Характеристика математических моделей

 
Оглавление

• Введение

1. Применение математических методов  в медицине

2. Характеристика математических  моделей

• 2.1 Значение математических моделей
• 2.2 Математические модели в медицине
• Заключение
• Список литературы

Введение

Несколько лет назад разговоры  о возможности проложить математическую тропинку через густые дебри экологических  факторов часто заканчивались довольно скептическим покачиванием головой  и утверждением, что "медицина - это  все-таки искусство". Отчасти это, конечно, верно в том смысле, что  интуиция и воображение для врача  действительно необходимы. В то же время большинство больных и потенциальных больных, несомненно, надеются на непрерывное развитие и расширение научных аспектов медицины. А наука означает применение математики.

Хорошо известно, что один из подходов к описанию картины природы - это построение иерархии уровней организации, изучаемых различными науками; по уровню абстракции, свойственному каждой из них, эти науки можно расположить в такой последовательности: физика, химия, биохимия, физиология, психология, социология. Мы начинаем с основных материальных элементов реального мира, т. е. с субатомного уровня, и заканчиваем необычайно разносторонними проявлениями духовной жизни человеческого общества. В этой последовательности уровней организация и сложность непрерывно повышаются. На каждом уровне действуют свои собственные законы, и поэтому их можно изучать до некоторой степени независимо друг от друга. Однако любой из них нерасторжимо связан с закономерностями, действующими на более низких уровнях. Так, законы физики и химии отчасти распространяются и на психологию, хотя понятия и законы последней выходят за пределы физических и химических законов.

Цель данной реферативной работы - рассмотреть, как математика используется в медицине.

В рамках поставленной цели были поставлены следующие задачи:

1. рассмотреть как математические методы применяются в медицине;

2. изучить значение математических  моделей в медицине.

1. Применение математических методов в медицине

Проблемы, касающиеся организации  и деятельности больниц, следует  отнести к более высокому уровню абстракции, чем, скажем, физиологию и  патологию человека. Но хотя в определенной степени логическое содержание этого более высокого уровня независимо от более низкого, вопросы физиологии и патологии неизбежно должны учитываться при решении любой проблемы, касающейся организации больничных служб. Мы не собираемся углубляться здесь в эти философские рассуждения или обсуждать отдельные их детали, а хотим лишь подчеркнуть, что описанная последовательность уровней приближенно соответствует порядку возрастания трудностей при использовании научных методов и проведении математических исследований.

Как мы уже отмечали, прикладная математика добилась крупных и бесспорных успехов  в области физики и химии, однако в данной работе мы не будем касаться этих вопросов. Математические описания, связанные с биологическими формами, охватывают широкий круг вопросов и  могут быть проведены достаточно точно. Изложение этих вопросов требовало  достаточной степени абстракции, однако именно использование упрощающих допущений позволило нам получить некоторое представление о законах, регулирующих рост популяций.

При переходе на более высокие уровни абстракции мы сталкиваемся не только с более сложными вопросами, но и  с возрастающей степенью изменчивости, по большей части непредсказуемой. Например, полная картина конкуренции  между несколькими видами, обитающими в определенной среде, включает огромное множество факторов. В области  научных экологических описаний, выполненных главным образом  в словесной форме, достигнуты значительные успехи, однако разработка математических моделей находится здесь еще  на самом элементарном уровне. Другим примером может служить область  медицинской диагностики. Для постановки диагноза врач совместно с другими  специалистами часто бывает вынужден учитывать самые разнообразные  факты, опираясь отчасти на свой личный опыт, а отчасти на материалы, приводимые в многочисленных медицинских руководствах и журналах Бесчастный А.А., Немцов А.В.// Журнал невропатологии и психиатрии - 2000. №3. - 14с..

Именно в такого рода ситуациях, когда разум одного человека не способен справиться со сложностями стоящих  перед ним задач и описать  их решение даже в общей словесной  форме, специалисты в области  так называемых неточных наук (включая, разумеется, биологию и медицину) часто  утверждают, что математический анализ несовершенен, неуместен, приводит к  ошибочным заключениям или невозможен, и поэтому его лучше избегать. Это возражение содержит рациональное зерно в том смысле, что современная математика, возможно, еще недостаточно совершенна; однако пройдет время, и мы увидим, что справедливо как раз обратное.

