Схемы межотраслевого баланса

Задав в модели величины валовой продукции каждой

отрасли (Xi), можно определить объемы конечной продукции

каждой отрасли (У*):

Y = (E -A)X. (6.7)

• Задав величины конечной продукции всех отраслей (Yj),

можно определить величины валовой продукции каждой

отрасли (Xt):

X = (Е - А ) - ^ . (6.8)

• Для ряда отраслей задав  величины валовой продукции,

а для всех остальных отраслей задав объемы конечной

продукции, можно найти  величины конечной продукции

первых отраслей и объемы валовой продукции вторых, в

этом варианте расчета удобнее пользоваться не матричной

формой модели (6.6), а системой линейных уравнений (6.5).

В формулах (6.7) и (6.8) Е обозначает единичную матрицу

га-го порядка, а (Е - А)- 1 обозначает матрицу, обратную к

матрице (Е - А). Если определитель матрицы (Е - А) не равен

нулю, т.е. эта матрица  невырожденная, то обратная к ней

матрица существует. Обозначим  эту обратную матрицу через

В(Е - А)-1, тогда систему уравнений в матричной форме (6.8)

можно записать в виде

X = BY. (6.8')

Элементы матрицы В будем обозначать через Ъц, тогда из

матричного уравнения (6.8) для любой £-й отрасли можно

получить следующее соотношение:

Из соотношений (6.9) следует, что валовая продукция

выступает как взвешенная сумма величин конечной продукции,

причем весами являются коэффициенты Ьф которые

показывают, сколько всего  нужно произвести продукции £-й

отрасли для выпуска в  сферу конечного использования  единицы

продукции у-й отрасли. В отличие от коэффициентов

прямых затрат а.ц коэффициенты Ъц называются коэффициентами

полных материальных затрат и включают в себя

240 Глава 6

как прямые, так и косвенные  затраты всех порядков. Если

прямые затраты отражают количество средств производства,

израсходованных непосредственно при изготовлении данного

продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям

производства и входят в производство продукта не прямо, а

через другие (промежуточные) средства производства. Более

детально этот вопрос рассматривается  в § 6.3.

Определение 2. Коэффициент полных материальных затрат

Ъц показывает, какое количество продукции £-й отрасли

нужно произвести, чтобы  с учетом прямых и косвенных затрат

этой продукции получить единицу конечной продукции у'-й

отрасли.

Коэффициенты полных материальных затрат можно применять,

когда необходимо определить, как скажется на валовом

вьшуске некоторой отрасли предполагаемое изменение объемов

конечной продукции всех отраслей:

ДХ(=£&уДУ,, (6.10)

где AXt и tsYj — изменения (приросты) величин валовой и

конечной продукции соответственно.

6.3. Коэффициенты  прямых и полных материальных  затрат

Переходя к анализу  модели межотраслевого баланса, необходимо

прежде всего рассмотреть основные свойства матрицы

коэффициентов прямых материальных затрат А. Коэффициенты

прямых затрат по определению  являются неотрицательными,

следовательно, матрица А в целом может быть

названа неотрицательной: А > 0. Так как процесс воспроизводства

нельзя было бы осуществлять, если бы для собственного

воспроизводства в отрасли  затрачивалось большее количество

продукта, чем создавалось, то очевидно, что диагональные

элементы матрицы А меньше единицы: оц < 1.

Система уравнений межотраслевого баланса является отражением

реальных экономических процессов, в которых

содержательный смысл  могут иметь лишь неотрицательные

значения валовых выпусков; таким образом, вектор валовой

продукции состоит из неотрицательных  компонентов и на-

Балансовые модели 241

зывается неотрицательным: X > 0. Встает вопрос, при каких

условиях экономическая  система способна обеспечить положительный

конечный выпуск по всем отраслям. Ответ на

этот вопрос связан с понятием продуктивности матрицы коэффициентов

прямых материальных затрат.

Будем называть неотрицательную  матрицу А продуктивной,

если существует такой  неотрицательный вектор X > 0, что

Х>АХ. (6.11)

Очевидно, что условие (6.11) означает существование положительного

вектора конечной продукции У > 0 для модели

межотраслевого баланса (6.6).

Для того чтобы матрица  коэффициентов прямых материальных

затрат А была продуктивной, необходимо и достаточно

чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий:

1) матрица (Е -А) неотрицательно обратима, т.е. существует

обратная матрица (Е - А)_1>0;

00

2) матричный ряд Е + А + А2 + А3 + ...= V Ak сходится,

fe=o

причем его сумма равна  обратной матрице (Е - А)- 1;

3) наибольшее по модулю  собственное значение X матрицы

А, то есть решение характеристического уравнения

\ХЕ - А\ = О,

строго меньше единицы;

4) все главные миноры  матрицы (Е - А), т.е. определители

матриц, образованные элементами первых строк и первых

столбцов этой матрицы, порядка  от 1 до п, положительны.

Более простым, но только достаточным  признаком продуктивности

матрицы А является ограничение на величину

ее нормы, т.е. на величину наибольшей из сумм элементов

матрицы А в каждом столбце. Если норма матрицы А строго

меньше единицы, то эта  матрица продуктивна; повторим,

что данное условие является только достаточным, и матрица

А может оказаться продуктивной и в случае, когда ее норма

больше единицы.

242 Глава 6

Наибольший по модулю корень характеристического уравнения,

приведенного в условии 3) продуктивности матрицы А

(обозначим его через к*), может служить оценкой общего

уровня коэффициентов  прямых материальных затрат, а следовательно,

величина 1-Х* характеризует  остаток после затрат,

т.е. продуктивность. Чем  больше 1 - Я.*, тем больше

возможности достижения других целей, кроме текущего производственного

потребления. Другими словами, чем выше

общий уровень коэффициентов  матрицы А, тем больше наибольшее

по модулю собственное  значение X* и ниже уровень

продуктивности, и наоборот, чем ниже общий уровень коэффициентов

матрицы А, тем меньше наибольшее по модулю

собственное значение и выше продуктивность.

Перейдем к анализу  матрицы коэффициентов полных

материальных затрат, т.е. матрицы В = (Е - А)"1. Согласно

определению 2 из предыдущего  параграфа коэффициент

этой матрицы показывает, сколько всего нужно произвести

продукции i-й отрасли, чтобы получить единицу конечной

продукции у'-й отрасли.

Дадим другое определение  коэффициента полных материальных

затрат исходя из того, что  кроме прямых затрат

существуют косвенные  затраты той или иной продукции  при

производстве продукции данной отрасли. Рассмотрим в качестве

примера формирование затрат электроэнергии на выпуск

стального проката, при этом ограничимся технологической

цепочкой «руда-чугун-сталь-прокат». Затраты электроэнергии

при получении проката  из стали будут называться прямыми

затратами, те же затраты  при получении стали из чугуна будут

называться косвенными затратами 1-го порядка, а затраты

электроэнергии при получении  чугуна из руды будут называться

косвенными затратами  электроэнергии на выпуск

стального проката 2-го порядка  и т. д. В связисо сказанным

выше имеет место следующее  определение.

Определение 3. Коэффициентом полных материальных

затрат сц называется сумма прямых затрат и косвенных затрат

продукции i-й отрасли для производства единицы продукции

у'-й отрасли через все промежуточные продукты на

всех предшествующих стадиях  производства. Если коэффи-

Балансовые модели 243

циент косвенных материальных затрат ft-ro порядка обозна-

чить через a\f\ то имеет место формула

et} = ац + а§ + af +...+«#> +..., (6.12)

а если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов полных

материальных затрат С = (ctj) и матрицы коэффициентов

косвенных материальных затрат различных порядков

A(k)

= (агу), то поэлементную  формулу (6.12) можно записать

в более общем матричном  виде:

С = А + А(1) + А(2)+...+А(й)+... (6.13)

Исходя из содержательного  смысла коэффициентов косвенных

материальных затрат можно  записать ряд матричных

соотношений:

А(1) = АА + А2; А(2) = ААа) = АА2 = А3;

А<*> = AA(*-« = АА* = А*+1,.

с использованием которых матричная формула (6.13) может

быть переписана в следующем виде:

С = А + А2+ А3+...+А*+1+...= £ А*. (6.14)

Если матрица коэффициентов  прямых материальных затрат

А является продуктивной, то из условия 2) продуктивности

существует матрица В = (£ - А)- 1 , являющаяся суммой сходящегося

матричного ряда:

со

В^(Е-А)-1 = £ + А + А2+А3+...= £ А * . (6.15)

fc=0

Из сопоставления соотношений (6.14) и (6.15) устанавливается

следующая связь между  двумя матрицами коэффициентов

полных материальных затрат:

В = Е + С,

или, в поэлементной записи:

244 Глава 6

Icy, если i * у,

II + cf;-, если i = у.

Данная связь определяет экономический смысл различия

между коэффициентами матриц В и С: в отличие от коэффициентов

матрицы С, учитывающих только затраты на

производство продукции, коэффициенты матрицы В включают

в себя кроме затрат также  саму единицу конечной продукции,

которая выходит за сферу производства.

Перейдем теперь к вычислительным аспектам решения

задач на основе модели межотраслевого баланса. Основной

объем расчетов по этой модели связан с вычислением матрицы

коэффициентов полных материальных затрат В. Если

матрица коэффициентов прямых материальных затрат А задана

и является продуктивной, то матрицу В можно находить

либо по формулам обращения  матриц, рассматриваемым в курсе

матричной алгебры (некоторые  из этих формул рассмотрены

в гл. 2), либо приближенным способом, используя разложение

в матричный ряд (6.15).

Рассмотрим п е р в ы й с п о с о б нахождения матрицы

В. Находят матрицу (Е - А), а затем, применяя один из прямых

методов обращения невырожденных  матриц, вычисляют

матрицу (Е - А)"1. Одним из наиболее употребительных методов

обращения матриц является метод Жордана. Часто

применяется также метод, основанный на применении формулы

матричной алгебры

В = (Е-А)~1 =¥—Ч, (6.16)

где в числителе матрица, присоединенная к матрице (Е -А),

элементы которой представляют собой алгебраические дополнения

для элементов транспонированной  матрицы (Е -A)', a

в знаменателе — определитель матрицы (Е -А). Алгебраические

_______дополнения в свою очередь для элемента с индексами i

и у получаются умножением множителя (-l)i + ' на минор,

получаемый после вычеркивания из матрицы i-й строки и

у'-го столбца.

Балансовые модели 245

При в т о р о м с п о с о б е вычисления матрицы коэффициентов

полных материальных затрат используется формула

(6.15). Обязательным условием  корректности этих

расчетов является условие  продуктивности матрицы А, и при

расчетах ограничиваются учетом косвенных материальных

затрат до некоторого порядка  включительно, например до 2-го,

3-го порядков. В этом  способе используется процедура  умножения

квадратных матриц с их последующим сложением, и

коэффициенты полных материальных затрат получаются с

известным приближением (с  недостатком).

L. Пример 1. Для трехотраслевой экономической системы

заданы матрица коэффициентов прямых материальных

затрат и вектор конечной продукции:

Найти коэффициенты полных материальных затрат и

вектор валовой продукции, заполнить  схему межотраслевого

материального баланса.

1. Определим матрицу коэффициентов  полных материальных

затрат по второму (приближенному) способу, учитывая

косвенные материальные затраты до 2-го порядка включительно.

Запишем матрицу коэффициентов  косвенных затрат

1-го порядка: