Парная регрессия и корреляция

Федеральное агентство  железнодорожного транспорта

Московский  государственный университет путей  сообщения (МИИТ)

Институт экономики и  финансов

Кафедра «Математика»

 

 

«Парная регрессия  и корреляция»

 

Домашняя работа №1

по дисциплине: «Эконометрика»

Вариант 4

 

 

Выполнил: студент группы ЭМЭ-312 Гарина Л.А.

Проверил: доцент Карпенко Н.В.

 

 

 

М о с к в а  2012 г.

 

I. Линейная регрессия

1.1. Рассчитать параметры линейного уравнения регрессии . Дать интерпретацию параметров b₀ и b₁. Построить прямую линию регрессии на корреляционном поле.

 
Найдем уравнение парной линейной регрессии, где b0 и b1 параметры уравнения, которые находятся по формулам:

=3,74

= 2,96

Уравнение парной линейной регрессии имеет вид 

Для оценки параметров используется метод наименьших квадратов (МНК), согласно которому неизвестные параметры b₀ и b₁ выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений фактических значений отклика  от прогнозных была минимальна, т.е

 

 

Интерпретировать  можно лишь знак при параметре  b₀. Если b₀>0 (как в нашем случае), то относительное изменение отклика происходит медленнее, чем изменение фактора.

 

Коэффициент b₁  называется коэффициентом регрессии и показывает среднее изменение отклика при изменении фактора на одну единицу. 

Построим прямую линию  регрессии на корреляционном поле и  результаты отразим в Диаграмме 1

Линия регрессии находится  внутри корреляционного поля, число  точек корреляционного поля, лежащих  выше линии регрессии и число  точек, лежащих ниже примерно одинаковое. Линия регрессии занимает правильное положение на корреляционном поле.

1.2. Оценить качество уравнения регрессии. Найти среднюю ошибку аппроксимации; проверить F-критерий Фишера, t-критерий Стъюдента, построить доверительные интервалы для параметров b₀ и b₁ . Сделать выводы.

Во-первых, произведем математическую проверку уравнения. Найдем среднюю относительную ошибку аппроксимации по формуле

= 25,95%

Для определения точности используем следующую таблицу

Значение , %	Точность
<10	высокая
10-20	хорошая
20-50	удовлетворительная
>50	неудовлетворительная

Так как 25,95% попадает в интервал 20-50, то точность уравнения удовлетворительная.

Во-вторых, проведем статистическую оценку уравнения. Статистическая значимость уравнения регрессии в целом  проверяется с помощью F-критерия Фишера

Расчетное значение критерия Фишера, находится по формуле:

 

где  n- объем выборки наблюдений, m- число параметров в уравнении регрессии при независимых переменных

Табличное значение критерия Фишера рассчитывается следующим образом:

 

где α-уровень значимости (0,05), df₁ и df₂ числа степеней свободы

Так как F_табл >F_расч , то уравнение регрессии вцелом статистически незначимо.

В-третьих, проверим статистическую значимость отдельных параметров линейного  уравнения регрессии, с помощью  Т-критерий Стьюдента.

 

 

где mb₀ и mb₁ стандартные или среднеквадратические ошибки параметров b₀ b₁

 

 

t_табл=(α;df)=2,01,

 где df= n-m-1

Из результатов видно, что  t_табл >t_b0 и t_табл >t_b1, следовательно можно сделать вывод, что параметры b₁ и b₂ статистически незначимы.

Построим доверительные  интервалы параметров уравнения  регрессии

С вероятностью 0,95 ₀ принадлежит (b₀ – m_b0*t_табл;b₀ + m_b0*t_табл)

C вероятностью 0,05 ₁ принадлежит (b₁ – m_b1*t_табл;b₁ + m_b1*t_табл)

Оформим результаты в виде таблицы

	Левая граница	Правая граница
b0	-3,93	9,85
b1	-1,32	8,81

Так как границы доверительного интервала имеют разные знаки, то параметры статистически незначимы.

1.3.Найти коэффициент  корреляции, оценить его статистическую  значимость, построить интервальную  оценку. Найти коэффициент детерминации, проверить его статистическую  значимость. Сделать выводы.

Теснота линейной регрессионной  зависимости  оценивается с помощью парного коэффициента корреляции, вычисляемого по формуле:

 

 

 

Коэффициент парной корреляции интерпретируется согласно шкале Чеддока:

|r|	Характер линейной корр.связи
0-0,2	практически отсутствует
0,2-0,5	слабая связь
0,5-0,7	средняя связь
0,7-0,95	сильная связь
0,95-1	практически функциональная

Так как r>0, то связь прямая, то есть с ростом х, у растет. Мы видим, что r=0,2, следовательно, опираясь на шкалу Чеддока, можно сделать вывод, что характер линейный корреляционной связи- слабая связь.

Одним из вариантов определения  статистической значимости коэффициента парной регрессии является t-критерий Стьюдетна, вычисляемый по формуле:

 

 

Так как, >, коэффициент парной корреляции статистически не значим.

Построим интервальную оценку коэффициента корреляции. Для начала вычислим среднеквадратическую ошибку коэффициента парной регрессии, по следующей  формуле:

 

Построение интервальной оценки оформим в следующей таблице, используя фирмулу:

, где r- коэффициент корреляции

Левая граница	Правая граница
-0,07	0,48

Так как границы интервала  имеют разные знаки, то коэффициент  парной корреляции статистически незначим.

Вычислим коэффициент детерминации, который характеризует долю дисперсии зависимой переменной y, объясненную регрессией в общей дисперсии y, по формуле:

 

Проверим статистическую значимость коэффициента детерминации

 

 

Так как >, то коэффициент детерминации статистически не значим.

1.4 Провести анализ остатков. Сделать выводы.

Проведем анализ остатков. Наиболее распространенным методом проверки независимости остатков является критерий Дарбина-Уотсона:

 

По решающему правилу  Дарбина-Уотсона, можно сделать вывод, что  попадает в зону неопределенности, следовательно, остатки зависимы.

Проверим требование гомоскедостичности графически. Все остатки (кроме 1) находятся внутри некоторой горизонтальной полосы, симметричной относительно оси абсцисс. Поэтому можно сделать вывод, что остатки постоянны.

II. Нелинейная регрессия

2.1. Построить уравнения  регрессии: 

• степенное ;
• показательное ;
• гиперболическое .

Для построения заданных нелинейных уравнений найдем параметры , которые находятся методом наименьших квадратов с предварительной линеаризацией, т.е. преобразования уравнения к линейному виду.

Рассмотрим степенное  уравнение ;

 

Обозначим Y=lgy, X=lgx, B0=lgb0, тогда уравнение примет вид  Y=B0+b1X.

Находим параметры B0 и b1

 

 

Выполним потенцирование , тогда получим, что

Степенное уравнение имеет  вид: 

Теперь рассмотрим показательное уравнение 

???

 Построим гиперболическое уравнение .

Произведем замену Х=, тогда уравнение примет вид

Найдем коэффициенты по формулам:

 

 

Тогда уравнение принимает  вид