинакова.

 

5.1 Анализ остатков на случайный характер

Для анализа  остатков на случайный характер представим их графически (рисунок 2).

Рисунок 2 – График остатков

 

Количество  поворотных точек – 6, = 6

Среднее количество поворотных точек находится  по формуле:

Остатки будут носить случайный характер, если будет удовлетворять следующему соотношению:

>[ ]

где находится из таблицы Лапласа для β=95%,

рассчитывается по формуле  =

= =1,96   = =1,21

[ ]=[5,33-1,96*1,21]=[2,96]=3

>[ ]

Полученное  неравенство доказывает случайный  характер остатков.

 

5.2 Анализ остатков на независимость

Для анализа  остатков на независимость используется тест  
Дарбина-Уотсона с нахождением критерия DW по формуле:

DW=

DW= =2,7

Необходимые расчёты приведены в таблице 5.

Таблица 5

1	-4,4847	20,1124
2	2,7699	7,6726	52,62960351
3	10,0431	100,8634	52,89844564
4	-7,7023	59,3254	314,8982859
5	5,2977	28,0657	169
6	-2,9199	8,5259	67,52920504
7	-6,4107	41,0965	12,18531668
8	1,3717	1,8816	60,565508
9	-0,3736	0,1396	3,046329169
10	2,4087	5,802	7,741663325
Сумма	0,0000	273,4851	740,4943573