Определение индексов

Агрегатный индекс представляет собой дробь, числитель и знаменатель  которой состоят из двух сомножителей. Один из них является переменной индексируемой величиной (р₁ и р₀), а второй принимается условно в качестве постоянной величины – веса индекса (q₁).

Агрегатный индекс физического  объема товарооборота должен показывать изменение физического объема в отчетном периоде по сравнению с базисным. Чтобы агрегатный индекс характеризовал только изменение физического объема товарооборота (продукции, потребления) и не отражал изменение цен, в качестве весов берутся неизменные цены как для базисного, так и для отчетного периода. Применение в качестве весов неизменных цен дает возможность получить правильное представление о динамике физического объема товарооборота (продукции или потребления), так как устраняет влияние динамики цен на динамику количества выпущенной, проданной или потребленной продукции.

Таким образом, в индексе  физического объема сомножитель  индексируемого показателя берется  на уровне базисного периода.

Пользуясь принятыми  обозначениями, запишем формулу  агрегатного индекса физического объема продукции:

 

где числитель представляет собой  стоимость продукции отчетного  периода по ценам базисного, а  знаменатель – стоимость продукции  базисного периода по ценам того же периода. Подставив в формулу  необходимые данные из таблицы, получим I_q=27200/21470=1,267, или 126,7%. Это значит, что в отчетном периоде по сравнению с базисным общий физический объем реализованной продукции увеличился на 26,7%.

Абсолютное изменение физического  объема вычисляется как разность между числителем и знаменателем индекса. В нашем примере

,

т.е. в отчетном периоде по сравнению  с базисным физический объем реализованной  продукции увеличился в абсолютном выражении на 5730 руб.

Постоянные и переменные веса агрегатных индексов. При вычислении индекса за два периода вопрос о весах сводится к выбору между базисным и отчетным периодами. На практике приходится иметь дело не только с двумя, но и с большим числом периодов. Если индексы исчисляются за несколько периодов, то для всех них могут быть приняты одни и те же веса – индексы с постоянными и переменными весами, или же для каждого периода свои веса – индексы с переменными весами. Покажем это на примере:

Количество и цены проданных товаров

Наиме-нование товара	Продано товаров				Цена за единицу, руб
	январь	февраль	март	…n	январь	февраль	март	…n
А, кг	200	210	240	250	4,0	3,8	3,7	3,5
В, шт	60	75	90	100	20,0	19,0	18,5	18,0

Требуется вычислить помесячные индексы. Их можно вычислить по-разному, в  зависимости от решаемой задачи.

 

Теоретически возможны четыре типа индексов.

1. Общие базисные индексы цен  с постоянными (базисными) весами (январскими):

;      

; 

и т.д.

;  .

В данных индексах цены каждого последующего периода (февраля – р₁, марта – р₂ и т.д.) сопоставляются с ценами января (р₀) и взвешиваются на одно и то же количество товаров, проданных в январе (q₀). Полученные показатели характеризуют изменение цен по сравнению с начальным периодом, но не отражают изменения в структуре проданных товаров.

2. Общие базисные индексы цен  с переменными (отчетными) весами:

; ;

; 

и т.д.

; 

В этих индексах цены каждого последующего периода (февраля – р₁, марта – р₂ и т.д.) сравниваются с ценами января (р₀), но в качестве весов берется каждый раз количество товаров отчетного периода (q_1, q₂ и т.д.).

В вычисленных индексах находят отражение  как изменения цен по сравнению  с начальным (базисным) периодом, так  и изменения структуры проданных  товаров.

 

3. Общие цепные индексы цен  с постоянными весами (январскими):

;

 

;

и т.д.

;

Эта группа индексов получена путем  сопоставления цен каждого последующего периода с предыдущим, взвешенных на одно и то же количество товаров, проданных в январе (q₀). Эти индексы отражают изменение цен каждого периода по сравнению с предыдущим, но не отражают изменения в структуре проданных товаров.

