Экономико математические методы моделирования

   В последней  строке Z нет отрицательных коэффициентов, и в соответствии с критерием оптимальности, мы достигли точки max.

 

  То есть Z_max достигается при X₁=12, X₂=18 и Z_max=1080.

 

Симметричная двойственная задача линейного программирования (ДЗЛП):

                      

при ограничениях:

                  12y₁+4y₂+3y₃+y₄   ³ 30

                  4y₁+4y₂+12y₃-y₄   ³ 40                 (2)

                    y₁³0,y₂³0,y₃³0,y₄³0

 

Соответствие между переменными, при котором базисным переменным одной задачи отвечают свободные  переменные другой задачи:

 

 

    По основной  теореме двойственности, задача (2) имеет решение и            S_min= =Z_max=1080. С учетом   и второй теоремы двойственности оптимальное решение задачи (2) находится из условия:

 

                     12∙ (12y₁+4y₂+3y₃+y₄ - 30) = 0

                      18∙ (4y₁+4y₂+12y₃-y₄ - 40) = 0

                     y₁∙ (12∙12+4∙18-300) = 0                 ó

                     y₂∙ (4∙12+ 4∙18 -120) = 0

                      y₃∙ (3∙12+ 12∙18-252) = 0

                      y₄∙ (12-18-0)=0

 

   Решение можно  найти также на основании правила  соответствия между переменными  с учетом последней симплексной  таблицы:  и в последней строке (выделено жирным) имеем: .

  Таким образом,  и S_min= 1080 – решение ДЗЛП.

 

Вывод: Оптимально производить 12 единиц изделий вида А и 18 единиц изделия вида В. Тогда прибыль максимальна и составит Z_max=1080 ден.ед.

 

 

 

 

3. Задача 7.2 на тему «модели динамического программирования»

Планируется деятельность двух отраслей производства на n лет. Начальные ресурсы =10000 у.е. Средства х, вложенные в I отрасль в начале года, дают в конце года прибыль и возвращаются в размере <x; аналогично для II отрасли функция прибыли равна , а возврата - , причем <х. В конце года все возвращенные средства заново перераспределяются между I и II отраслями, новые средства не поступают, прибыль в производство не вкладывается.

Требуется распределить имеющиеся средства между двумя отраслями производства на четыре года так, чтобы суммарная прибыль от обеих отраслей за это время оказалась максимальной.

Необходимо: 1). Построить  модель динамического программирования для этой задачи и вычислительную схему; 2). Решить задачу при условии, что  =0,6х, =0,5х, =0,7х, =0,8х, n=4.

 

Решение:

 

   Управление  – выделение средств каждой  из двух отраслей в очередном  году. Решения принимаются в начале  каждого из 4-х лет. Вся процедура  делится на шаги: номер шага – номер года. Параметры состояния к началу k-ого года - ( ) – количество средств, подлежащих распределению. Переменных управления на каждом шаге две:

  - количество средств, выделенных 1-ой отрасли;

  - количество средств, выделенных 2-ой отрасли.

Так как все  средств распределяется, то , откуда .

Таким образом, управление на k-ом шаге зависит от одной переменной , то есть .

Уравнения состояний  выражают остаток средств, возвращенных в конце k-ого года.

Показатель  эффективности k-ого шага – прибыль, полученная в конце k-ого года от обеих отраслей:  .

Суммарный показатель эффективности – прибыль за 4 года:

.

Обозначим - условная оптимальная прибыль за лет, начиная с k-ого года 4-ого года включительно, при улови, что имеющиеся на начало k-ого года средства в дальнейшем распределялись оптимально. Тогда оптимальная прибыль за 4 года составит .

Уравнения Беллмана:

 

 

    ( )

 

в нашем случае примут вид:

 

 

    ( )

 

Проведем условную оптимизацию.

 

4 шаг. Функция - линейная, возрастающая и максимум достигается на конце интервала и, следовательно,   при .

 

 

3 шаг: . Так как , то

.

Функция - линейная, возрастающая и максимум достигается на конце интервала и, следовательно,   при .

 

 

2 шаг: . Так как , то

.

Функция - линейная, убывающая и максимум достигается при : при .

 

 

 

 

1 шаг: . Так как , то

.

