Экономико-математическое моделирование

= 1090234;

Вывод: как видно  из таблицы все расчетные значения критерия Ирвина меньше чем табличные, то есть < 1,5, поэтому аномалий не обнаружено.

2. Построим линейную модель вида Y_р(t) = a₀ + a₁t по методу наименьших квадратов.

Для расчета  линейной модели используется следующая расчетная таблица:

Расчет линейной модели произведен по методу наименьших квадратов.

= = 3,97

23,89 – 3,97*5 = 4,06

Получили модель в общем виде:

Y(t) = а₀ + а₁t₁ = 4.06 3.97*t.

3. Построить адаптивную модель Брауна с параметром сглаживания и . Выбрать лучшие значения параметров сглаживания.

Построим адаптивные модели Брауна с  и . Расчетное значение в момент времени получается по формуле:

где k — количество шагов прогнозирования (обычно k = 1).

Это значение сравнивается с фактическим уровнем, и полученная ошибка прогноза E(t)=Y(t) - Y_p(t) используется для корректировки модели. Корректировка параметров осуществляется по формулам:

где - коэффициент дисконтирования данных, отражающий большую степень доверия к более поздним данным. Его значение должно быть в интервале от 0 до 1.

Процесс модификации  модели (t— 1,2,..., N) в  зависимости от текущих прогнозных качеств обеспечивает ее адаптацию к новым закономерностям развития.

 Начальные  оценки параметров получим по  первым пяти точкам при помощи  метода наименьших квадратов.

а₀₍₀₎ = 4;   а₁₍₀₎ = 4.

Возьмем =0,4; к = 1; b = 1 - a = 0,6.

Дальнейшие вычисления проведены в таблице:

 

Таким  образом  получим сумму квадратов остатков = 15,87

Возьмем a = 0,7; к = 1; b = 1 - a = 0,3

Дальнейшие  вычисления произвели в таблице

Таким образом  получили сумму квадратов остатков = 32,42.

Поскольку при a = 0,4 сумма квадратов меньше чем при a = 0,7, мы выбираем первую модель в качестве лучшей.

4. Оценим адекватность построенной модели.

Равенство математического  ожидания остатков нулю выполняется  для любой линейной модели. Проверим случайный характер остатков. Для проверки условия случайности возникновения отдельных отклонений от тренда часто используется критерий, основанный на поворотных точках. Значение случайной переменной считается поворотной точкой, если оно одновременно больше соседних с ним элементов или, наоборот, меньше значений предыдущего и последующего за ним члена. Если остатки случайны, то поворотная точка приходится примерно на каждые 1,5 наблюдения. Если их больше, то возмущения быстро колеблются, и это не может быть объяснено только случайностью. Если же их меньше, то последовательные значения случайного компонента положительно коррелированны .

Существует  определенная зависимость между  средней арифметической р, дисперсией s_р² количества поворотных точек р и числом членов исходного ряда наблюдений n. В случайной выборке средняя арифметическая (математическое ожидание) числа поворотных точек равна р = 2/3 (n – 2), а их дисперсия вычисляется по формуле:

 s_р² = . Учитывая эти соотношения, критерий случайности отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 можно представит, как

, где р – фактическое количество  поворотных точек в случайном  ряду.

= 2

6 > 2.

Неравенство соблюдается, ряд остатков можно считать случайным, модель адекватна по этому признаку.

 Проверка  независимости ряда остатков. Наличие  (отсутствие) автокорреляции в отклонениях  от модели роста проще всего  проверить с помощью критерия  Дарбина-Уотсона (d-статистика), в основе которой лежит расчетная формула

   

=22,01/6,82=3,23.

 

Преобразуем значение коэффициента d^| = 4 – 3.23 = 0.77

Данное значение находится в диапазоне от 0 до критического значения d_| 1,08, значит остатки зависимы,  модель не адекватна по этому признаку.

Проверим соответствие остатков нормальному закону распределения с помощью R/S критерия:

R/S = (E_max - E_min)/ S  = 2,13 / 23,89 = 2,31

Среднеквадратическое  отклонение S берется из формулы:

В данном случаи значение критерия выходит за диапазон критических уровней. Остатки не подчиняются нормальному закону распределения, модель не адекватна по этому признаку.

5. Оценим точность построенной модели на основе относительной ошибки аппроксимации.

Оценка точности модели имеет смысл только для  адекватных моделей. В случаи временных  рядов точность модели определяется как разность между фактическим и расчетным значениями. В качестве статистических показателей точности чаще всего применяют стандартную ошибку прогнозируемого показателя, или среднеквадратическое отклонение от линии тренда.

где т — число параметров модели, и среднюю относительную ошибку аппроксимации.

=  0,98

 
= * 100% = 3,7 < 5

Данное значение < 5%, поэтому точность модели высокая.