 

4. Общие цепные индексы цен  с переменными весами:

;

;

и т.д.

;

 

Эти индексы получены путем сопоставления  цен каждого последующего периода с предыдущим, но взвешенных в каждом случае на количество товаров отчетного периода (q₁, q₂ и т.д.).

В рассчитанных индексах находит отражение  как изменение цен за ряд последовательных периодов, так и изменение структуры  проданных товаров.

Индексы с переменными весами не дают возможности перехода от цепных индексов к базисным, и наоборот, так как веса их различны:

Индексы с постоянными весами допускают  возможность перехода от цепных к  базисным индексам, и наоборот. Перемножив два (или несколько) цепных индексов с постоянными весами, получим базисный индекс:

,

а поделив два базисных индекса  с постоянными весами, получим  цепной:

Аналогично можно построить  с постоянными и переменными весами индексы физического объема продукции и т.д.

В связи с разнообразием индексов возникает вопрос о выборе наиболее пригодного из них в каждом конкретном случае. Так, для характеристики изменения  цен по сравнению с начальным  периодом без учета изменений в структуре проданных (произведенных) товаров применяют общие базисные индексы с постоянными весами, в тех же целях, но с учетом изменения структуры – базисные индексы с переменными весами. Для определения изменения цен каждого периода по сравнению с предыдущим без учета изменений в структуре проданных товаров применяют цепные индексы с постоянными весами, с учетом изменений в структуре – цепные индексы с переменными весами.

Выбор периода взвешивания индексов зависит от того, какие индексы вычисляются: индексы количественных (объемных) или качественных показателей. В теории статистики принята следующая система взвешивания: сомножители количественных индексируемых показателей берутся на уровне базисного периода, а качественных – на уровне отчетного.

 

Другие агрегатные индексы.

Помимо индексов товарооборота, цен  и физического объема в статистико-экономическом  анализе применяются другие агрегатные индексы. Рассмотрим некоторые из них.

Индекс себестоимости  продукции. Аналогично индексу цен строится агрегатный индекс себестоимости продукции. Он показывает, во сколько раз себестоимость в отчетном периоде в среднем выше или ниже базисной или плановой себестоимости, а также абсолютный размер экономии или перерасхода в результате изменения себестоимости. Индекс себестоимости продукции является индексом качественных показателей и исчисляется по весам (объему) продукции отчетного периода:

где z₁ -  себестоимость единицы продукции в отчетном периоде; z₀ – то же в базисном (или плановом) периоде; q₁ – количество продукции в отчетном периоде.

 

Индекс производительности труда. Производительность труда определяется количеством продукции, произведенной в единицу времени, или затратами рабочего времени на производство единицы продукции. Для определения изменения производительности труда в отчетном периоде по сравнению с базисным надо затраты рабочего времени на производство единицы продукции в базисном периоде (t₀) поделить на затраты рабочего времени на производство единицы продукции в отчетном периоде (t₁). Таким образом, индивидуальный индекс производительности труда равен

Чтобы построить агрегатный индекс производительности труда, необходимо затраты рабочего времени на производство единицы продукции взвесить на количество продукции, произведенной в отчетном периоде:

где t₁q₁ – фактические затраты времени на производство всей продукции в отчетном периоде, а t₀q₁ указывает, сколько времени пришлось бы затратить на производство всей продукции отчетного периода в базисном периоде. В этом индексе, в отличие от приведенных выше, t₀ находится в числителе, а не в знаменателе, потому что время и производительность труда связаны обратной зависимостью: чем меньше затраты времени на производство продукции, тем выше при прочих равных условиях производительность труда. Поэтому, чтобы при исчислении индекса получить прямой показатель производительности труда, t₀ записывается в числитель, а t₁ – в знаменатель индекса.

Агрегатный индекс производительности труда, как индекс качественных показателей, также рассчитывается по весам (объему продукции) отчетного периода.