Функция - линейная, убывающая и максимум достигается при : при .

 

Условная оптимизация  закончена. Получили: .

Распределение средств по годам:

1. .

2. .

3. .

4. .

 

Вывод: Оптимальная прибыль за 4 года, полученная от 2 отраслей составит 15528 у.е. при вложенных 10000  у.е. Распределение средств по годам для 1 отрасли – 0,0,6400,4480, для 2 отрасли – 10000,8000,0,0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Задача 10.2 на тему «модели управления запасами»

 

Кондитерское предприятие  торгует вразвес своими тортами. Каждый килограмм торта приносит 2 ден. ед. прибыли. Все торты можно продать на следующий день со скидкой 0,2 ден.ед. На основании опыта получено распределение спроса на торты, представленное в таблице, где r- спрос, а p(r) – статистическая вероятность. Найти оптимальную дневную выработку тортов.

 

r	0	1	2	3	4	5	6
p(r)	0,1	0,2	0,2	0,3	0,1	0,1	0,0

 

 

 

Решение:

 

       В  большинстве задач с запасами участвуют различные случайные величины: спрос со стороны клиентов, сроки доставки товара поставщиками. В то же время вводятся издержки хранения. Товарам не дают залежаться: их пытаются распродать; наконец такая задача может быть объектом математического рассмотрения лишь тогда, когда определены издержки от нехватки (товарного голода), т. е. объективно - сумма денег, убыток, проистекающий из-за неудовлетворенного спроса (эта оценка часто бывает очень субъективной).

Учесть все элементы одновременно достаточно трудно, поэтому решим задачу определения спроса на предметов с вероятностью , зададим издержки хранения и нехватки , относящиеся к товару данного вида. Допустим, что за промежуток времени , в течение которого запас совершает эволюцию, его изменения подчинены линейному закону. Тогда запаса было либо достаточно, чтобы удовлетворить спрос , и к концу периода мы будем иметь остаток , либо запас был недостаточен, и образуется нехватка .

 В первом случае  средний запас равен:  .

  Во втором случае  весь запас будет потрачен  за период времени  , причем в силу линейности изменения запаса имеем . За период времени средний запас составит , а за весь период времени средний запас составит . Во втором случае нехватка товара имеет место в течение времени , причем и ее средний уровень равен .  Тогда за весь период средняя нехватка составит .

 Если спрос  имеет распределение вероятностей , то до тех пор, пока , издержки хранения будут равны:  .

Если спрос  , то издержки хранения будут равны:  и к ним добавятся издержки от нехватки: .

Считая, что спрос не ограничен, суммируя по , найдем общие издержки:

                       

Если существует такая  величина запаса , что и , то и будет оптимальным количеством запаса, на котором следует остановиться. Установлено, что издержки минимальны при величине запаса , когда , где , а .

  В нашем случае  издержки за хранение составляют  ден.ед. – фактически это потери при продаже на следующий день. Издержки от нехватки ден.ед. -  фактически это потерянная прибыль.

Для определения оптимального запаса составим расчетную таблицу:

 

0	0	0,1	-	-	-	0,0	-
1	1	0,2	0,200	0,445	0,2225	0,1	0,3225
2	2	0,2	0,100	0,245	0,3675	0,3	0,6675
3	3	0,3	0,100	0,145	0,3625	0,5	0,8625
4	4	0,1	0,025	0,045	0,1575	0,8	0,9575
5	5	0,1	0,020	0,020	0,0900	0,9	0,9900
≥6	≥6	0	0,000	0,000	0,0000	1,0	1,0000

 

С учетом того, что  , видим, что , так как

, то есть .

 

Вывод: Оптимальная дневная выработка тортов - 3 штуки.

 

 

 

5. Список использованных источников

 

1. Шапкин А.С., Мазаева Н.П. Математические методы и модели исследования операций: Учебник. – 3-е изд. – М.: ИТК «Дашков и К^о», 2006. – 400 с.
2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных  Ю.Н. Математические методы в экономике. - М.: ДИС. 1997.
3. Исследование операций в экономике / Под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.
4. Акулич И.А. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.:  Высш. школа, 1993. – 336 с.
5. Солодовников А.С. «Введение в линейную алгебру и линейное программирование» Москва, «Просвещение», 1996 г.