Управление инвестиционным портфелем

N=2

Тема 1 Рисковые активы

Два рисковых актива имеют следующие характеристики:

– ожидаемая доходность 16%, ожидаемый риск 1% (N/2);

– ожидаемая  доходность 2%, ожидаемый риск 8%.

Определить  риск и доходность портфеля, если доли активов даны в таблице, коэффициент  корреляции равен:

а) 0,9

б) 0,1

в) -0,09.

Построить эффективные множества на одном  графике.

Таблица 1 – Доли ценных бумаг в  портфеле

Х1	Х2
1	0
0,7	0,3
0,4	0,6
0,2	0,8
0	1

 

Решение:

Ожидаемая доходность портфеля определяется как  средневзвешенная ожидаемая доходность входящих в него бумаг, а именно:

                                                      (1)

где - ожидаемая доходность (ex ante return) портфеля за определенный период;

- ожидаемая доходность соответственно  первой, второй и n-й бумаги; она рассчитывается как средняя арифметическая доходности бумаги за предыдущие периоды времени.

Тогда доходность портфелей составит:

1)1*16+0*2=16

2)0,7*16+0,3*2=11,8

3)0,4*16+0,3*6=7,6

2)0,2*16+0,3*8=4,8

2)0*16+0,3*1=2

Риск  портфеля (вариация или дисперсия), состоящий из двух активов, рассчитывается по формуле:

                                                   (2)

где σ²_P  – риск (дисперсия) портфеля;

θ_X  – удельный вес актива Х в портфеле;

θ_Y  – удельный вес актива Y в портфеле;

corr_XY – коэффициент корреляции активов Х и Y.

σ_x – стандартное отклонение переменной Х;

σ_y – стандартное отклонение переменной Y.

По формуле (2)  получаем риск портфеля, измеренный дисперсией. Риск портфеля, измеренный стандартным отклонением доходности (σ_Р), определяется по формуле:

                                                                          ₍₃₎

Расчет риска  портфелей представлен в таблице 2

Таблица 2 –  Риск портфелей

Х1			Х2			Доходность Портфеля, Е(rр)	Коэффициент корреляции
							0,9		0,1		-0,9
Ожидаемая доходность, rx1	Доля, θX1	Ожидаемый риск, σх1	Доля, θX2	Ожидаемая доходность? rx2	Ожидаемый риск, σх2		σ2р	σр	σ2р	σр	σ2р	σр
16	1	1	0	2	8	16	1	1	1	1	1,0	1
	0,7		0,3			11,8	6,63	2,57	6,29	2,51	5,9	2,42
	0,4		0,6			7,6	23,63	4,86	23,25	4,82	22,8	4,77
	0,2		0,8			4,8	41,29	6,43	41,03	6,41	40,7	6,38
	0		1			2	64,00	8,00	64	8,00	64,0	8,00

 

 

Рисунок 1 – Эффективное множество  портфелей

 

 

2. Построить  эффективное множество, если имеются два рисковых актива с ожидаемыми доходностями 18% и 8%, с матрицей ковариации

 

Доли  активов подобрать самостоятельно.

Решение:

Риск  портфеля при примененни ковариационной матрицы рассчитывается по формуле:

(4)

где    – минимально возможная дисперсия доходности портфеля и соответствующая ему средняя доходность,

 — доходность портфеля, с соотношением риск-доходность таким же как и  портфель минимального риска (графически это единственная точка пересечения  с параболой прямой, проходящей через  начало координат и вершину параболы),

 

r_р – доходность портфеля.

Запишем ковариационную матрицу в виде табл. 3

Таблица 3 – Ковариационная матрица

	А1	А2
А1	120	-150
А2	-150	340

 

Построим эффективное множество  портфелей в таблице 4.

Таблица 4 – Эффективное множество портфелей

Доли ценных бумаг, %		Доходность ценных бумаг, %		Доходность портфеля, % (гр.1*гр3+ +гр.2*гр.4), rр	r0 (-150/340)	r1 (120/-150)	σ20 (1/340)	σ2	σ
А1	А2	А1	А2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	0	18	8	18	-0,4412	-0,8	0,00294	6,32	2,51
0,3	0,7	18	8	11	-0,4412	-0,8	0,00294	2,43	1,56
0,5	0,5	18	8	13	-0,4412	-0,8	0,00294	3,36	1,83
0,6	0,4	18	8	14	-0,4412	-0,8	0,00294	3,88	1,97
0	1	18	8	8	-0,4412	-0,8	0,00294	1,33	1,15

 

 

 

Рисунок 2 – Эффективное множество портфелей

 

 

Тема 2 Безрисковое заимствование и размещение средств

3.Актив 1 имеет доходность 2%, риск 10%. Актив 2 имеет доходность 15%, риск 4%. Коэффициент корреляции ρ₁₂=0,7. Построить эффективное множество, определить риск и доходность портфеля, если доли активов даны в таблице. Можно безрисково заимствовать по 6%, а безрисково размещать под 5%.