 

Индекс трудоемкости. Индекс трудоемкости характеризует изменение трудоемкости единицы продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным. Величина индекса трудоемкости обратно пропорциональна величине индекса производительности труда, вычисленной по затратам времени на производство единицы продукции. Формула индивидуального индекса:

а агрегатного -

Индекс трудоемкости является индексом качественных показателей и вычисляется  по весам отчетного периода.

 

Индекс выполнения плана. Особенность этого индекса заключается в том, что при его вычислении фактические данные сопоставляются не с базисными, а с плановыми, причем весами индекса могут быть показатели как плановые, так и фактические.

 

Среднеарифметические  и среднегармонические индексы.

Агрегатные индексы цен, физического  объема товарооборота и др. могут  быть вычислены при условии, если известны индексируемые величины и веса, т.е. р и q. Но в ряде случаев мы не располагаем необходимыми данными, а имеем произведение рq и индивидуальные индексы i. Возникает проблема построения средних индексов, идентичных агрегатным, путем осреднения индивидуальных индексов. Эта задача решается преобразованием агрегатного индекса в среднеарифметический и среднегармонический индексы.

Рассмотрим преобразование агрегатного  индекса в среднеарифметический на примере агрегатного индекса  физического объема товарооборота. В этом случае индивидуальные индексы должны быть взвешены на базисные соизмерители. Из индивидуального индекса физического объема товарооборота следует, что q₁=i_qq₀. Заменив q₁  в числителе агрегатного индекса физического объема товарооборота на i_qq₀, получим

.

Это и есть среднеарифметический индекс физического объема товарооборота.

В тех случаях, когда не известны отдельные значения p₁ и q₁, а дано их произведение p₁q₁ – товарооборот отчетного периода и индивидуальные индексы цен , а сводный индекс должен быть вычислен с отчетными весами, применяется среднегармонический индекс цен. Причем индивидуальные индексы должны быть взвешены таким образом, чтобы среднегармонический индекс совпал с агрегатным. Из формулы определеим неизвестное значение р₀ и, заменив в формуле агрегатного индекса цен значение , получим:

.

Индекс в такой форме называется среднегармоническим.

 

Система взаимосвязанных  индексов. Факторный анализ.

Система взаимосвязанных индексов дает возможность широко применять  индексный метод для изучения взаимосвязей общественных явлений, проведения факторного анализа с целью определения роли, влияния отдельных факторов на изменение сложного явления. И здесь снова возникает проблема весов.

Рассмотрим построение систем взаимосвязанных  индексов на примере индексов цен, физического  объема товарооборота и товарооборота. Агрегатные индексы цен, физического объема товарооборота и стоимости товарооборота изложены выше. При построении агрегатного индекса цен одна индексируемая величина является величиной переменной (р₁ и р₀), а вторая величина – веса индекса – принимается условно в качестве постоянной величины (q). В агрегатном индексе физического объема продукции переменной индексируемой величины является физический объем (количество) продукции (q₁ и q₀), а в качестве соизмерителя постоянной величины принимается цена (р₀). Таким образом, принцип построения индексов цен и физического объема продукции заключается в том, что они характеризуют изменение одного фактора при постоянном, неизменном значении другого фактора.

Величина индекса товарооборота  зависит не только от изменения цен  от одного периода к другому, но и от изменения физического объема товарооборота, т.е. не только от индекса цен, но и от индекса физического объема товарооборота. Связь между этими тремя индексами такая: I_pq=I_p*I_q. Чтобы убедиться в этом, подставим буквенные обозначения и получим:

.

При построении системы взаимосвязанных  индексов веса сопряженных индексов должны браться на уровне разных периодов. Если индексы качественных показателей  построены с весами отчетного  периода, то индексы количественных показателей должны быть построены с соизмерителями базисного периода. В противном случае не будет системы взаимосвязанных индексов.