Динамика цен на рынке жилья

 В моментных временных  рядах уровни характеризуют значения  показателя по состоянию на  определенные моменты времени.  В интервальных рядах уровни характеризуют значение показателя за определенные периоды времени. Важная особенность интервальных временных рядов абсолютных величин заключается в возможности суммирования их уровней. Отдельные же уровни моментного ряда абсолютных величин содержат элементы повторного счета. Это делает бессмысленным суммирование уровней моментных рядов;

4. по расстоянию между датами и интервалами времени:

• равноотстоящие — когда даты регистрации или окончания периодов следуют друг за другом с равными интервалами;

• неполные (неравноотстоящие) — когда принцип равных интервалов не соблюдается;

5. по наличию пропущенных значений:

• полные

• неполные временные ряды.

           Временные ряды бывают детерминированными  и случайными: первые получают  на основе значений некоторой  неслучайной функции (ряд последовательных  данных о количестве дней в  месяцах); вторые есть результат  реализации некоторой случайной  величины.

В зависимости от наличия  основной тенденции выделяют стационарные ряды, в которых среднее значение и дисперсия постоянны, и нестационарные, содержащие основную тенденцию развития.

 

2.3. Нестационарные временные ряды

Начнем рассмотрение именно с нестационарных рядов, которые могут быть приведены к стационарному виду с помощью взятия последовательных разностей. Начнем с простейшего вида ряда I(1). Оказалось, что 2 разных по свойствам типа нестационарных рядов приводятся к стационарному виду с помощью взятия последовательных разностей.

1 тип: процесс с детерминированным  полиномиальным трендом.

X_t= P_k(t) ,где  P_k(t) – полином степени k  от  t,  а ε_t   – стационарный процесс, необязательно белый шум. Если ограничиться рассмотрением только линейного тренда  X_t = a + β_t + ε_t , то можно записать: 

∆ X_t = X_t - X_t-1 =(1-L) X_t= β+( ε_t - ε_t-1).

Поскольку ε_t – стационарный процесс, то его первая разность также стационарный процесс, хотя если ε_t – белый шум, то появляется МА-часть. В случае полиномиального тренда для приведения к стационарному виду нужно взять последовательную разность несколько раз.

2 тип:  процесс  случайного  блуждания:  X_t = µ + X_t-1 + ε_t . В этом случае X_t = µ+ ε_t   и процесс X_t  называется  случайным блужданием с дрейфом. Мы можем записать решение этого разностного уравнения в следующем виде:       X_t = µ_t  +   .       

Если случайное блуждание  можно привести к стационарному  виду только взятием первой разности, то ряд первого типа можно привести к стационарному виду также выделением линейного тренда, например построив линейную регрессию на время и рассмотрев стационарный остаток. Применим ли такой подход к случайному блужданию? Мы получим значимый по t-статистике коэффициент b. Метод наименьших квадратов как бы преобразует непостоянную дисперсию в значимый тренд, т.е. в непостоянное математическое ожидание. Таким образом, мы эти 2 типа процесса спутаем. Вопрос о том, насколько опасно путать эти 2 процесса между собой, привлек внимание относительно поздно. Для краткости введем следующие названия для этих типов нестационарных процессов.

1 тип: процесс, приводимый  к стационарному путем выделения  линейного тренда – TSP (trend stationary process). Это процесс вида 

X_t = a + β_t + ε_t , он приводится к стационарному процессу путем включения в регрессию линейного тренда. Это, в принципе, процесс, у которого есть детерминированный тренд. Иногда такой процесс называют TS.

2 тип: процесс, приводимый  к стационарному путем взятия  первой разности – DSP (diferencing stationary process). Вид этого процесса таков: 

X_t =  X_t-1 + ε_t. Иногда такой процесс называют DS.

Таким образом получаем следующее:

Процесс TSP не стационарен из-за непостоянного тренда, конечная память о шоках, он забывает об ошибке на предыдущем шаге сразу. Если вместо белого шума будет стоять более общий процесс ARMA(p,q), то, конечно, шоки сказываются некоторое время,но их влияние со временем ослабевает.

Процесс DSP не стационарен из-за непостоянной дисперсии, так как в явном решении стоит сумма всех предыдущих , то шоки помнятся все время. Это процесс с бесконечной памятью. Экономически это не оченьпонятно, шоки не должны сказываться постоянно.

