Динамические модели

Динамические модели

 

7.1 Временные  ряды. Лаги в экономических моделях

 

При анализе многих экономических показателей (особенно в макроэкономике) часто используются ежегодные, ежеквартальные, ежемесячные, ежедневные данные. Для рационального анализа необходимо систематизировать моменты получения соответствующих статистических данных.

В этом случае следует упорядочить данные по времени их получения и построить так называемые временные ряды.

Пусть исследуется показатель Его значение в текущий момент (период) времени обозначают ; значения в последующие моменты обозначаются ; значения в предыдущие моменты времени обозначаются .

Нетрудно понять, что при изучении зависимостей между такими показателями либо при анализе их развития во времени в качестве объясняющих переменных используются не только текущие значения переменных, но и некоторые предыдущие по времени значения, а также само время Модели такого типа называются динамическими.

В свою очередь переменные, влияние которых характеризуется определенным запаздыванием, называются лаговыми переменными.

Обычно динамические модели подразделяются на два класса:

1. модели с лагами (модели с распределенными лагами) – содержат в качестве лаговых переменных лишь независимые (объясняющие) переменные. Примером является модель:

                 (7.1)

2. авторегрессионные модели – модели, уравнения которых в качестве лаговых объясняющих переменных включают значения зависимых переменных.

                                 (7.2)

Во многих случаях воздействие одних экономических факторов на другие осуществляется не мгновенно, а с некоторым временным запаздыванием – лагом. Причин наличия лагов в экономике достаточно много, среди них можно выделить следующие:

• психологические причины – обычно выражаются через инерцию в поведении людей. Например, люди тратят свой доход не мгновенно, а постепенно. Привычка к определенному образу жизни приводит к тому, что люди приобретают те же блага в течение некоторого времени даже после падения реального дохода;
• технологические причины. Например, изобретение персональных компьютеров не привело к мгновенному вытеснению ими больших ЭВМ в силу необходимости замены соответствующего программного обеспечения, которое потребовало продолжительного времени;
• институциональные причины. Например, контракты между фирмами требуют определенного постоянства в течение времени контракта;
• механизмы формирования экономических показателей. Например, инфляция во многом является инерционным процессом.

 

7.2 Оценка моделей с лагами в  независимых               переменных

 

Оценка модели с распределенными лагами во многом зависит от того, конечное или бесконечное число лагов она содержит.

(конечное  число лагов).

(бесконечное  число лагов).                                          (7.3)

В обеих этих моделях коэффициент называется краткосрочным мультипликатором. Он характеризует изменение среднего значения под воздействием единичного изменения переменной в тот же самый момент времени.

Сумма всех коэффициентов называется долгосрочным мультипликатором. Он характеризует изменение под воздействием единичного изменения переменной в каждом из рассматриваемых временных периодов.

Любую сумму коэффициентов называют промежуточным мультипликатором.

Модель с конечным числом лагов (7.1) оценивается достаточно просто сведением ее к уравнению множественной регрессии. При этом , , , и получают уравнение:

                   (7.4)

Для оценки моделей с бесконечным числом лагов разработано несколько моделей. Рассмотрим две из них.

 

1. Метод последовательного увеличения  количества лагов

По данному методу уравнение (7.3) рекомендуется оценивать с последовательно увеличивающимся количеством лагов. Признаками завершения процедуры увеличения количества лагов могут являться следующие:

• при добавлении нового лага какой-либо коэффициент регрессии при переменной меняет знак. Тогда в уравнении регрессии оставляют переменные , коэффициенты при которых знак не поменяли;
• при добавлении нового лага коэффициент регрессии при переменной становится статистически незначимым. Очевидно, что в уравнении будут использоваться только переменные , коэффициенты при которых остаются статистически значимыми.

Применение метода последовательного увеличения количества лагов весьма ограничено в силу постоянно уменьшающегося числа степеней свободы, сопровождающегося увеличением стандартных ошибок и ухудшением качества оценок, а также возможности мультиколлинеарности. Кроме того, при неправильном  определении числа лагов возможны ошибки спецификации.

 

2. Метод геометрической прогрессии (метод Койка)

В распределении Койка предполагается, что коэффициенты («веса») при лаговых значениях объясняющей переменной убывают в геометрической прогрессии:

                               (7.5)

где характеризует скорость убывания коэффициентов с увеличением лага (с удалением от момента анализа). Такое предположение достаточно логично, если считать, что влияние прошлых значений объясняющих переменных на текущее значение зависимой переменной будет тем меньше, чем дальше повремени эти показатели имели место.

В данном случае (7.3) преобразуется в:

              (7.6)

Параметры уравнения (7.6) можно определять различными способами.