Пункты 4 и 5 для  модели Брауна.

• Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется в ходе проверки соответствующей нулевой гипотезы. Для чего строится t-статистика:

 

= 0,04

Статистика  Стьюдента табличная при числе  степеней свободы  = 8 и уровне значимости = 0,3, ровна 1,08. Так как t расчетная < чем t табличная нулевая гипотеза остатков принимается. Модель адекватна по этому признаку

Проверим случайный  характер остатков. Число поворотных точек р = 6, критическое число = 2.

6 > 2

Свойство случайности  остатков выполняется.

Проверим наличие  или отсутствие автокорреляции в  ряде остатков. Используем критерий Дарбина-Уотсона

 

= = 3,28

Поскольку значение критерия получилось > 2, перед входом в таблицу вычтем его из 4. Получим 4 – 3,28 = 0,72. Остатки зависимы модель не адекватна по этому признаку.

Проверим соответствие ряда остатков нормальному закону распределения.

Рассчитаем  значение RS:

RS = (E_max - E_min)/ S,

где E_min - максимальное значение уровней ряда остатков E(t);

E_max  - минимальное значение уровней ряда остатков E(t)

S - среднеквадратическое отклонение.

= 2,72

Так как значение RS-критерия находится между критическими уровнями, нулевая гипотеза о нормальном законе распределения остатков принимается.

Оценим точность модели

 

= = 1,51  - среднеквадратическое отклонение от линии тренда.

Рассчитаем  среднюю относительную ошибку аппроксимации

=    = 5,15

Следовательно точность модели удовлетворительная, так как погрешность находится  между 5 – 15 %.

Модель нуждается  в совершенствовании, прогноз строится формально.

6. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности p=70%).

Для линейной модели:

Построение  точечного и интервального прогнозов. Если в ходе проверки разрабатываемая модель признана достаточно надежной, на её основе разрабатывается точечный прогноз. Он получается путем подстановки в модель значений времени t, соответствующих периоду упреждения k : t = n + k. Так, с в случае трендовой модели в виде полинома первой степени – линейной модели роста  - экстраполяция на k шагов вперед имеет вид:

= 40,6 + 3,97*(9 + 2) = 47,67

Для учета случайных  колебаний при прогнозировании  рассчитываются доверительные интервалы, зависящие от стандартной ошибки , горизонта прогнозирования k, длины временного ряда n и уровня значимости прогноза а. Будущие значения Y_n+k c вероятностью (1 - а) попадут в интервал.

Рассчитаем  доверительный интервал прогноза

Р = 70% значит что a = 1 – 0,7 = 0,3 – уровень значимости.

t,an S_{Y =   = 1.2*0.99* = 1.45,}

здесь табличные  значения статистики Стьюдента при  уровне значимости = 0,3, число степеней свободы = 7, составляет t = 1,12, среднеквадратическое число остатков = 0,99

 

Y₁₁ Є [47.67 – 1.45; 47,67 + 1,45]

Y₁₁ Є [46,24; 49,13]

Вывод: данный прогноз  выполнен формально, модель неадекватна  и нуждается в совершенствовании.

Пункт 6 для модели Брауна:

Построим точечный прогноз. Для прогнозирования используется модель, полученная на последнем шаге (при t = N). Прогнозные оценки по модели (5.3.1) получаются путем подстановки в нее значения k = 1, 2;  а интервальные - по тем же формулам, что и для кривых роста

 

Y_p (10) = 39,81 + 3,98*1 = 43,79

Y_p (11) = 39,81 + 3,98*2 = 47,77

Рассчитаем  интервал прогноза: ( a = 0,3; n = 7)

U (2) t,an S_{Y =} = 1,119*1,51*   = 2,204

K = 2 (t = 11)

Нижняя граница: 47,77 - 1,51 = 45,57

Верхняя граница: 47,77 + 1,51 = 49,98

время	факт	а0	а1	расчет	отклонение
		201,50	29,90
1	238	237,74	34,12	231,40	6,600
2	249	249,91	19,49	271,86	-22,860
3	287	286,30	30,75	269,41	17,592
4	340	339,08	45,44	317,05	22,951
5	342	343,70	18,23	384,52	-42,523
6	373	372,56	25,31	361,93	11,073
7	360	361,51	1,08	397,87	-37,870
8	380	379,30	12,22	362,59	17,409
9	403	402,54	19,56	391,52	11,478
10	419,1	419,22	17,64	422,10	-3,005
11	451	450,43	26,69	436,86	14,139
12	460	460,68	15,73	477,12	-17,124
13	379,8	383,66	-46,10	476,42	-96,615
14	410,7	407,77	0,71	337,56	73,139
15				408,48

 

7. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Отобразим графически наблюдаемые данные , модельные данные и прогноз.