Контрольная работа по "Методы оптимальных решений"

Задача 1

 

1.1. Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. ден. ед., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акций А должно быть приобретено на сумму по крайней мере в два раза большую, чем акций В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед.

Дивиденды по акциям А составляют 8% в год, по акциям В — 10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год?

 

Решение

 

Введем обозначения:

х₁ — инвестиции в акции концерна А.

х₂ — инвестиции в акции строительного предприятия В.

Экономико-математическая модель задачи будет иметь вид:

Построим ОДР задачи:

Прямые ограничения означают, что  область решений будет лежать в первой четверти Декартовой системы  координат.

Функциональные ограничения  определяют область, являющуюся пересечением нижних полуплоскостей с граничными прямыми:

I. (0;300) (300;0)

т.(0;0) –  входит в ОДР;

II. (200; 100), (0;0).

т.(1;0) – входит в ОДР;

III. (0;100) прямая параллельная оси ОХ.

т.(0;0) – входит в ОДР.

Рис. 1.

 

Пересечение указанных  полуплоскостей в первой четверти представляет собой треугольник АВСО (заштрихованная общая область для всех ограничений задачи ОДР).

Для определения направления  движения к оптимуму построим вектор-градиент, соединив его вершину Ñ (0,08;0,1) с началом координат О (0;0).

Построим некоторую линию уровня 0,08х₁+0,1х₂=а.

Пусть, например, а = 0

(0;0) (100;-80)

Такой линии уровня отвечает прямая ОХ, перпендикулярная вектору-градиенту.

При максимизации ЦФ необходимо перемещать линию уровня ОХ в направлении  вектора-градиента, а при минимизации – в противоположном направлении. Предельными точками при таком движении линии уровня ОХ являются соответственно точка В (максимум) и точка О (минимум). Далее она выходит из ОДР.

Определим координаты точки  В, являющейся точкой пересечения всех прямых.

х₁ = 200;

Таким образом, ЦФ в ЗЛП  принимает при х₁ = 100; х₂ = 200 максимальное значение, равное

f(х₁,х₂) = 0,08 х 100 + 0,1 х 200 = 28

 

 

                                                                   Задача 2

 

2.1. Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Тип сырья	Нормы расхода сырья  на одно изделие				Запасы сырья
	А	Б	В	Г
I	1	2	1	0	18
II	1	1	2	1	30
III	1	3	3	2	40
Цена изделия	12	7	18	10

 

Требуется:

1. Сформулировать прямую  оптимизационную задачу на максимум 

выручки от реализации готовой  продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3. Пояснить нулевые  значения переменных в оптимальном  плане.

4. На основе свойств  двойственных оценок и теорем  двойственности:

• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
• определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I и II видов на 4 и 3 единицы соответственно и уменьшении на 3 единицы сырья III вида;
• оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

 

Решение

 

1. Обозначим через х_j = 1-4 – количество продукции каждого вида и запишем математическую модель задачи критерию «максимум выручки от реализации готовой продукции»:

Оптимальный план задачи получен с помощью надстройки Excel Поиск решения:

 

Оптимальный план: Х₁=18, Х₂=0, Х₃=0, Х₄=11

Проверим как удовлетворяет система функциональных ограничений оптимальным планом Х* = (х₁ = 18, х₂ = 0, х₃ = 0, х₄ = 11)

1 х 18 + 2 х 0 + 1 х 0 + 0 х 11 = 18

1 х 18 + 1 х 0 + 2 х 0 + 1 х 11 = 29 < 30

1 х 18 + 3 х 0 + 3 х 0 + 2 х 11 = 40

Значение целевой  функции на этом плане равно:

f (X) = 12 х 18 + 7 х 0 + 18 х 0 + 10 х 11 = 326

2.

Двойственная  задача имеет вид:

min (18у₁+30у₂+40у₃)

Для нахождения оценок (у₁,у₂,у₃) используем вторую теорему двойственности.

Т.к. как 2-е ограничение выполняется  как строгое неравенство, то у₂=0.

