Контрольная работа по "Эконометрике"

Эконометрика, задание 1.6.

 

Задание 1.6. Исследовать парную корреляционную зависимость суточной производительности доменной печи от процентного содержания железа в шихте. Построить уравнение регрессии и проверить его значимость. Выборка значений показателей приведена а таблице. На основе полученной зависимости дать прогноз производительности для шихты с содержанием железа 46,02%.

№п/п	Производительность доменной печи, тыс. т/сут.	Содержание железа в шихте, %	№п/п	Производительность доменной печи, тыс. т/сут	Содержание железа в шихте, %
1	2,75	44,72	20	2,74	44,75
2	2,98	49,96	21	2,72	44,21
3	2,6	42,06	22	2,62	43,16
4	2,94	47,98	23	2,82	45,83
5	3,06	50,1	24	2,66	43,36
6	2,65	43,15	25	2,79	45,36
7	2,97	48,48	26	2,88	46,92
8	3,02	49,48	27	2,74	44,67
9	2,68	43,13	28	2,86	45,6
10	2,93	47,9	29	2,68	43,75
11	2,78	45,3	30	2,58	41,68
12	2,66	42,81	31	2,68	43,44
13	2,99	48,89	32	2,76	44,06
14	3,03	49,64	33	2,81	45,67
15	3,03	49,68	34	3	49,05
16	2,98	48,73	35	2,94	47,52
17	2,73	44,44	36	2,88	46,02
18	2,77	45,29	37	2,63	42,61
19	2,91	47,43	38	2,95	48,54

Решение: В прямоугольной системе координат построим поле распределения производительности печи в зависимости от содержания железа в шихте в виде точек, отложив по горизонтальной оси содержания железа в шихте %, а по вертикальной оси – производительность доменной печи в тыс. т/сутки.

 

Расположение точек на поле рассеяния указывает на положительную связь производительности печи от процента содержания железа в шихте, т.е. с ростом содержания железа в шихте производительность печи в целом увеличивается. Зависимость близка к линейной.

Применением инструмента  "мастер диаграмм" MS Excel получено уравнение линии тренда и коэффициента детерминации:

Построить линейное уравнение тренда (уравнение регрессии) вида у = ax + b можно и по формулам, для чего выполним промежуточные расчёты, приняв в качестве независимой переменной х – процент содержания железа в шихте, а в качестве зависимой переменной у – производительность доменной печи.

Расчёт сведём в таблицу:

n	у	х	x·у	х2	у2
1	2,75	44,72	123,0	1999,9	7,6	2,7532	1,47	0,00001
2	2,98	49,96	148,9	2496,0	8,9	3,0468	16,23	0,00446
3	2,6	42,06	109,4	1769,0	6,8	2,6042	14,98	0,00002
4	2,94	47,98	141,1	2302,1	8,6	2,9359	4,20	0,00002
5	3,06	50,1	153,3	2510,0	9,4	3,0547	17,38	0,00003
6	2,65	43,15	114,3	1861,9	7,0	2,6652	7,73	0,00023
7	2,97	48,48	144,0	2350,3	8,8	2,9639	6,50	0,00004
8	3,02	49,48	149,4	2448,3	9,1	3,0199	12,60	0,00000
9	2,68	43,13	115,6	1860,2	7,2	2,6641	7,84	0,00025
10	2,93	47,9	140,3	2294,4	8,6	2,9314	3,88	0,00000
11	2,78	45,3	125,9	2052,1	7,7	2,7857	0,40	0,00003
12	2,66	42,81	113,9	1832,7	7,1	2,6462	9,74	0,00019
13	2,99	48,89	146,2	2390,2	8,9	2,9869	8,76	0,00001
14	3,03	49,64	150,4	2464,1	9,2	3,0289	13,76	0,00000
15	3,03	49,68	150,5	2468,1	9,2	3,0311	14,06	0,00000
16	2,98	48,73	145,2	2374,6	8,9	2,9779	7,84	0,00000
17	2,73	44,44	121,3	1974,9	7,5	2,7375	2,22	0,00006
18	2,77	45,29	125,5	2051,2	7,7	2,7851	0,41	0,00023
19	2,91	47,43	138,0	2249,6	8,5	2,9051	2,25	0,00002
20	2,74	44,75	122,6	2002,6	7,5	2,7549	1,39	0,00022
21	2,72	44,21	120,3	1954,5	7,4	2,7246	2,96	0,00002
22	2,62	43,16	113,1	1862,8	6,9	2,6658	7,68	0,00210
23	2,82	45,83	129,2	2100,4	8,0	2,8154	0,01	0,00002
24	2,66	43,36	115,3	1880,1	7,1	2,6770	6,61	0,00029
25	2,79	45,36	126,6	2057,5	7,8	2,7891	0,33	0,00000
26	2,88	46,92	135,1	2201,5	8,3	2,8765	0,98	0,00001
27	2,74	44,67	122,4	1995,4	7,5	2,7504	1,59	0,00011
28	2,86	45,6	130,4	2079,4	8,2	2,8025	0,11	0,00330
29	2,68	43,75	117,3	1914,1	7,2	2,6989	4,76	0,00036
30	2,58	41,68	107,5	1737,2	6,7	2,5829	18,07	0,00001
31	2,68	43,44	116,4	1887,0	7,2	2,6815	6,20	0,00000
32	2,76	44,06	121,6	1941,3	7,6	2,7162	3,50	0,00192
33	2,81	45,67	128,3	2085,7	7,9	2,8064	0,07	0,00001
34	3	49,05	147,2	2405,9	9,0	2,9958	9,73	0,00002
35	2,94	47,52	139,7	2258,2	8,6	2,9101	2,53	0,00089
36	2,88	46,02	132,5	2117,8	8,3	2,8260	0,01	0,00291
37	2,63	42,61	112,1	1815,6	6,9	2,6350	11,03	0,00002
38	2,95	48,54	143,2	2356,1	8,7	2,9673	6,81	0,00030
Сумма	107,200	1745,37000	4937,03760	80402,81350	303,17780	107,200	236,59148	0,01813
Средние	2,821053	45,930789	129,922042	2115,863513	7,978363