Таблица 5 – Доли ценных бумаг в активах

Безрисковый актив	0,7	0,5	0,3	0	0	0	-0,3	-0,4	-0,6
Актив 1	0,3	0,4	0,4	0,5	0,3	0,2	0,5	0,5	0,6
Актив 2	0	0,1	0,3	0,5	0,7	0,8	0,8	0,9	1

 

Решение:

Доходность портфелей определим  по формуле:

r_p=(X_a1a2*r_a1a2)+(X_ба*r_ба)                                        (5)

где X_a1a2 - совокупная доля рисковых активов

r_a1a2 – доходность совокупной доли рисковых активов

Риск портфелей определим по формуле

(6)

где σ_a1a2 - риск совокупной доли рисковых активов

Расчет показателей представлен  в таблице 6

Таблица 6 – Показатели портфелей

№ п/п	Доли активов			Доходность, %			Риск, %		Коэф-фи-циент коре-ляции ρ12	Доход-ность портфе-ля гр.2*гр5+ +гр.3*гр.6+ +гр.4*гр.7	Совокупный риск рисковых активов  А1 иА2 гр22*гр82+ гр32*гр92+ +2*гр2*гр3*гр10	Доля А1 иА2 гр.2+гр.3	Риск портфеля
	А1	А2	БА	А1	А2	БА	А1	А2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
1	0,3	0	0,7	2	15	5	10	4	0,7	4,1	9,00	0,3	0,90
2	0,4	0,1	0,5	2	15	5	10	4	0,7	4,8	16,22	0,5	2,01
3	0,4	0,3	0,3	2	15	5	10	4	0,7	6,8	17,61	0,7	2,94
4	0,5	0,5	0	2	15		10	4	0,7	8,5	29,35	1	5,42
5	0,3	0,7	0	2	15		10	4	0,7	11,1	17,13	1	4,14
6	0,2	0,8	0	2	15		10	4	0,7	12,4	14,46	1	3,80
7	0,5	0,8	-0,3	2	15	6	10	4	0,7	11,2	35,80	1,3	7,78
8	0,5	0,9	-0,4	2	15	6	10	4	0,7	12,1	38,59	1,4	8,70
9	0,6	1	-0,6	2	15	6	10	4	0,7	12,6	52,84	1,6	11,63

 

Риск портфеля (гр. 14):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 3 – Эффективное множество портфелей

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 3 Рыночная модель

4.Портфель  состоит из трех ценных бумаг  со следующими характеристиками

Таблица 7 – Характеристика портфеля

Ценная бумага	Коэффициент β	Собственный риск σε	Доля
А	0,8	5	1/3
В	1,9	0,1	1/3
С	0,2	7	1/3

 

Стандартное отклонение индекса 18%. Определить риски  ценных бумаг, собственный и общий  риск портфеля.

 

Решение

Рассчитаем  бетта-коэффициент портфеля:

βр=0,8/3+1,9/3+0,2/3=0,967

Общий риск ценной бумаги i , измеряемый ее дисперсией и обозначаемый как σ_i² , состоит из двух частей: рыночный (систематический) риск и собственный (несистематический) риск:

                                       (7)

где σ_I² - дисперсия доходности рыночного индекса;

σ_εi² - дисперсия случайной погрешности ценной бумаги

Риск  ценной бумаги А:

σ²_А=0,8²*18²+5²=232,36

σ_А=15,24

Риск  ценной бумаги В:

σ²_В=1,9²*18²+0,1²=1169,65

σ_В=34,20

Риск  ценной бумаги С:

σ²_С=0,2²*18²+7²=61,96

σ_С=7,87

 

Общий риск инвестиционного портфеля, в котором присутствуют различные ценные бумаги, можно представить аналогичным образом:

                                  (8)

где σ_εp² - дисперсия случайной погрешности инвестиционного портфеля;

β_pI² - Бета-коэффициент инвестиционного портфеля;

 
,                                 (9)

где X_i - доля ценной бумаги i в инвестиционном портфеле

Предполагая, что случайные отклонения доходности ценных бумаг являются некореллированными, получаем:

,                                              (10)

σ_εр² =0,33²*0,8²+0,33²*1,9²+0,33²*0,2²=0,4767

σ_εр=0,69

σ²_р=0,967²*18²+0,69²=303,44

σ_р=17,42%

Ответ риск ценной бумаги А – 15,24%

риск ценной бумаги В – 34,20%

риск ценной бумаги С – 7,87%

собственный риск портфеля – 0,69%

общий риск портфеля – 17,42%

 

 

 

 

 

 

5.Добавим  в портфель из задачи 4 еще одну  ценную бумагу

Таблица 8 – Характеристика портфеля

Ценная бумага	Коэффициент β	Собственный риск σε	Доля
А	0,8	5	0,25
В	1,9	0,1	0,25
С	0,2	7	0,25
D	2	9	0,25

Стандартное отклонение индекса 20%. Определить риски  ценных бумаг, собственный и общий  риск портфеля. Сравнить риски портфелей  в задаче 4 и 5.

Решение

Риск  ценной бумаги А:

σ²_А=0,8²*20²+5²=281

σ_А=16,76

Риск  ценной бумаги В:

σ²_В=1,9²*20²+0,1²=1444,01

σ_В=38

Риск  ценной бумаги С:

σ²_С=0,2²*20²+7²=65

σ_С=8,06

Риск  ценной бумаги D:

σ²_D=2²*20²+9²=1681

σ_D=41

Рассчитаем  бетта-коэффициент портфеля:

βр=0,8*0,25+1,9*0,25+0,2*0,25+2*0,25=1,225

σ_εр² =0,25²*0,8²+0,25²*1,9²+0,25²*0,2²+0,25²*2²=0,518125

σ_εр=0,72

σ²_р=1,225²*18²+0,72²=486,72

σ_р=22,06%

 

 

Таблица 9– Сравнение портфелей задач 4 и 5

Характеристики	Портфель задачи 4	Портфель задачи 4
Собственный риск	0,69%	0,72%
Стандартное отклонение индекса	18%	20%
Общий риск портфеля	17,42%	22,06%