Василь Васильович Леонтьев

a_ij = x_ij/x_j, (i,j = 1,2,...,n),

показують витрати продукції i -ї галузі на виробництво одиниці вартості j -й галузі .

Таблиця 1

Галузь	1	2	Кінцевий продукт	Валовий випуск
1	110	190	475	775
2	230	60	170	460

За формулою a_ij = x_ij / x_j знаходимо коефіцієнти прямих витрат :

Таблиця 2

0.14	0.41
0.3	0.13

Коефіцієнт прямих витрат (a_ij ) показує , яку кількість продукції i -ї галузі необхідно , враховуючи тільки прямі витрати , для виробництва одиниці продукції j -ї галузі .

Якщо ввести в розгляд матрицю  коефіцієнтів прямих витрат A = (a_ij ) , вектор -стовпець валової продукції X = ( X _i) і вектор -стовпець кінцевої продукції Y = (Y_i) , то математична модель міжгалузевого балансу прийме вигляд:

X = AX + Y

Ідея збалансованості лежить в основі будь-якого раціонального функціонування господарства . Суть її в тому , що всі витрати повинні компенсуватися доходами господарства . В основі створення балансових моделей лежить балансовий метод - взаємне зіставлення наявних ресурсів і потреб у них .

Міжгалузевий баланс відображає виробництво  і розподіл валового національного  продукту в галузевому розрізі , міжгалузеві  виробничі зв'язки , використання матеріальних і трудових ресурсів , створення  і розподіл національного доходу .

Нехай економіка країни має n галузей  матеріального виробництва. Кожна  галузь випускає деякий продукт , частина  якого споживається іншими галузями (проміжний продукт) , а інша частина - йде на кінцеве споживання і  накопичення ( кінцевий продукт).

Позначимо через X _i ( i = 1 .. n ) валовий продукт i -ї галузі ; х_ij - вартість продукту , виробленого в i -й галузі і спожитого в j -й галузі для виготовлення продукції вартістю Х_j ; Y  _i - кінцевий продукт i -ї галузі .

Критерії продуктивності матриці  А

Існує кілька критеріїв продуктивності матриці А.

1 . Матриця А продуктивна, якщо  максимум сум елементів її  стовпців вбирається одиниці  , причому хоча б для одного  з стовпців сума елементів  строго менше одиниці.

2 . Для того щоб забезпечити  позитивний кінцевий випуск за всіма галузями необхідно і достатньо , щоб виконувалася одна з умов: :

3 . Визначник матриці ( E - A) не  дорівнює нулю , тобто матриця  ( E -A ) має зворотну матрицю ( E - A) -1 .

4 . Найбільше за модулем власне  значення матриці А , тобто  рішення рівняння | λE - A | = 0 строго менше одиниці.

5 . Усі головні мінори матриці  ( E - A ) порядку від 1 до n , додатні.

Матриця A має невід'ємні елементи і задовольняє критерію продуктивності ( при будь-якому j сума елементів  стовпця ∑a_ij ≤ 1.

I. Визначимо матрицю коефіцієнтів повних матеріальних витрат наближено , враховуючи непрямі витрати до 2 -го порядку включно.

а ) Матриця коефіцієнтів непрямих витрат 1- го порядку дорівнює:

 

б) Матриця коефіцієнтів непрямих витрат 2- го порядку дорівнює:

 

Матриця коефіцієнтів повних витрат наближено дорівнює:

 

II . Визначимо матрицю коефіцієнтів  повних витрат точно за допомогою формул звернення невироджених матриць .

Коефіцієнт повних витрат (b_ij) показує , яку кількість продукції i -ї галузі потрібно провести , щоб з урахуванням прямих і непрямих витрат цієї продукції отримати одиницю кінцевої продукції j -ї галузі .

Повні витрати відображають використання ресурсу на всіх етапах виготовлення і дорівнюють сумі прямих і непрямих витрат на всіх попередніх стадіях виробництва продукції .

а ) Знаходимо матрицю ( E -A ) :

 

б) Обчислюємо зворотну матрицю (E-A)^-1:

Запишемо матрицю у вигляді :

 

Головний визначник

∆ = (0.86 • 0.87-(-0.3 • (-0.41))) = 0.62356242186396

Транспонована матриця

 

Обернена матриця

 

 

Знайдемо величини валової продукції  двох галузей

 

Для визначення елементів першого  квадранта матеріального міжгалузевого  балансу скористаємося формулою x_ij = a_ij • X_j.

Складові третього квадранта (умовно -чиста продукція ) знаходяться як різниця між обсягами валової продукції і сумами елементів відповідних стовпців знайденого першого квадранта .

Міжгалузевий баланс складається  з чотирьох квадрантів (таб.3). Перший квадрант відбиває міжгалузеві потоки продукції . Другий характеризує галузеву матеріальну структуру національного доходу .

Третій представляє національний дохід як вартість умовно -чистої продукції (Z_j ) , що дорівнює сумі амортизації (c_j ) , оплати праці (v_j ) і чистого доходу j -ї галузі (m_j ) . Четвертий квадрант показує кінцевий розподіл і використання національного доходу .

Таблиця 3

	1	2	Кінцевий продукт	Валовий продукт
1	110	190	475	775
2	230	60	170	460
Чистий дохід	435	210	645
Валовий дохід	775	460		1235