В тех случаях, когда задача содержит большое число существенных взаимозависимых  факторов, каждый из которых в значительной мере подвержен естественной изменчивости, только с помощью правильно выбранного статистического метода можно точно  описать, объяснить и углубленно исследовать всю совокупность взаимосвязанных  результатов измерений. Если число  факторов или важных результатов  настолько велико, что человеческий разум не в состоянии их обработать даже при введении некоторых статистических упрощений, то обработка данных может  быть произведена на электронной  вычислительной машине.

Основная причина недоверия  к математическим и вычислительным методам, по-видимому, состоит в следующем. Математическая модель некоторого биологического явления будет приемлемой для  биолога только в том случае, если выраженная в словесной форме  информация об этом явлении, которой  он располагает, достаточно полна для  того, чтобы можно было судить об адекватности модели. Ясно, что получение  такой информации представляет собой  первый и наиболее важный этап биологического исследования и что на этом этапе  математика играет второстепенную роль. Естественно, возникает мысль, что  по мере того, как вопросы становятся более трудными и сложными, математика приобретает все меньшее и  меньшее значение. Однако не всегда учитывается то обстоятельство, что, достигнув достаточной степени  сложности, математика развивается  далее по своим собственным законам  и дает биологу понятия и образ  мышления, которых у него раньше не было.

До сих пор мы имели в виду главным образом те биологические  и медицинские исследования, которые  требуют более высокого уровня абстракции, чем физика и химия, но тесно связаны  с этими последними. Далее мы перейдем к проблемам, связанным с поведением животных и психологией человека, т. е. к использованию прикладных наук для достижения некоторых более  общих целей. Эту область довольно расплывчато называют исследованием  операций. Пока мы лишь отметим, что  речь будет идти о применении научных  методов при решении административных и организационных задач, особенно тех, которые непосредственно или  косвенно связаны с биологией  и медициной. Лесоводство, животноводство, общие вопросы сельскохозяйственного  производства, проектирование больниц  и организация медицинского обслуживания - таковы лишь немногие вопросы, относящиеся  к этой категории Будилова Е.В., Дрогалина Ж.А., Терехин А.Т.//Журнал общей биологии - 2005.-№2, 179-189с..

Например, в медицине часто возникают  сложные проблемы, связанные с  применением лекарственных препаратов, которые еще находятся на стадии испытания. Морально врач обязан предложить своему больному наилучший из существующих препаратов, но фактически он не может  сделать выбор, пока испытание не будет закончено. В этих случаях  применение правильно спланированных последовательностных статистических испытаний позволяет сократить время, требуемое для получения окончательных результатов. Этические проблемы при этом не снимаются, однако такой математический подход несколько облегчает их решение.

2. Характеристика математических  моделей

2.1 Значение математических  моделей

Любая разумная научная гипотеза имеет  хотя бы некоторые количественные аспекты, однако в данной работе нас больше интересуют такие математические описания, которые достаточно детальны, чтобы  заслуживать названия математической модели. Но такая модель имеет в  точности такой же логический статус, что и любая гипотеза с гораздо меньшим количественным содержанием. Это означает, что математическая модель дает частичное описание определенных аспектов реальной действительности и ее справедливость целиком зависит от точности этого изображения Любищев А.А.//Журнал общей биологии. 2003. - 184с..

Учитывая крайнюю сложность  большинства биологических систем, нетрудно понять, что в биологии простые и легко поддающиеся  исследованию математические модели представляют собой чрезвычайно грубые приближения. И, что еще хуже, математики могут  с энтузиазмом приняться за глубокую теоретическую разработку моделей, неадекватность которых известна заранее, только потому, что это не составляет большого труда (во всяком случае, для  них). Может также случиться, что  математическому анализу будет  подвергнута вполне правдоподобная модель, но она не удовлетворит требованиям  научного метода, поскольку нельзя найти способа проверить полученные результаты. Значительная часть математической биологии не защищена от такого рода возражений, которые, если придавать им слишком большое значение, могут причинить большой вред. Биологи и врачи совершенно справедливо с подозрением относятся к любой работе, которая представляет собой лишь клубок математических абстракций и не вписывается в непрерывный процесс развития науки.

