Контрольная работа по "Эконометрика"

 

Таким образом, получим:

; .

4) Стандартные  ошибки эмпирических коэффициентов  регрессии вычисляются по формулам:

                                           ,                                                          

                                            .                                                   

Таким образом, получим:

,

 

0,839.

Проверим  статистическую значимость оценки при уровне значимости  5%, для этого выдвинем две гипотезы

( статистически незначим);

( статистически значим).

Для проверки используем случайную величину ,                       

которая при  справедливости имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы .

Наблюдаемое значение критерия вычисляем по выборочным данным:

.

По виду конкурирующей  гипотезы определяется двусторонняя критическая  область (см. рис.2). По таблице критических точек распределения Стьюдента находим

.

Так как  , то  гипотезу можно признать справедливой на 5%-ом уровне значимости, оценку статистически значимой.

Оценка  показывает, что если объем денежной массы увеличится на 1 трлн. руб., то величина курса доллара США к рублю снизится в среднем приблизительно на 0,5 руб.

 

Аналогичным образом проверяем статистическую значимость оценки :

( статистически незначим);

( статистически значим).

Для проверки используют случайную величину ,                      

которая при  справедливости имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы .

Наблюдаемое значение критерия .

По таблице  критических точек распределения Стьюдента находим

.

Так как  , то  гипотезу можно признать справедливой на 5%-ом уровне значимости, оценку статистически значимой.

В данном случае экономическая интерпретация  оценки не имеет смысла.

5. Вся вариация зависимой переменной (TSS) складывается из двух частей: объяснённой регрессионным уравнением, т.е. признаками, включёнными в уравнение регрессии (RSS) и не объяснённой, т.е. обусловленной признаками, не включёнными в уравнение регрессии , т.е.

                                  .                                                   

Таким образом, TSS характеризует вариацию зависимой  переменной, обусловленную как включёнными, так и не включёнными в модель факторными признаками и определяется:

                                                .                                              

RSS вычисляем по формуле:

        .                                             

ESS вычисляем по формуле:

                                                     .                            

Для проверки соответствия модели эмпирическим данным используем коэффициент детерминации :

                                                        .                                                   

Коэффициент детерминации позволяет определить долю вариации зависимой переменной, объяснённую уравнением регрессии. Данные расчётов для нахождения представлены в таблице 3.

Таблица 3

Таблица расчётов для нахождения

Месяц
1	2	3	4	5	6
Январь	26,470	26,281	0,490	0,036	0,791
Февраль	26,340	26,430	0,721	0,008	0,576
Март	26,110	26,328	0,559	0,048	0,280
Апрель	25,840	26,071	0,240	0,053	0,067
Март	25,820	25,772	0,037	0,002	0,057
Июнь	25,930	25,423	0,025	0,257	0,122
Июль	25,560	25,343	0,057	0,047	0,000
Август	25,630	25,309	0,074	0,103	0,002
Сентябрь	25,340	25,192	0,151	0,022	0,058
Октябрь	24,890	25,022	0,312	0,017	0,477
Ноябрь	24,470	25,058	0,273	0,346	1,234
Декабрь	24,570	24,685	0,803	0,013	1,022
Итого	-	-	3,741	0,953	4,687

 

Применив формулу 

 

получим:

 (79,8 %).

Коэффициент детерминации свидетельствует о том, что вариация зависимой переменной (величина курса доллара США к рублю) в среднем на 79,8% объясняется вариацией независимой переменной (объем денежной массы), а необъяснённая вариация (21,7%)  - факторами, неучтёнными в эконометрической модели.

Проверим правильность решения, найдем коэффициент детерминации по формуле:

Получим:

Вывод: значение коэффициента детерминации, полученное двумя способами совпадает, значит коэффициент детерминации найден верно.

Вследствие  того, что  вычислен по выборочным данным, необходимо проверить его статистическую значимость и, вместе с тем, качество построенного регрессионного уравнения.  С этой целью выдвигаем статистические гипотезы вида:

(модель статистически не  значима);

(модель статистически значима).

В данном случае нулевая гипотеза проверяется с  помощью случайной величины ,                                                                        

которая при  справедливости имеет распределение Фишера-Снедекора с числами степеней свободы и , где - число факторных признаков, включённых в уравнение регрессии. В случае парной регрессии , тогда ; , т.е. ; =12-2=10.

Вычислим наблюдаемое значение критерия:

.

Проверим  правильность решения, вычислим через коэффициент детерминации:

_{Вывод: наблюдаемое значение найденное двумя  способами совпадает, значит значение найдено  верно.}

 

По виду конкурирующей  гипотезы можно говорить о правосторонней критической области  (рис. 3). По таблице критических точек распределения Фишера – Снедекора находим значение критической точки критерия : .

Вследствие  того, что  , принимается конкурирующая гипотеза , т.е. полученное эмпирическое уравнение регрессии можно использовать на практике, например, для прогнозирования.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.  Кривая распределения случайной величины

 

6. Построим доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии и   с надёжностью, равной 95 % ( ).  Доверительный интервал (интервальная оценка) для истинных коэффициентов регрессии определяется с использованием - статистики, имеющей распределение Стьюдента. Вычислим верхнюю и нижнюю границы доверительного интервала:

                                   ,                     

где ; (в данном случае ).

Так, с  заданной надёжностью  интервальная оценка теоретического коэффициента регрессии имеет вид:

,

где  .

Тогда    ,

.

Таким образом, с надежностью 95% можно утверждать, что если объем денежной массы увеличится на 1 трлн. руб., то величина курса доллара США к рублю снизится от 0,682 до 0,325 рублей.

           С заданной надёжностью  интервальная оценка теоретического коэффициента (свободного члена) имеет вид:

,

где  .

Произведя необходимые  вычисления, получаем

,

.

С надёжностью 95% можно утверждать, что истинное значение коэффициента (свободного члена) будет лежать в интервале . В данном случае, экономическая интерпретация построенного доверительного интервала не имеет экономического содержания.

 

7. Доверительный интервал для индивидуального (прогнозного) значения объясняемой переменной , отвечающего значению , вычислим следующим образом:

              

,                    

где - прогнозное значение объясняемой переменной (точечный прогноз) при ;

       - стандартная ошибка случайной величины ,  вычисляемая по формуле

                                 ;                         

       .

Подставляя  ранее найденные значения, получим:

0,362.

Доверительный интервал стоится с надежностью 95%, следовательно,  . Значение независимой переменой по условию принимаем равным трлн. руб.  При данном объеме денежной массы в стране, величину курса доллара США к рублю можно рассчитать по построенному уравнению регрессии, т.е.

.

Таким образом, рубля в день.

Тогда, искомый  доверительный интервал имеет вид:

,

.

Таким образом, с надёжностью 95% можно утверждать, что при объеме денежной массы в 12,5 трлн. рублей в стране, величина курса доллара США к рублю будет колебаться в пределах от 23,713 до 25,328 руб./доллар.

 

8.  На корреляционном поле построим эмпирическую линию регрессии, задаваемую уравнением    .

 

Рис. 4.  Корреляционное поле с линией регрессии.