Экономико-математические методы. Линейное программирование

 

Задача №3

На территории города действуют 3 склада продуктов общественного  питания. Потребность в сырье  каждого предприятия: Q_A = 4000кг; Q_B = 3200кг; Q_C = 2800кг. Итого: = 10000кг.

Спрос на продукты общественного  питания в торговых центрах города составляет: q₁ = 3000кг; q₂ = 4300кг; q₃ = 2700кг. Итого: = 10000кг.

Таблица – Средняя цена доставки за 1 кг от каждого склада к  каждому торговому центру

	1	2	3
А	2	1	3
В	4	1	2
С	3	4	1

Найти вариант, при котором  суммарные затраты будут минимальным.

x_ij – количество продукции сырья, предоставленных i-ым складом j-му торговому центру.

Решение задачи:

Построение ЭММ:

x_A1 + x_A2 + x_A3 = 4000;

x_B1 + x_B2 + x_B3 = 3200;

x_C1 + x_C2 + x_C3 = 2800.

x_A1 + x_B1 + x_C1 = 3000;

x_A2 + x_B2 + x_C2 = 4300;

x_A3 + x_B3 + x_C3 = 2700.

z = 2x_A1 + x_A2 + 3x_A3 + 4x_B1 + x_B2 + 2x_B3 + 3x_C1 + 4x_C2 + x_C3 min.

Таблица 1.

Склады	1	2	3	Qi
A	3000	1000	-	4000
B	-	200	-	3200
C	-	100	2700	2800
qj	3000	4300	2700	10000

 

B1: 4 – 2 + 1 – 1 = 2;

C1: 3 –  2 + 1 – 4 = -2;

A3: 3 – 1 + 4 – 1 = 5;

B3: 2 – 1 + 4 – 1 = 4.

План не оптимален, необходимо пересчитать таблицу.

min = (3000; 100) = 100.

z₁ = 2*3000 + 1000 + 3200 + 4*100 + 2700 = 13300 руб.

Таблица 2.

Склады	1	2	3	Qi
A	2900	1100	-	4000
B	-	3200	-	3200
C	100	-	2700	2800
qj	3000	4300	2700	10000

 

A3: 3 – 1 + 3 – 2 = 3;

B1: 4 – 2 +1 – 1 = 2;

B3: 2 – 1 + 3 – 2 + 1 – 1 = 2;

C2: 4 – 3 + 2 – 1 = 2.

Данный план является оптимальным.

z₂ = 2*2900 + 1100 + 3200 + 3*100 + 2800 = 13100 руб.

Ответ: 13100 руб.

Заключение

        Временем  рождения линейного программирования  принято считать 1939г., когда была  напечатана брошюра Леонида Витальевича  Канторовича "Математические  методы организации и планирования  производства". Американский математик  А. Данциг в 1947 году разработал  весьма эффективный конкретный  метод численного решения задач  линейного программирования.

       Математическая экономика изучает свойства экономической динамики и равновесия с помощью математических моделей этих феноменов и точного исследования моделей. При этом получены условия положительного экономического роста и условия равновесия экономики при различных предположениях о природе производства. и распределения продуктов, о механизме рынка и установления цен, ренты и других экономических величин.

Классические модели математической экономики таковы:

• модель оптимального использования ограниченных ресурсов в технологических способах. Это модель оптимального выбора;
• модель Леонтьева — модель межотраслевого баланса — как в статической, так и в динамической формах. Это модель прямых, косвенных и полных взаимосвязей подразделений экономики;
• теоретико-игровые модели;
• модель фон Неймана о росте капитала и натурального производства, об образовании ценностей товаров и о вычислении объективно обоснованной ренты;
• модели технологических множеств и теоремы о магистралях как образцовых траекториях экономического развития;
• модели равновесия: Вальраса, Эрроу, Дебре и других;
• модели обмена, в том числе международного;
• модели согласования предпочтений экономических субъектов;
• модели прямого и расширенного воспроизводства национальной экономики;

В настоящее время интенсивно развиваются модели финансовой и  актуарной математики, которые включают в себя в качестве блоков математическую статистику и распознавание образов.

Модели исследования операций являются граничащими с математической экономикой моделями, они дополняют  теоретические исследования и позволяют  строить и исследовать более  практические модели — такие, например, как модели управления запасами, модели календарного планирования и другие.