Контрольная работа по "Эконометрике"

Эконометрика для СибГАУ

Вариант 3

Контрольная работа

 

Содержание работы

 

 

Задача 1. Модель парной линейной регрессии

Имеются данные за 10 лет по прибылям x и y (в %), получаемому домохозяйством ежемесячно в течение года.

Таблица 1

Исходные данные

Годы	Х	y
1	10,2	20,1
2	15,8	18
3	12,5	10,3
4	10,3	12,5
5	5,7	6
6	-5,8	-6,8
7	-3,5	-2,8
8	5,2	3
9	7,3	8,5
10	6,7	8

 

Задания:

1. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции, оценить его статистическую значимость и построить для него доверительный интервал с уровнем значимости α = 0,05. Сделать выводы.
2. Построить линейное уравнение парной регрессии y на x и оценить статистическую значимость параметров регрессии. Сделать рисунок.
3. Оценить качество уравнения регрессии при помощи коэффициента детерминации. Сделать выводы. Проверить качество уравнения регрессии при помощи F критерия Фишера.
4. Выполнить прогноз прибыли y при прогнозном значении x, составляющем 113% от среднего уровня. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал для уровня значимости α = 0,05. Сделать выводы.

 

Решение:

1. Для определения степени тесноты связи обычно используют линейный коэффициент корреляции:

где ,  - выборочные дисперсии переменных х и y, - ковариация признаков. Соответствующие средние величины определяются по формулам:

, ,  ,

С целью расчета коэффициента корреляции построим следующую расчетную  таблицу:

Таблица 2

Расчетная таблица коэффициента корреляции

№	x	y	xy	x2	y2	y(xi)	(yi-y(xi))2
1	10,2	20,1	205,02	104,04	404,01	12,017	65,335
2	15,8	18	284,4	249,64	324	18,476	0,227
3	12,5	10,3	128,75	156,25	106,09	14,670	19,097
4	10,3	12,5	128,75	106,09	156,25	12,132	0,135
5	5,7	6	34,2	32,49	36	6,826	0,683
6	-5,8	-6,8	39,44	33,64	46,24	-6,438	0,131
7	-3,5	-2,8	9,8	12,25	7,84	-3,785	0,971
8	5,2	3	15,6	27,04	9	6,250	10,561
9	7,3	8,5	62,05	53,29	72,25	8,672	0,030
10	6,7	8	53,6	44,89	64	7,980	0,000
Итого	64,4	76,8	961,61	819,62	1225,68	76,800	97,169
Среднее	6,44	7,68	96,161	81,962	122,568	7,680	9,717

 

Непосредственный расчет характеристик показателей представим таблицей 3.

 

Таблица 3

Статистические характеристики изучаемых показателей и коэффициент  корреляции

Показатель	Значение
Среднее по х	6,4400
Среднее по y	7,6800
Выборочная дисперсия S2x	40,4884
Выборочная дисперсия S2y	63,5856
Выборочное СКО Sx	6,3630
Выборочное СКО Sy	7,9741
Модифицированное выборочное СКО S*x	6,7072
Модифицированное выборочное СКО S*y	8,4054
Ковариация cov(x,y)	46,7018
Корреляция rxy	0,9204

 

Модифицированные выборочные СКО S^*x, S^*y рассчитываются по формулам:

Таким образом, между  объемом продаж (y) и расходами на рекламу (x) существует слабая (|r|<0,3) отрицательная корреляционная зависимость.

Для оценки статистической значимости коэффициента корреляции рассчитаем t-критерий Стьюдента:

который имеет распределение  Стьюдента с k=n-2=8 степенями свободы и уровнем значимости α=0,05. Критическое значение T_критич = T(k=8, α=0,05) = 2,31.

Поскольку условие T_набл > T_критич выполняется, то коэффициент корреляции значим.

Для значимого коэффициента можно  построить доверительный интервал, который с заданной вероятностью содержит неизвестный генеральный  коэффициент корреляции. Для построения интервальной оценки (для малых выборок n<30), используют z-преобразование Фишера:

Распределение z уже при небольших n является приближенным нормальным распределением с математическим ожиданием

и дисперсией

.

Поэтому вначале строят доверительный интервал для M[z], а затем делают обратное z-преобразование.

Применяя z-преобразование для найденного коэффициента корреляции, получим:

z = arth(0,9204) = 1,5918.

