Контрольная работа по дисциплине «Эконометрика»

Негосударственное образовательное  учреждение

высшего профессионального образования 

Центросоюза Российской Федерации

 

СИБИРСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

ПОТРЕБИТЕЛЬСКОЙ КООПЕРАЦИИ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

«Эконометрика»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила: Цветкова Е.Г.

БХ- 05-217-Ч

Проверила: Степанова Л.Э.

 

 

 

 

ЧИТА - 2011

 

ВАРИАНТ 7

 

Задание № 7

 

а) По имеющимся  статистическим данным составить уравнение модельной линии регрессии у = кх + в, зависимости величины У от параметра Х. Коэффициенты уравнения определить по методу наименьших квадратов.

 

б) Оценить  тесноту связи между переменными  Х и У по выборочному коэффициенту корреляции.

 

в) Построить  график экспериментальных данных и  модельной прямой.

г) Оценить  величину погрешности модельного уравнения.

д) Провести оценку значимости параметров уравнения и составить для них доверительные интервалы с доверительной вероятностью g =0,95.

 

Зависимость между результатами письменных вступительных и курсовых (на первом курсе) экзаменов по математике: зависимость числа решённых задач У на курсовых экзаменах от числа Х решённых задач на вступительных экзаменах у 12 студентов:

 

Хi	10	6	8	8	6	7	6	7	9	6	5	7
Уi	6	4	4	5	4	7	3	4	7	3	2	3

 

Решение:

 

Параметры уравнения  у = кх + b найдем методом наименьших квадратов.

 

Составим  систему нормальных уравнений:

 

 

 

Вычислим  все необходимые суммы с помощью  таблицы:

 

хi	yi	xi2	xiyi	yi2	yp	ei	ei2
10	6	100	60	36	6,71	-0,71	0,50
6	4	36	24	16	3,45	0,55	0,30
8	4	64	32	16	5,08	-1,08	1,17
8	5	64	40	25	5,08	-0,08	0,01
6	4	36	24	16	3,45	0,55	0,30
7	7	49	49	49	4,27	2,73	7,48
6	3	36	18	9	3,45	-0,45	0,20
7	4	49	28	16	4,27	-0,27	0,07
9	7	81	63	49	5,89	1,11	1,22
6	3	36	18	9	3,45	-0,45	0,20
5	2	25	10	4	2,64	-0,64	0,40
7	3	49	21	9	4,27	-1,27	1,60
85	52	625	387	254			13,46
х=7,08	у=4,33	х2=52,08	ху=32,25	у2=21,17

 

Получим систему уравнений:

 

 

Решая эту систему, найдем значения параметров : к = 0,81 и b = - 1,44.

Следовательно, уравнение  у = 0,81х – 1,44 является модельным уравнением. Оценим тесноту связи между переменными Х и У по выборочному коэффициенту корреляции:

 

 

Для нашей  задачи R =0,9180. Так как выборочный коэффициент R близок к единице, то между переменными Х и У существует тесная связь

 

 

 

 

 

 

Используя модельное уравнение, найдем расчетные  значения у и построим график:

Ломаная линия  на графике отражает фактические  значения  у, а прямая линия построена с помощью уравнения регрессии  и отражает  тенденцию изменения Y  в зависимости от Х.

Оценим величину погрешности полученного уравнения.

Обозначим разность между фактическим значением  результативного признака и его расчетным значением как e_i: 

 

e_i  = у_i - y_{i р}

 

В качестве суммарной  погрешности выберем величину          S² = åe _i²/n-2. Для нашего примера S² = 1,346. Стандартная ошибка уравнения находится по формуле

 

, в нашем случае s = 1,1603.

 

Найдем относительную  погрешность модельного уравнения  , где – среднее значение результативного признака, получим q = 26,78 %.

Величина  относительной погрешности больше 10 % уровня, следовательно прогнозные качества данного оцененного регрессионного уравнения  недостаточно высоки.

 

 

Проверим  значимость параметров уравнения.

Стандартная ошибка углового коэффициента к  вычисляется по формуле

 

, (У нас S_k = 0,242).

 

Для вычисления стандартной ошибки коэффициента b используем формулу

. Получим, что S_b= 1,748.

Коэффициенты  считаются значимыми, если

 и 

У нас  S_b /½b½ = 1,748/ 1,44 =1,21, S_k/½k½ = 0,242/0,81 = 0,299.

 Коэффициент b не является значимым, так как указанное отношение больше 0,5.

Используем  стандартные ошибки параметров уравнения  для оценки статистической значимости коэффициентов при помощи t-критерия Стьюдента. Найдем доверительные интервалы параметров уравнения по формулам:

k^- = k – t_ст*S_k   и  b^- = b - t_ст* S_b

k⁺ = k+ t_ст* S_k   и  b⁺ = b + t_ст*S_b.

Значения t-критерия Cтьюдента содержатся в справочниках по математической статистике. Для нашего примера по таблице определяем t_ст = 2,23.

 

 

Получим интервалы:

k^-= 0,81 -2,23*0,242 = 0,27

k⁺= 0,81 + 2,23*0,242 = 1,35,

Интервал (k^-, k⁺) достаточно мал и не содержит ноль, поэтому коэффициент k является статистически значимым на 95 % доверительном уровне. Для параметра b доверительный интервал (b^- , b⁺ ) получим (- 5,34, 2,46 ).Коэффициент b не является значимым, так как интервал велик и содержит ноль.

По нашему исследованию  можно сделать следующий  вывод: полученные результаты не являются значимыми, и модельное уравнение не может быть использовано для прогнозных расчетов. Ситуацию можно поправить следующими способами:

а) увеличить  число измерений n,

б) увеличить число объясняющих  факторов,

в) изменить форму уравнения.