Парная и множественная регрессии

 

Министерство образования  и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального  образования

«Псковский государственный  университет»

 

 

Финансово-экономический  факультет

 

 

 

Расчетно–графическая работа

«Парная и множественная регрессии»

 

 

                                                             Выполнила студентка группы ХХХХХХ

   ХХХХХХХХХХХХХХХХХХХ

                                                             Руководитель: Волкова Ольга Алексеевна

 

 

 

 

 

 

Псков

2012

1. Парная регрессия и корреляция.

Таблица 1.

	Центральный Федеральный округ	Средняя пенсия, руб., Y	Прожиточный минимум, руб., X
1	Белгородская область	5856,0	4172
2	Брянская область	5785,6	4311
3	Владимирская область	6048,3	4973
4	Воронежская область	5730,9	4924
5	Ивановская область	5912,8	4642
6	Калужская область	6077,4	4583
7	Костромская область	5852,6	4789
8	Курская область	5568,7	4493
9	Липецкая область	5776,0	4563
10	Московская область	6496,0	5850
11	Орловская область	5938,4	4145
12	Рязанская область	5830,4	4868
13	Смоленская область	5846,1	4977
14	Тамбовская область	5567,2	3805
15	Тверская область	5989,2	4968
16	Тульская область	6026,1	4752
17	Ярославская область	6160,7	5113
18	г. Москва	6578,5	7406

 

По исходным данным построим поле корреляции.

Рис.1. Корреляционное поле районов  Центрального Федерального округа по  величине средней пенсии и прожиточного минимума за 2009 год.

Точки на графике расположены  упорядоченно, т. е. через них можно  провести гипотетическую прямую, а  значит, связь рассматривается.

Для характеристики зависимости  средней пенсии от прожиточного минимума в Центральном Федеральном округе необходимо рассчитать параметры следующих функций:

1. линейной;
2. степенной;
3. показательной;
4. равносторонней гиперболы.

1. Для расчета параметров a и b линейной регрессии y=a+b*x решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:

 

 

По исходным данным рассчитаем ; ; ; ; (см. табл. 2).

 

 

Уравнение регрессии

С увеличением прожиточного минимума на 1 руб. средняя пенсия увеличивается на 0,28 %-ых пункта.

Рассчитаем линейный коэффициент  парной корреляции:

 

Связь сильная, прямая.

Определим коэффициент детерминации:

 

Вариация результата на % объясняется вариацией фактора Х.

 

 

Таблица 2.

 

 

Подставляя в уравнение  регрессии фактические значения Х, определим теоретические (расчетные) значения . Найдем величину средней ошибки аппроксимации .

 

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 2,08%.

Рассчитаем F-критерий:

 

 

Но – гипотеза о случайной  природе оцениваемых характеристик  отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность, т. к. .

Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с  помощью t- статистики Стьдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.

Выдвинем гипотезу Но о статистически незначимом отличии показателей от нуля: а=b=rxy=0

tтабл для числа степеней свободы df=n-2=18-2=16 и α=0,05 составит 2,1199.

Определим случайные ошибки ma, mb, mrxy:

= 239,1152;

= 0,048693;

= 0,142115.

Тогда =19,1499, .

Фактические значения t-статистики во всех случаях превосходят табличные значения

19,1499> tтабл =2,1199; ˃ tтабл =2,1199;

˃ tтабл =2,1199.

поэтому гипотеза Но отклоняется, т.е. а, b и rxy не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительный  интервал для а и b. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя: tтабл*; tтабл*.

Рассчитаем доверительные  интервалы: ; 4072,132; 5085,932; ; 0,178663; 0,385111. Параметр а не принимается нулевым, т.к. ; ˃0.

 

2. Построению степенной  модели  предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

 

 

где .

Для расчетов используем данные таблицы 3.

Рассчитаем С и b

 

 

Получим линейное уравнение: .

Выполнив его потенцирование, получим .

Рассчитаем показатели: тесноты  связи – индекс корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

 

Таблица 3.

 
 

 

 

Характеристики степенной  модели указывают, что она несколько  лучше линейной функции описывает взаимосвязь

 

3. Построению уравнения показательной кривой предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:

 

 

где .

Для расчетов используем данные таблицы 4.

Значения параметров регрессии А и В составили:

 

 

Получим линейное уравнение:

Выполнив его потенцирование, получим .

Тесноту связи оценим через  индекс корреляции .

.

Связь сильная.

По уравнению  показательной функции получена наибольшая оценка связи: . Средняя ошибка аппроксимации остается на допустимом уровне.

 

 

Таблица 4.

 

 

4. Уравнение равносторонней гиперболы линеаризуется при замене: . Тогда .

Для расчетов используем таблицу 5.

Значение параметров регрессии а и b составили:

 

 

Получено уравнение: .

Индекс корреляции: . Средняя ошибка аппроксимации: По уравнению равносторонней гиперболы получена наименьшая оценка тесноты связи.

 

Таблица 5.

 

2. Множественная регрессия и корреляция.

Множественная регрессия  – уравнение связи с несколькими  независимыми переменными: ,.

Таблица 6.

