Экономико-математические методы и иодели

 

Выполняем преобразования симплексной таблицы по прежнему методу.

 

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x3	1/5	2	4/5	1	0	0	-1/5
x5	2/5	9	33/5	0	0	1	-12/5
x4	4/5	12	1/5	0	1	0	-14/5
F(X1)	-1/5	-1	1/5	0	0	0	1/5

 

В базисном столбце все  элементы положительные. Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

 

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной  строке находятся отрицательные  коэффициенты.

В качестве ведущего выберем  столбец, соответствующий переменной x₁, так как это наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i1   и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 2-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент  равен (9) и находится на пересечении  ведущего столбца и ведущей строки.

 

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	min
x3	1/5	2	4/5	1	0	0	-1/5	1/10
x5	2/5	9	33/5	0	0	1	-12/5	2/45
x4	4/5	12	1/5	0	1	0	-14/5	1/15
F(X1)	-1/5	-1	1/5	0	0	0	1/5	0

 

Получаем новую симплекс-таблицу:

 

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x3	1/9	0	0	1	0	-2/9	1/9
x1	2/45	1	2/5	0	0	1/9	-7/45
x4	4/15	0	-43/5	0	1	-11/3	1/15
F(X1)	-7/45	0	3/5	0	0	1/9	2/45

Конец итераций: индексная  строка не содержит отрицательных элементов - найден оптимальный план

Окончательный вариант  симплекс-таблицы:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x3	1/9	0	0	1	0	-2/9	1/9
x1	2/45	1	2/5	0	0	1/9	-7/45
x4	4/15	0	-43/5	0	1	-11/3	1/15
F(X2)	-7/45	0	3/5	0	0	1/9	2/45

Оптимальный план можно  записать так:

x3 = 1/9

x1 = 2/45

x4 = 4/15

F(X) = 1•1/9 + 1•2/45 = 7/45

 

Цена игры будет равна g = 1/F(x), а вероятности применения стратегий игроков:

p_i = g*x_i; q_i = g*y_i.

 

Цена игры: g = 1 : ⁷/₄₅ = 6³/₇

p₁ = 6³/₇ • 0 = 0

p₂ = 6³/₇ • ¹/₉ = ⁵/₇

p₃ = 6³/₇ • ²/₄₅ = ²/₇

Оптимальная смешанная  стратегия игрока I:

P = (0; ⁵/₇; ²/₇)

 

q₁ = 6³/₇ • ²/₄₅ = ²/₇

q₂ = 6³/₇ • 0 = 0

q₃ = 6³/₇ • ¹/₉ = ⁵/₇

Оптимальная смешанная  стратегия игрока II:

Q = (²/₇; 0; ⁵/₇)

Цена игры: v=6³/₇

 

Ответ: Цена игры: g = 6³/_7,  v=6³/_7.   Оптимальная смешанная стратегия игрока I: P = (0; ⁵/₇; ²/₇),

     II: Q = (²/₇; 0; ⁵/₇).

 

 

Задание № 4

Выполнить возможные  упрощения следующей платёжной  матрицы и найти решение игры, используя графический метод решения задач линейного программирования:

Решение

Проверяем, имеет ли платежная  матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.

Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.

Игроки	B1	B2	B3	B4	a = min(Ai)
A1	3	1	5	4	1
A2	6	6	2	0	0
A3	4	2	7	6	2
A4	5	3	5	5	3
b = max(Bi)	6	6	7	6

 

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 3, которая указывает на максимальную чистую стратегию A4.

Верхняя цена игры b = min(bj) = 6.

Что свидетельствует  об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в  пределах 3 <= y <= 6. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии)

 

При исходных данных задача графически решаеться  не может.

 

 

Задание № 5

Задан МОБ в натуральном  выражении

1.Найти матрицы  коэффициентов  прямых и полных  производственных затрат. Раскрыть  экономический смысл коэффициентов.
2. Рассчитать  равновесный валовый выпуск при  увеличении спроса на продукцию  2-ой отрасли на 15%
3. Выясните, каким  должен быть равновесный конечный  спрос при увеличении валового  выпуска продукции только первой  отраслью на 10%.
4. Найти величину добавленной стоимости на единицу продукции в каждой отрасли
5. Рассчитать  факторную стоимость единицы  продукции в каждой отрасли
6. Записать баланс  в стоимостном выражении
7. Проверить  основные балансовые равенства
8. Записать матрицы  коэффициентов  прямых и полных производственных затрат в стоимостном выражении
9. Рассчитать  равновесный валовый выпуск при  увеличении спроса на продукцию  2-й отрасли на 15% (в стоимостном  выражении). Сравнить последний результат  с 15%-ным увеличением спроса  в натуральном выражении
МОБ в натуральном  выражении
МОБ в натуральном  выражении
МОБ в натуральном  выражении
Отрасли	1	2	3	Спрос	единицы  измерения
1	149	154	87	604	л
2	88	163	140	123	кг
3	165	60	118	635	т
ЗП	1100	6610	910		у.е.
Прибыль	227	249	127		у.е.
Амортиз	220	280	120		у.е.
Доб стоим	1547	7139	1157		у.е.

 

Решение

1. Найдем матрицы коэффициентов  прямых и полных производственных затрат. Раскрыть экономический смысл коэффициентов.

Обозначим через  матрицу промежуточного потребления, состоящую из первых столбцов нашей  таблицы, – столбец конечного использования, – столбец валового выпуска. Тогда:

 – валовой выпуск в  -й отрасли;

 – объем конечного потребления  в  -й отрасли;

 – объем продукции  -й отрасли, использованной в -й отрасли.

		Потребители (промежуточное потребление)					Конечный спрос	Валовый объем
			…		…
			…		…
	…	…	…	…	…	…	…	…
			…		…
	…	…	…	…	…	…	…	…
			…		…

 

- равная объему продукции  -й отрасли, который используется в -й отрасли для производства единицы продукции, не зависит от объема производства , а обусловлен технологическими особенностями. Другими словами, промежуточное потребление в -й отрасли линейно зависит от валового выпуска в этой отрасли: