Построение модели регрессии

Практическое  задание

 

Имеются следующие данные:

 

Y(t)	82	79	78	72	69	70	64	61	59
X1(t)	25	27	26	29	32	32	30	33	35
X2(t)	32	34	38	40	42	46	50	52	53

 

1. Найти коэффициенты парной корреляции и и выбрать фактор наиболее тесно связанный с зависимой переменной y(t).
2. Для выбранного фактора построить линейную однопараметрическую модель регрессии .
3. Проверить модель на адекватность и оценить ее точность.
4. Построить точечный и интервальный прогноз на два шага вперед по модели регрессии.
5. Отобразить на графиках фактические данные, результаты расчетов и прогнозирования.

 

Решение:

 

1. Составим расчетную таблицу №1:                                       

    Таблица №1

 

t	X1(t)	X2(t)	Y(t)	[X1(t)-X1ср]2	[X2(t)-X2ср]2	[Y(t)- Yср]2	[X1(t)- X1ср]∙[Y(t)- Yср]	[X2(t)- X2ср]∙[Y(t)- Yср]
1	25	32	82	23,90	121,00	133,53	-56,49	-127,11
2	27	34	79	8,35	81,00	73,20	-24,72	-77,00
3	26	38	78	15,12	25,00	57,09	-29,38	-37,78
4	29	40	72	0,79	9,00	2,42	-1,38	-4,67
5	32	42	69	4,46	1,00	2,09	-3,05	1,44
6	32	46	70	4,46	9,00	0,20	-0,94	-1,33
7	30	50	64	0,01	49,00	41,53	-0,72	-45,11
8	33	52	61	9,68	81,00	89,20	-29,38	-85,00
9	35	53	59	26,12	100,00	130,98	-58,49	-114,44
Σ	269	387	634	92,89	476,00	530,22	-204,56	-491,00

 

Где ; ; ;

Вычислим  коэффициенты парной корреляции, используя  формулу:

Тогда коэффициенты парной корреляции равны:

;

 

       Полученные значения  коэффициентов парной корреляции  говорят о наличии обратной ( ) и тесной ( близки к 1) линейной зависимости результативного признака y(t) с каждым из факторных признаков x₁(t) и x₂(t). В силу фактор x₂(t) более тесно связан с y, и в дальнейшем уравнение линейной зависимости будем искать в виде: .

 

2. Построим линейную однопараметрическую модель регрессии  .

;

.

-  выборочное уравнение прямой  регрессии Y на X₂.

 

  3) Оценим качество построенной модели, исследовав ее адекватность и точность.

Составим  расчетную таблицу №2:                                                           

                                                                                                               Таблица №2

t	Y(t)	Yр(t)	E(t)=Y(t)- -Yp(t)	Точки поворота	E2(t)	E(t)-E(t-1)	[E(t)-E(t-1)]2
1	82	81,79	0,21	-	0,04	-	-	0,51
2	79	79,73	-0,73	1	0,53	-0,94	0,88	0,00
3	78	75,60	2,40	1	5,75	3,13	9,77	6,15
4	72	73,54	-1,54	0	2,37	-3,94	15,50	0,00
5	69	71,48	-2,48	1	6,13	-0,94	0,88	0,00
6	70	67,35	2,65	1	7,02	5,13	26,28	7,57
7	64	63,22	0,78	0	0,60	-1,87	3,51	2,43
8	61	61,16	-0,16	0	0,03	-0,94	0,88	0,00
9	59	60,13	-1,13	-	1,28	-0,97	0,94	0,00
Σ	634	634,00	0,00	4	23,75		58,63	16,66

 

Значения  Y_р(t) получены из выборочного уравнения прямой регрессии Y на X₂

а) Математическое ожидание отклонений равно нулю: M(E)=0,00 (см.4-ый столбец таблицы№2).

 

б) Проверим на случайность с помощью критерия поворотных точек: каждый уровень ряда остатков сравним с соседними. Если он больше обоих соседних уровней, или меньше их обоих, то ему соответствует поворотная точка и присваивается значение 1. В противном случае – присваивается значение 0. В случайном ряду должно выполняться неравенство:

     

  В нашем случае N=9 и имеем

.

     Таким образом, p=4>2.4 и в соответствии с критерием поворотных точек последовательность уровней остатков ряда является случайной.

 

в) Проверим независимость (отсутствие автокорреляции уровней ряда остатков) с помощью   d-критерия Дарбина-Уотсона:

.

По  критерию найденное значение необходимо сравнить с двумя табличными. Для  N=9 имеем ; . Таким образом, , и в соответствии с критерием Дарбина-Уотсона уровни независимы.

 

г) Проверим соответствие ряда остатков нормальному закону распределения с помощью RS –критерия: . Для N=9 и при 5% уровне значимости значение RS должно попасть в интервал (2,7 ; 3,7). В нашем случае это условие выполняется. Следовательно, гипотеза о нормальном законе распределения остатков принимается.

 

e) Оценим точность модели с помощью средней ошибки аппроксимации:

%. Полученное значение меньше 10%, что говорит об адекватности модели.

 

4) Построим точечный и интервальный прогноз на два шага вперед по модели регрессии.

   В начале построим точечный  прогноз на два шага вперед  для : и на основании среднего абсолютного прироста: .

Таким образом, 

.

 

Точечный  прогноз для  построим на основании полученных значений и и уравнения регрессии :

 

    Доверительный интервал прогноза  имеет вид:

,

где .

Значение  находим по таблице критических точек распределения Стъюдента при доверительной вероятности p=0,7 и n=N-2=9-2=7 степенях свободы.

 

 

 

 

Тогда

 

В итоге получаем:

t	Yp(t)	Нижняя граница	Верхняя граница
10	55,625	55,625 – 2,25 = 53,375	55,625 + 2,25 = 57,875
11	58,25	58,25 – 2,44= 55,81	58,25 + 2,44= 60,69

 

5) Отобразим на графиках фактические данные, результаты расчетов и прогнозирования.

 

 

Вывод: Факторы x₁(t) и x₂(t) оказывают существенное влияние на результативный признак y(t). Наиболее тесно с y(t) связан фактор x₂(t). Существующая между ними обратная линейная зависимость имеет вид: . Полученное уравнение имеет приемлемую точность и может быть использовано для прогнозирования.