Понятие плотности и плотность распределения

 

 

 

 

 

 

 

 

Зачетная  работа по дисциплине:

 

«Меры риска»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Крамная Дарья Александровна

МБ-32

20.05.2013

 

 

Понятие плотности и  плотность распределения.

Плотностью распределения (или плотностью вероятности) непрерывной случайной величины X в точке x называется производная ее функции распределения в этой точке и обозначается f(x). График плотности распределения называется кривой распределения.

Пусть имеется точка x и прилегающий к ней отрезок dx. Вероятность попадания случайной величины X на этот интервал равна f(x)dx. Эта величина называется элементом вероятности.

Вероятность попадания случайной величины X на произвольный участок [a, b[ равна сумме элементарных вероятностей на этом участке:

В геометрической интерпретации P{α≤X<β} равна площади, ограниченной сверху кривой плотности распределения f(x) и опирающейся на участок (α,β)

Это соотношение позволяет выразить функцию распределения F(x) случайной величины X через ее плотность:

 

В геометрической интерпретации F(x) равна площади, ограниченной сверху кривой плотности распределения f(x) и лежащей левее точки x 

Основные свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения неотрицательна: f(x) ³ 0.

Это свойство следует из определения f(x) – производная неубывающей функции не может быть отрицательной.

2. Условие нормировки:  Это свойство следует из формулы (5.8), если положить в ней x=∞.

Геометрически основные свойства плотности f(x) интерпретируются так:

1. вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;
2. полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

 

  

  Плотность распределения также  называют дифференциальной функцией. Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема. 
Смысл плотности распределения состоит в том, что она показывает, как часто появляется случайная величина Х в некоторой окрестности точки х при повторении опытов. 
После введения функций распределения и плотности распределения можно дать следующее определение непрерывной случайной величины.            

Определение.  Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна на всей оси ОХ, а плотность распределения f(x) существует везде, за исключением( может быть, конечного числа точек.           

  Зная плотность распределения,  можно вычислить вероятность  того, что некоторая случайная  величина Х примет значение, принадлежащее  заданному интервалу.            

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от aдо b. 
 
           

  Доказательство этой теоремы  основано на определении плотности  распределения и третьем свойстве  функции распределения, записанном  выше.           

  Геометрически это означает, что  вероятность того, что непрерывная  случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна  площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, кривой  распределения f(x) и прямыми x=aиx=b.           

  Функция распределения может  быть легко найдена, если известна  плотность распределения, по формуле: 

 

 

Задание 1:

 

Дано:

 

So=28

U=30/28

p=q=0,5

D=1

t=1 – соответствует 6мес после t=0

Ставка дисконтирования 12% годовых

 

Решение:

 

После дисконтирования:

 

So=So

U:=U/R

R=6% (12%/2=6%)

 

Новые:

 

U=30/(28*1,06)=1,01

D=1/1,06=0,943

K=25/1,06=23,58

 

x - premium – ?

y - берет агент в банке

(x+y) – вкладывает в жетоны

 

                             

                                Актив                        Пассив

 

UP                         (x+µ)U      =            µ+(SoU-K)

DOWN                  (x+µ)D      =            µ+(SoD-K)

 

Система уравнений:

XU + µ(U-1)= SoU-K                    *(1-D)

XD - µ(1-D)=SoD-K                      *(U-1)

 

XU(1-D) + XD(U-1) = (So-K)(1-D)+(SoD-K)(U-1)

 

X(U-D)=SoU+KD-SoD-KU= So(U-D)-K(U-D)= (U-D)(So-K)

 

X=So-K

X=28-23,58=4,42

 

Задание 2:

 

P* = (1-D)/(U-D)

q*=(U-1)/(U-D)

 

x= EX=((1-D)/(U-D))*(SoU-K)+((U-1)/(U-D))(SoD-K)

 

x=(1-D)/(U-D)*(SoU-k)+(U-1)/(U-D)*(SoD-k)=(1-0,943)/(1,01-0,943)*(28*1,01-23,58)+  (1,01-1)/(1,01-0,943)*(28*0,943-23,58)=0,057/0,067*4,7 + 0,01/0,067*

*2,824 = 0,851*4,7 + 0,149*2,824 = 3,999 + 0,421 = 4,42

 

 

 

Задание 3

 

 

1+2+3+…..+12 = (12*13)/2;

1+2+3+…..+(n-1)+n = (n(n+1))/2;

(1+2+3+….+12)*1/12 = (1*12*13)/(12*2) = 6,5

 

σ^2=σ_n^2=(∑_(i=1)^n▒〖(X_i-X ̅ )^2)*1/n〗; σ=√(σ^2 );

 

В нашем случае: X_i=i;     i=1,…..,12

                             X ̅=6,5;

 

σ=√((((1-6,5)^2+⋯+(12-6,5)^2))/12)

 

σ=3,452

Ответ: 6,5; 3,452.