Контрольная работа по "Эконометрике"

Задание 1

 

Для изучения структуры  банков по размеру кредита из 3000 банков страны по схеме собственно-случайной бесповторной выборки было отобрано 100. распределение банков по сумме выданных кредитов представлено в таблице:

Размер кредита, млн. руб.	1-6,3	6,3-11,6	11,6-16,9	16,9-22,2	22,2-27,5	Итого
Число банков	20	11	36	17	16	100

Найти: а) границы, в которых  с вероятностью 0,95 заключен средний  размер кредита всех банков; б) вероятность  того, что доля всех банков, выдающих кредит менее чем на 16,9 млн. руб., отличается от доли таких банков в выборке не более чем на 5% (по абсолютной величине); в) объем выборки, при котором те же границы для среднего размера кредита, всех банков, можно гарантировать с вероятностью 0,9876.

 

Решение:

 

1. Вычислим среднюю  арифметическую:

- по определению            

- метод моментов

где

   к= 5,3    С=14,25       

Все расчеты представим в таблице.

Размер кредита, млн. руб.	Число банков , f	Середина интервала x	xf	x-xc	(x-xc)2f	x2f	ui	uif	ui2f
1-6,3	20	3,65	73,00	-10,49	2202,48	266,45	-2	-40	80
6,3-11,6	11	8,95	98,45	-5,19	296,75	881,13	-1	-11	11
11,6-16,9	36	14,25	513,00	0,11	0,40	7310,25	0	0	0
16,9-22,2	17	19,55	332,35	5,41	496,82	6497,44	1	17	17
22,2-27,5	16	24,85	397,60	10,71	1833,89	9880,36	2	32	64
Итого:	100		1414,40		4830,36	24835,63		-2	172

 

2. Вычислим дисперсию: - по определению

- метод моментов

 

- метод разности      

 

3. Определим предельную  ошибку выборки для средней:

- для бесповторной выборки

по условию  по таблице t=1,96

    

 

4. Определим границы, в которых с вероятностью 0,95 заключен средний размер кредита всех банков:

 

 

   

Таким образом, с вероятностью 0,95 средний размер кредита всех банков заключен в границах от 12,805 до 15,483 млн. руб. 

 

5. Определим долю всех банков, выдающих кредит менее чем на 16,9 млн. руб.:

N=3000 n=100 m=67

Выборочная доля всех банков, выдающих кредит менее чем на 16,9 млн. руб.:

 

6. Определим среднюю квадратическую  ошибку бесповторной выборки  для доли:

- для бесповторной выборки

 

 

7. Определим искомую  доверительную вероятность:

 

, где        Δ=0,05

  по таблице γ=0,7199

Таким образом, вероятность  того, что доля всех банков, выдающих кредит менее чем на 16,9 млн. руб., отличается от доли таких банков в  выборке не более чем на 5% (по абсолютной величине) равна 0,7199.

 

8. Определим объем выборки, при  котором те же границы для  среднего размера кредита, всех  банков, можно гарантировать с  вероятностью 0,9876:

         по таблице t=2,5

Таким образом, объем  выборки, при котором те же границы  для среднего размера кредита, всех банков, можно гарантировать с  вероятностью 0,9876 составит 159.

 

Задание 2

 

По данным задачи 1, используя  χ² - критерий Пирсона, при уровне значимости α=0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – размер кредита – распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

Решение:

 

1. Проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с помощью критерия согласия Пирсона:

 

Определим вероятности  попадания случайной величины Х  в интервал (x_i; x_i+1) используя функцию Лапласа:

 где Ф(х) – функция Лапласа.

         

Все расчеты будем  производить в таблице:

 

 

Размер кредита, млн. руб.	Число банков , f			Ф(х")	Ф(х"")	р	пр	(п-пр)2	(п-пр)2/пр
1-6,3	20	-1,89	-1,13	-0,9412	-0,7415	0,09985	9,985	100,300	10,05
6,3-11,6	11	-1,13	-0,37	-0,7415	-0,2886	0,22645	22,645	135,606	5,99
11,6-16,9	36	-0,37	0,40	-0,2886	0,3108	0,2997	29,97	36,361	1,21
16,9-22,2	17	0,40	1,16	0,3108	0,754	0,2216	22,16	26,626	1,20
22,2-27,5	16	1,16	1,92	0,754	0,9451	0,09555	9,555	41,538	4,35
Итого:	100					0,94315	94,315		22,80

 

 

 

 

 

 

К=5-2-1=2 – число степеней свободы

χ²_табл=5,99 χ²=22,80>χ²_табл , следовательно, гипотеза о выбранном теоретическом нормальном законе  не согласуется с опытными данными.

 

2. Построим гистограмму  и соответствующую нормальную кривую:

 

Задание 3

 

Имеются данные по 50 предприятиям одной из отраслей промышленности за год. Распределение этих предприятий  по двум признакам – выпуск продукции  Х (млн. руб.) и численности работающих Y (чел.) – представлено в таблице:

у х	100-220	220-340	340-460	460-580	580-700	700-820	Итого
40-50	1	2	3				6
50-60		1	5	1			7
60-70		1	1		8	2	12
70-80			4	9			13
80-90			2	2	5		9
90-100						3	3
Итого	1	4	15	12	13	5	50

Необходимо:

1. Вычислить групповые средние Х_i  и Y_j и построить эмпирические линии регрессии.
2. Предполагая, что между переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений; б) вычислить коэффициент корреляции, на уровне значимости α=0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y; в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний выпуск продукции предприятия, число работающих на котором равно 700 человек.

 

Решение:

1. Вычислим групповые средние Х_i  и Y_j:      

 

Хi	45	55	65	75	85	95
Yj	320,00	400,00	610,00	483,08	560,00	760,00

 

Yj	160	280	400	520	640	760
Хi	45,00	52,50	63,00	75,00	72,69	83,00

 

2. Построим эмпирические линии регрессии:

3. Составим вспомогательную таблицу для определения  и , используя метод моментов:

     ,  где    к= 10    С=75

Интервал х	fi	Середина интервала x	ui	uif	ui2f
40-50	6	45	-3	-18	54
50-60	7	55	-2	-14	28
60-70	12	65	-1	-12	12
70-80	13	75	0	0	0
80-90	9	85	1	9	9
90-100	3	95	2	6	12
Итого:	50			-29	115

  

 

             

4. Составим вспомогательную таблицу для определения и :

    , где    k’= 120  C’=400   

Интервал	fj	Середина интервала y	vj	vjf	vj2f
100-220	1	160	-2	-2	4
220-340	4	280	-1	-4	4
340-460	15	400	0	0	0
460-580	12	520	1	12	12
580-700	13	640	2	26	52
700-820	5	760	3	15	45
Итого:	50			47	117