Признак	Среднее значение	Среднее кв. отклонение	Лин.коэф.  парной корреляции
Y, средняя пенсия, руб.	5946,716667	0,259564	-
Х1, прожиточный минимум, руб.	4851,888889	757,5609	0,822712	ryx1
Х2, численность пенсионеров, тыс. чел.	593,4444444	588,3808	0,7771966	ryx2
			0,8856039	rx1x2

Таблица 6 построена на основании  расчетов таблицы 7.

Линейное уравнение множественной  регрессии у от х1 и х2 имеет вид: у=a+b1*x1+b2*x2. Для расчета его параметров применим метод стандартизации переменных и построим искомое уравнение в стандартизованном масштабе: ty=ß1*tx1+ß2*tx2.

=0,623180425;

=0,225305643.

ty=0,623180425tx1+0,225305643tx2.

Для построения уравнения  в естественной форме рассчитаем b1 и b2, используя формулы для перехода от ßi к bi:

 

b1=0,000213521; b2=9,93936

Значение а определим из соотношения

 

Для характеристики относительной  силы влияния x1 и x2 на у рассчитаем средние коэффициенты эластичности:

 

 

 

С увеличением среднего прожиточного минимума х1 на 1% от средней пенсии возрастает на 0,17% от своего среднего уровня; при повышении численности пенсионеров х2 на 1% средняя пенсия увеличивается на 0,009% от своего среднего уровня. Очевидно, что сила влияния средней платы оказалась больше, чем сила влияния численности пенсионеров. К аналогичным выводам о силе связи приходим при сравнении модулей значений и

|0,623180425| > = |0,225305643|.

Линейные коэффициенты частной  корреляции здесь рассчитываются по рекуррентной формуле:

= 0,459956

= 0,184079

= 0,82934

Если сравнить значения коэффициентов  парной и частной корреляции, то приходим к выводу, что из-за сильной  факторной связи (0,83) коэффициенты парной и частной корреляции значительно отличаются: выводы о тесноте и направлении связи на основе коэффициентов парной и частной корреляции совпадают:

0,822712; 0,7771966; 0,8856039

0,459956; = 0,184079; 0,82934.

Расчет линейного коэффициента множественной корреляции выполним с использованием формулы:

=0, 526314455.

Зависимость у от х1 и х2 характеризуется как тесная, в которой 47% вариации средней пенсии определяется вариацией учтенных в модели факторов: уровнями прожиточного минимума и численностью пенсионеров. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют соответственно 53% от общей вариации у.

Общий F-критерий проверяет гипотезу Но о статистической значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи (R²):

= 16,52343; 3,68; α=0,05

Сравнивая Fтабл и Fфакт, приходим к выводу о статистической значимости уравнения регрессии с вероятностью 0,95, т.к. > .

Частные F-критерии – Fx1 и Fx2 оценивают статистическую значимость присутствия факторов х1 и х2 в уравнении множественной регрессии, оценивают целесообразность включения в уравнение одного фактора после другого, т.е.  оценивает целесообразность включения в уравнение фактора х1 после того, как в него был включен фактор х2. Соответственно  указывает на целесообразность включения в модель фактора х2 после фактора х1:

=4,024893

3,68; α=0,05.

Сравнивая Fтабл и Fфакт, приходим к выводу о целесообразности включения в модель фактора х1 после фактора х2. Данное утверждение проверяется:

=0,526103 

Таблица 7

	Район Южного ФО	Прожиточный минимум, руб.	Средняя заработная плата, руб.	Число собственных легковых автомобилей  на душу населения
		х1	х2	у	Y	х1^2	x2^2	Y^2	yx1	yx2	x1x2
1	Республика Адыгея	4393	11547,6	233,8	0,2338	19298449	133347066	0,054662	1027,0834	2699,829	50728607
2	Республика Дагестан	4066	9125,3	104	0,104	16532356	83271100,1	0,010816	422,864	949,0312	37103470
3	Республика Ингушетия	4439	10957,6	77,3	0,0773	19704721	120068998	0,005975	343,1347	847,0225	48640786
4	Кабардино-Балкарская Республика	3847	10777,4	146,3	0,1463	14799409	116152351	0,021404	562,8161	1576,734	41460658
5	Республика Калмыкия	4311	10848,7	169,4	0,1694	18584721	117694292	0,028696	730,2834	1837,77	46768746
6	Карачаево-Черкесская Республика	4119	10477,1	184	0,184	16966161	109769624	0,033856	757,896	1927,786	43155175
7	Республика Северная  Осетия-Алания	3895	10831,5	188,1	0,1881	15171025	117321392	0,035382	732,6495	2037,405	42188693
8	Чеченская Республика	4898	13254,9	92	0,092	23990404	175692374	0,008464	450,616	1219,451	64922500
9	Краснодарский край	5253	14953,2	243,7	0,2437	27594009	223598190	0,05939	1280,1561	3644,095	78549160
10	Ставропольский край	4820	12647,2	212,2	0,2122	23232400	159951668	0,045029	1022,804	2683,736	60959504
11	Астраханская область	4598	14095,7	209	0,209	21141604	198688758	0,043681	960,982	2946,001	64812029
12	Волгоградская область	4647	13256,5	194,4	0,1944	21594609	175734792	0,037791	903,3768	2577,064	61602956
13	Ростовская область	4744	13882,5	222,3	0,2223	22505536	192723806	0,049417	1054,5912	3086,08	65858580
	ср. значение	4463,846154	12050,4		0,175115385	20085800	148001109	0,033428	788,4040923	2156,308	54365451