Дисперсии:

Тогда коэффициенты уравнения регрессии "а и b":

Т.о. то же получили уравнение регрессии:

По этому уравнению регрессии  рассчитаны выровненные значения затрат. Эти значения записаны в соответствующий столбец таблицы. Прямая линия по этому уравнению построена вместе с полем корреляции.

Из полученного уравнения регрессии  следует, что в среднем рост процентного содержания железа на 1% увеличивает производительность печи на 56,03 тонн/сутки.

Теснота связи между параметрами оценивается коэффициентом корреляции и детерминации. Линейный коэффициент корреляции:

Коэффициент детерминации:

Это же значение коэффициента детерминации выведено мастером диаграмм на поле рассеяния. Численное значение коэффициента корреляции близко к 1. Это означает, что линейная связь между параметрами очень сильная. Значение коэффициента детерминации R² = 0,9762 означает, что 97,62% вариации производительности печи связано с процентным содержанием железа в шихте, а 2,38% вариации результативного признака связано с другими факторами

Значимость уравнения регрессии  определим по t-критерию Стьюдента в соответствии с выражением:

Критическое значение t-критерия для 5%-ого уровня значимости при числе степеней свободы k = n – 2 = 38 – 2 = 36 по таблице t-распределения t_кр(0,05;36) = 2,028.

Т.к. наблюдаемое значение критерия выше критического, то гипотеза о значимости линейного коэффициента корреляции принимается, т.е. он значим на этом уровне значимости.

Оценим значимость линейного уравнения  регрессии с помощью критерия Фишера.

Критическое значение критерия по таблице  распределения Фишера:

Поскольку , то уравнение регрессии статистически значимо и надёжно.

Рассчитаем стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии:

Квадраты отклонений факторного признака от его среднего значения и квадраты отклонений фактический значений результативного признака от их выровненных значений, полученных по уравнению регрессии приведены в расчётной таблице.

Теперь рассчитаем фактические значения критерия t_факт для оцениваемых коэффициентов регрессии:

Критические значения Стьюдента

Поскольку для обоих коэффициентов, то они статистически значимы для выбранного уровня значимости α = 0,05.

При процентном содержании железа х_прогн = 46,02% уровень производительности печи может быть оценён по полученному уравнению регрессии величиной:

Стандартная ошибка прогноза:

Доверительный интервал прогноза для имеет следующий вид:

(у_прогн - t_крит×

, у_прогн + t_крит× )

Т.о. при процентном содержании железа в шихте в размере 46,02% производительность печи может составить от 2,8 тыс. т/ сутки до 2,87 тыс. т/сутки с вероятностью 95%.

Следует отметить, что в эмпирических данных имеется значение х = 46,02% (позиция  №36). При таком содержании железа фактическая производительность печи составила 2,88 тыс. т/сутки, т.е. не попадает в рассчитанный доверительный интервал. Это означает, что данная точка эмпирических данных существенно отклоняется от прямой линии регрессии и доверительная вероятность для неё ниже 95%.