Доверительный интервал для M[z] будет иметь вид:

где t_γ находится с помощью функции Лапласа Ф(t_γ) = γ/2. Для γ = 1- α=0,95 имеем t_γ  = 1,96. Тогда: 0,8510 ≤ M[z] ≤ 2,3326.

Обратное z-преобразование осуществляется по формуле

В результате находим

 

0,6916 ≤ ρ ≤ 0,9204.

Следовательно, в указанных границах на уровне значимости 0,05 (с надежностью 0,95) заключен генеральный коэффициент корреляции ρ.

2. Таким образом, между  переменными x и y имеет место существенная линейная корреляционная зависимость, то есть:

y = β₀ + β₁ x + ε

где y – зависимая переменная (результативный признак), x – независимая (объясняющая) переменная, ε – случайные отклонения, β₀, β₁ – параметры регрессии. По выборке ограниченного объема можно построить эмпирическое уравнение регрессии:

где b₀, b₁ – эмпирические коэффициенты регрессии. Для оценки параметров регрессии обычно используют метод наименьших квадратов (МНК). Применение данного метода к оценке указанных параметров приводит к следующим формулам:

Результат расчета коэффициентов  эмпирического уравнения регрессии дает: b₀ = 0,2517; b₁ = 1,1535.

Эмпирическое уравнение  регрессии 

Параметр b₁ называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу. В рассматриваемом случае, с увеличением x на 1 ед. y возрастает в среднем на 1,1535 млн. руб.

На рисунке 1 построено корреляционное поле и эмпирическая линия регрессии.

Рис. 1. Корреляционное поле и эмпирическая линия регрессии.

Проверка адекватности моделей, построенных на основе уравнений  регрессии, начинается с проверки статистической значимости каждого коэффициента регрессии. Для этого вычислим сначала стандартную  ошибку регрессии

Значимость коэффициента регрессии устанавливается с  помощью t-критерия Стьюдента:

где S_bi – стандартная ошибка коэффициента регрессии.

Для коэффициентов b₀, b₁ эмпирической линии регрессии оценку дисперсии можно получить по формулам:

Тогда: = 0,1605, = 6,6596.

Критическое значение критерия было уже найдено T_критич = 2,31. Поскольку условия < T_критич, > T_критич, то коэффициент b₁ значимо отличается от нуля, а коэффициент b₀ - нет. Следовательно, для коэффициента b₁ – можно построить доверительный интервал, а для коэффициента b₀ - нельзя.

Несмотря на сказанное  выше, все же построим доверительные интервалы для обоих коэффициентов, учитывая условность интервала для коэффициента b₀. Определим предельные ошибки для каждого показателя:

где t = T_критич = 2,31. В рассматриваемом случае:

В результате, получаем следующие доверительные интервалы для коэффициентов регрессии:

b₀ = 0,2517±3,62;  b₁ = 1,1535±0,3994

3. Оценку качества построенной модели дает коэффициент детерминации.

Коэффициент детерминации для линейной модели равен квадрату коэффициента

Это означает, что 84,72% вариации признака y объясняется вариацией признака-фактора x.

Значимость уравнения  регрессии проверяется при помощи F-критерия Фишера, для линейной парной регрессии он будет равен:

F подчиняется распределению Фишера с уровнем значимости α и степенями свободы k₁ = 1, k₂ = n-2=8.

Поскольку критическое  значение критерия равно F_критич = F(α=0,05; k₁=1; k₂=8) = 5,32 и условие F> F_критич выполняется, то статистическая признается значимость построенного уравнения регрессии.

4. Полученные оценки  уравнения регрессии позволяют  использовать его для прогноза. В рассматриваемом случае прогнозное  значения результативного признака y при значении факторного признака x, равному 113% от своего среднего уровня, будет таким

Средняя ошибка прогноза вычисляется по формуле (x_p = ):

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

Доверительный интервал прогноза

 

Задача 2. Модель парной нелинейной регрессии

По территориям Волго-Вятского Центрально-Черноземного и Поволжского районов известны данные за ноябрь 1997 г.

Таблица 1

Исходные данные

№	Средняя заработная плата и выплаты социального характера, тыс. руб., x	Потребительские расходы на душу населения, тыс.руб., y
Респ. Марий Эл	554	302
Респ. Мордовия	560	360
Чувашская респ.	545	310
Кировская обл.	672	415
Нижегородская обл.	796	452
Белгородская обл.	777	502
Воронежская обл.	632	355
Курская обл.	688	416
Липецкая обл.	830	501
Тамбовская обл.	577	403
Респ. Татарстан	949	462
Пензенская обл.	562	342