Автокорреляция

Задание:

1.                  Определите коэффициент автокорреляции первого порядка и дайте его интерпретацию.

2.                  Постройте линейное уравнение тренда. Дайте интерпретацию параметров.

3.                  С помощью критерия Дарбина-Уотсона сделайте выводы относительно автокорреляции в остатках в рассматриваемом уравнении.

4.                  Дайте интервальный прогноз  ожидаемой численности официально зарегистрированных безработных на 2005 год.

Решение:

Выполним расчёт в таблице. Поместим во второй графе фактические отклонения от тренда , для удобства расчёта обозначим их через Y. В соседней графе поместим эти же отклонения, но, сместив их относительно первой строки, на один год вниз; обозначим их через и рассмотрим в качестве фактора X. Линейный коэффициент корреляции отклонений рассчитаем по формуле:

Используем значения определителей второго порядка для расчёта коэффициента регрессии с1,  который отражает силу связи отклонений и . Получены следующие значения определителей:

,

Отсюда . При этом, коэффициент корреляции отклонений составит:

В данном случае выявлена заметная связь, существенность которой подтверждает сравнение фактического и табличного значений F- критерия: . Следовательно, нулевая гипотеза о случайной природе отклонений может быть принята, отклонения не связаны между собой и являются случайными величинами.

Для выражения абсолютной скорости роста уровня ряда динамики исчисляют абсолютный прирост, который определяется по формуле:

Интенсивность изменения уровней ряда динамики оценивается темпом роста, который вычисляется по формуле:

Для выражения изменения величины абсолютного прироста уровней ряда динамики в относительных величинах определяется темп прироста:

Примерно постоянны цепные абсолютные приросты, поэтому построим линейный тренд.

Расчёт неизвестных параметров уравнения выполним методом наименьших квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений и решая её, относительно неизвестных а0 и а1.

Расчёт определителя системы выполним по формуле:

1210;

  Расчёт определителя свободного члена уравнения выполним по формуле: 64471.

   Расчёт определителя коэффициента регрессии выполним по формуле:

-4356.

Расчёт параметров уравнения регрессии даёт следующие результаты:

;     .

В конечном счёте, получаем теоретическое уравнение регрессии следующего вида:

В уравнении коэффициент регрессии а1 = -3,65 означает, что на следующий год динамика численности официально зарегистрированных безработных в регионе  снизится на 3,6 тыс. чел.

Свободный член уравнения а0 =53,282  оценивает влияние прочих факторов, оказывающих воздействие на динамику численности официально зарегистрированных безработных в регионе.

Критерий Дарбина-Уотсона сделайте выводы относительно автокорреляции в остатках в рассматриваемом уравнении:

То есть в модели есть положительная автокорреляции остатков.

При выполнении прогнозов на 2005 год подставим в уравнение прогнозные значения фактора, 13, что позволяет получить прогнозные значения:

Рассчитаем ошибки прогноза, доверительный интервал прогноза и оценим его точность.

Рассчитаем интегральную ошибку прогноза - , которая формируется как сумма двух ошибок: из ошибки прогноза как результата отклонения прогноза от уравнения регрессии -и ошибки прогноза положения регрессии -. То есть, .

В нашем случае , где k- число факторов в уравнении, которое в данной задаче равно 1.

Ошибка положения регрессии составит:

=

= .

Интегральная ошибка прогноза составит: = .

Предельная ошибка прогноза, которая не будет превышена в 95% возможных реализаций прогноза, составит: = 2,26*6,02 =13,6. Табличное значение t-критерия для уровня значимости α=0,05 и для степеней свободы n-k-1 = 11-1-1=9  составит 2,26.

Это означает, что фактическая реализация прогноза будет находиться в доверительном интервале . Верхняя граница доверительного интервала составит

=6,482+13,6 =20,09.

Нижняя граница доверительного интервала составит: = 6,482 -13,6 = -7,12.

Это означает, что верхняя граница в 2 раза больше нижней границы, то есть точность выполненного прогноза  достаточно велика и его надёжность на уровне 95% оценивается как высокая.

2