• Одним из них является перебор значений из интервала (0;1) с произвольным фиксированным шагом (например, 0,01; 0,001 и др.). Для каждого рассчитывается:

              (7.7)

Значение определяется из условия, что при дальнейшем добавлении лаговых значений величина изменения менее любого ранее заданного числа.

Далее оценивается уравнение регрессии:

                                (7.8)

Из всех возможных значений выбирается то, при котором коэффициент детерминации для уравнения (7.8) будет наибольшим. Найденные при этом параметры подставляются в (7.6).

• Более распространенной является схема вычислений на основе преобразования Койка. Для этого определим уравнение (7.6), умноженное на и вычисленное для предыдущего периода времени:

                 (7.9)

Из уравнения (7.6) вычтем уравнение (7.9):

                        (7.10)

где – скользящая средняя между и .

Преобразование по данному методу уравнения (7.3) в уравнение (7.10) называется преобразованием Койка. Таким образом, с помощью данного преобразования уравнение с бесконечным числом лагов сведено к авторегрессионному, для которого требуется определить всего три коэффициента: .

 

7.3 Авторегрессионные модели

 

Рассмотрим два вида авторегрессионных моделей.

 

1. Модель адаптивных ожиданий

Ожидания играют существенную роль в экономической активности, что затрудняет моделирование соответствующих экономических процессов. Особенно серьезна эта проблема на макроэкономическом уровне. Например, при прогнозировании объема инвестиций требуется учитывать не только процентную ставку, но и экономическую политику государства, на основе которой потенциальные инвесторы принимают свои решения.

Одним из направлений решения рассматриваемой задачи является модель адаптивных ожиданий. В данной модели происходит постоянная корректировка ожиданий на основе получаемой информации о реализации исследуемого показателя. Если реальное значение показателя оказалось больше ожидаемого, то ожидаемое в следующем периоде корректируется в сторону увеличения. В противном случае – наоборот. При этом величина корректировки должна быть пропорциональна разности между реальным и ожидаемым значениями.

 В данной  модели в уравнение регрессии  в качестве объясняющей переменной вместо текущего значения вводится ожидаемое значение :

                                 (7.11)

Так как ожидаемые значения не являются фактически существующими, выдвигается предположение, что эти значения связаны следующим соотношением:

                          (7.12)

Модель (7.12) называется моделью адаптивных ожиданий (или моделью обучения на ошибках). Коэффициент называется коэффициентом ожидания. Иногда в модели (7.12) вместо текущего значения используют предыдущее значение :

                        (7.13)

Перепишем соотношение (7.12) в виде:

                               (7.14)

Из (7.14) видно, что ожидаемое значение является взвешенным средним между текущим значением и его ожидаемым значением в предыдущий период с весами и соответственно. Если , то ожидания являются неизменными: . Если , то , что означает мгновенно реализуемые ожидания.

Подставим (7.14) в (7.11), в результате чего получим:

                         (7.15)

Определим по (7.15) значение в предыдущий момент времени, умноженное на :

   (7.16)

Из (7.15) отнимем (7.16):

Так как из (7.14) , то:

                  (7.17)

где .

На практике при оценивании параметров авторегрессионного уравнения (7.17) вначале оценивается параметр , затем коэффициент при , затем свободный член .

Рассмотрим случай, когда зависимая переменная в текущий момент времени связана с ожидаемым в следующий период времени значением (например, зависимость спроса на деньги от ожидаемой процентной ставки), т.е.:

                                  (7.18)

Допустим, что ожидаемое в следующий период времени значение переменной определяется как взвешенное среднее ее реального и ожидаемого значения в текущий период времени (аналогично 7.14):

                                (7.19)

Следовательно, . Отсюда (7.19) примет вид:

Из (7.19) следует, что , и т.д. С учетом этого (7.19) примет вид:

                 (7.20)

Подставив (7.20) в (7.18), получаем:

         (7.21)

Обозначив через и через , получаем соотношение (7.6).

 

2. Модель частичной корректировки

В этой модели в уравнение регрессии в качестве зависимой переменной входит не фактическое значение , а желаемое значение :

                                 (7.22)

Так как гипотетическое значение не является фактически существующим, то относительно него выдвигается предположение частичной корректировки:

,                          (7.23)

по которому фактическое приращение зависимой переменной пропорционально разнице между ее желаемым значением и значением в предыдущий период. Коэффициент  называется коэффициентом корректировки. Уравнение (7.23) преобразуется к виду:

                                (7.24)

Подставив (7.22) в (7.24), получаем модель частичной корректировки:

(7.25)

Очевидно, что, чем больше , тем быстрее идет корректировка. При полная корректировка происходит за один период. При корректировка не происходит вовсе.