Так как х₁>0 и х₄>0, то для получения двойственных оценок имеем систему линейных уравнений:

у₂ = 0

у₁ = 7, у₂ = 0, у₃ = 5.

Значение целевой функции составит:

min φ(Y) = 18 х 7 + 30 х 0 + 40 х 5 = 326

f(Х) = φ (Y) = 326

3. Нулевые значения  х₂, х₃ обозначает то, что продукцию данного вида выпускать нецелесообразно.

4. Прирост объемов сырья первого  типа на единицу дает приращение стоимости на 7 у.е., третьего типа – на 5 у.е., второго типа – не приведет к изменению стоимости. Недефицитным является сырье второго типа. Острее ощущается дефицит сырья первого типа, чем третьего.

Так как изменение сырья  II вида не приведет к изменению стоимости получим:

Х = (х₁ = 22, х₂ = 0,х₃ = 0, х₄ = 15)

Соответственно выручка увеличится на 78 у.е. и составит 404 у.е.

Изделие «» в план включать невыгодно, т.к. 7 х 2 + 0 х 2 + 5 х 2 – 10 = 14 >0.

Задача 3

 

3.1 Промышленная группа  предприятий (холдинг) выпускает  продукцию трех видов, при этом  каждое из трех предприятий  группы специализируется на выпуске  продукции одного вида: первое  предприятие специализируется на  выпуске продукции первого вида, второе предприятие — продукции второго вида; третье предприятие — продукции третьего вида.

Часть выпускаемой продукции  потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная  часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом).

Специалистами управляющей  компании получены экономические оценки a_ij (i = 1,2,3; j = 1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов y_i вектора конечной продукции Y.

Вариант №	Для первой строки				Для второй строки				Для третьей строки
	1А	2А	ЗА	4А	1Б	2Б	ЗБ	4Б	1В	2В	3В	4В
1	0,1	0,2	0,1	200	0,2	0,1	0,0	150	0,0	0,2	0,1	250

 

Предприятия (виды продукции)	Коэффициенты прямых затрат aij			Конечный продукт Y
	1	2	3
1	1А	2А	ЗА	4А
2	1Б	2Б	ЗБ	4Б
3	1В	2В	3В	4В

 

Требуется:

1. Проверить продуктивность  технологической матрицы А = (a_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2. Построить баланс (заполнить  таблицу) производства и распределения  продукции предприятий холдинга.

 

Решение

 

Отрасли	Коэффициенты прямых затрат, аij			Конечный продукт, Y
	1	2	3
1	0,1	0,2	0,1	200
2	0,2	0,1	0,0	150
3	0,0	0,2	0,1	250

 

А =

, Y =

Найдем матрицу (Е-А):

- =

Вычислим  определитель этой матрицы:

0,689

Транспонируем матрицу (Е-А):

Найдем алгебраические дополнения матрицы  :

  

  

  

  

_{Таким образом, присоединенная к матрице (Е-А) матрица имеет вид:}

Найдем  матрицу В коэффициентов полных материальных затрат:

Матрица А продуктивна, т. к. все  элементы матрицы В >0.

Найдем величины валовой продукции  трех отраслей (вектор Х):

Определим элементы первого  квадранта:

т.е. элементы первого, второго и  третьего столбцов заданной матрицы  умножим на величину Х₁ = 311,3, Х₂ = 235,8, Х₃ = 330,2 соответственно.

Составляющие третьего квадранта (условно чистая продукция) найдем как разность между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта.

Четвертый квадрант состоит из одного показателя и служит для контроля правильности расчета: сумма элементов второго квадранта должна в стоимостном материальном балансе совпадать с суммой элементов третьего квадранта.

Построим баланс производства и  распределения продукции отраслей.

Производящие структуры	Потребляющие  структуры
	1	2	3	Конечная продукция	Валовая продукция
1	31,1	47,2	33,0	200	311,3
2	62,3	23,6	0,0	150	235,8
3	0,0	47,2	33,0	250	330,2
Условно чистая продукция	217,9	117,9	264,2	600
Валовая продукция	311,3	235,8	330,2		877,4