2.2 Математические модели  в медицине

По нашему мнению, математическая модель, если ее правильно понимать и правильно применять, имеет  точно такой же логический статус, как и любая другая научная  гипотеза, и поэтому при обращении  с ней и проверке ее справедливости необходимо исходить из тех же критериев. Именно потому, что модель формулирует  задачу, так сказать, в "очищенном" виде, значительно легче почувствовать  трудности этой задачи. С этими  трудностями можно частично справиться путем отыскания лучших способов исследования моделей, достаточно сложных  для близкого соответствия с реальными  процессами (примером может служить  моделирование сложных случайных  процессов на вычислительной машине). Однако это еще не все простые  модели, отражающие лишь немногие свойства реального процесса, важны тем, что  они дают общее представление  о процессе, тогда как для достижения статистического соответствия с  фактическими данными необходимы более  сложные модели. Это противоречие между требованиями, которым должны удовлетворять модели, дающие общее  представление о процессе, и модели, дающие реальное его изображение, имеет  существенно важное значение в математической биологии, и необходимо в полной мере отдавать себе отчет в связанных с ним трудностях.

Допустим, что мы построили вначале  детерминистскую модель. Тогда перед  нами встает вопрос: к каким последствиям приведет включение в нее вероятностных элементов, т. е. рассмотрение соответствующих распределений? Окажет ли это существенное влияние на результаты? Какие новые общие свойства будет иметь стохастическая модель по сравнению с детерминистской моделью? И так далее. Все это должно дать более глубокое представление об исследуемом процессе. Возможно, мы придем к заключению, что одни его аспекты необходимо рассматривать, а другими можно пренебречь. Например, при изучении мутаций у бактерий необходимо выбрать вероятностный подход при рассмотрении небольших групп мутантов, так как здесь наблюдаются большие статистические колебания, но основная популяция, состоящая из клеток дикого типа, во многих случаях достаточно велика, и в качестве первого приближения вполне приемлем детерминистский подход.

Простейшее исследование повторяющихся  эпидемий вероятностными методами показывает, что такого рода математическое описание позволяет в общих чертах объяснить  важное свойство таких эпидемий - периодическое  возникновение вспышек примерно одинаковой интенсивности, тогда как  детерминистская модель дает ряд  затухающих колебаний, что не согласуется  с наблюдаемыми явлениями Немцов А.В., Зорин Н.А.// Социальная и клиническая психиатрия . -2006.- № 6. -70с. . При желании разработать более детальные, реалистические модели мутаций у бактерий или повторяющихся эпидемий эта информация, полученная с помощью предварительных упрощенных моделей, будет иметь очень большую ценность. В конечном счете, успех всего направления научных исследований определяется возможностями моделей, построенных для объяснения и предсказания реальных наблюдений Леонов В.П., Ижевский П.В.// Международный журнал медицинской практики. - 2005. - № 4, 7-13с..

Одно из больших преимуществ правильно построенной математической модели состоит в том, что она дает довольно точное описание структуры исследуемого процесса. С одной стороны, это позволяет осуществлять ее практическую проверку с помощью соответствующих физических, химических или биологических экспериментов. С другой стороны, математический анализ расширяет наши теоретические знания. Если основные уравнения можно решить аналитическим путем, то, подставляя в них различные значения рассматриваемых параметров, мы автоматически получаем решение всех возможных вариантов задачи.

По возможности нужно применять  чисто математические методы исследования модели, так как это позволяет  наиболее полно использовать мощные аналитические возможности. К сожалению, во многих случаях получить решение  основных уравнений аналитическими методами не удается и необходимо обращаться к численным решениям. Численный анализ, который рассматривается  далее, полон ловушек, подстерегающих неосторожного исследователя. Однако при соблюдении достаточной осторожности численные решения часто дают значительный объем полезной информации о свойствах модели. По мере усложнения моделей и приближения их к  реальным процессам уменьшается  возможность получения лаконичных изящных решений в явном виде, и все более возрастает необходимость  обращаться к тем или иным формам численных решений.

Может оказаться, что полученные дифференциальные уравнения движения для некоторого сложного биологического процесса (это  могут быть дифференциальные уравнения  в частных производных высокого порядка) не только неразрешимы аналитически, но и не поддаются решению существующими  методами численного анализа. В этом случае наиболее целесообразно применение физического моделирования. Как  и типичные методы численного анализа, физическое моделирование обладает тем недостатком, что оно не позволяет  получить аналитические выражения  для рассматриваемого процесса. Однако этот недостаток компенсируется такими преимуществами, как простота и гибкость метода и возможность избежать сложных  численных расчетов, полагаясь на статистические свойства достаточно большого числа повторных вычислений.