Но ряды типа TS и DS можно сделать стационарным.

 

2.4 Стационарные временные  ряды

Важное значение в анализе временных рядов имеют стационарные временные ряды, вероятностные свойства которых не изменяются во времени. Стационарные временные ряды применяются, в частности, при описании случайных составляющих анализируемых рядов.

Временной ряд x_t,(t = 1, 2, ..., n) называется строго стационарным (или

стационарным в узком  смысле) , если совместное распределение вероятностей n наблюдений x₁, x₂, . . . , x_n такое же, как и n наблюдений x_1+k, x_2+k, . . . , x_n+k при любых n, t и k. Другими словами, свойства строго стационарных 2 рядов x_t, не зависят от момента k, т. е. закон распределения и его числовые характеристики не зависят от k. Следовательно, математическое ожидание M(x_t) = a, среднее квадратическое отклонение; σ(xt) = σ могут быть оценены по наблюдениям xt (t = 1, 2, ..., n) по формулам:

=  

=

Простейшим примером стационарного  временного ряда, у которого математическое ожидание равно нулю, а ошибки ε_t некоррелированы, является белый шум. Следовательно, можно сказать, что возмущения (ошибки) ε_t ( в классической линейной регрессионной модели образуют белый шум, а в случае их нормального распределения нормальный (гауссовский) белый шум.

Степень тесноты связи  между последовательностями наблюдений временного ряда x₁, x₂, . . . , x_n  и x_1+k, x_2+k, . . . , x_n+k (сдвинутых относительно друг друга на k единиц, или, как говорят, с лагом k) может быть определена с помощью коэффициента корреляции:

)

Так как  M()=M(x_t+k)=a, δ(t)=δ(t+k)=δ.

Так как коэффициент ρ(k) измеряет корреляцию между членами  одного и того же ряда, его называют коэффициентом автокорреляции, а  зависимость ρ(k) - автокорреляционной функцией или (ACF  autocorrelation function) .

Автокорреляционная функция  безразмерна, т.е. не зависит от масштаба измерения анализируемого временного ряда. Ее значения могут изменяться в пределах от −1 до +1; при этом ρ(0) = 1.

Кроме того, используется и  автоковариационная функция

γ(k)=M((,

где . Эти функции, очевидно, связаны соотношением

ρ(k) = γ(k)/γ(0). В силу стационарности временного ряда x_t (t = 1, 2, ..., n) автокорреляционная функция ρ(k) зависит только от лага k, причем ρ(−k) = ρ(k), т. е. при изучении ρ(k) можно ограничиться рассмотрением только положительных значений k. Функцию r(k) называют выборочной автокорреляционной функцией сокращенно ACF, а ее график  коррелограммой.

Наряду с автокорреляционной функцией при исследовании стационарных временных рядов рассматривается  частная автокорреляционная функция  или PACF (PACF partial autocorrelation function) ρ_part(k), где ρ_part(k) есть частный коэффициент корреляции между членами временного ряда x_t, и x_t+k, т. е. коэффициент корреляции между x_t, и x_t+k при устранении (элиминировании) влияния промежуточных (между x_t, и x_t+k) членов.

 

2.5 Q-статистика

До 1978г использовалась Q-статистика Бокса-Пирса, но выяснилось, что она имеет малую мощность, Бокс и Льюнг в 1978 г. предложили использовать для тех же целей улучшенную Q-статистику Бокса-Льюнга

,

которую, как и статистику Бокса Пирса, часто называют портманто-статистикой (port-manteau - statistics) . По сравнению со статистикой БоксаПирса различным слагаемым приданы разные веса.

Нулевая гипотеза в Q-критерии заключается в том, что ряд представляет собой белый шум, то есть является чисто случайным процессом. Используется стандартная процедура проверки: если расчетное значение Q-статистики больше заданного квантиля распределения , то нулевая гипотеза отвергается и признается наличие автокорреляции до m-го порядка в исследуемом ряду.

Для проверки наличия автокорреляции в моделях ARMA лучше воспользоваться более мощным и универсальным способом, а именно методом множителей Лагранжа (Lagrange multiplier  LM) , применительно к проверке автокорреляции остатков его еще называют тестом Бреуша-Годфри (Breusch-Godfrey).

Пусть рассматривается модель множественной регрессии

 

где x₁, ..., x_k - разные регрессоры, в том числе, возможно, и лаговые значения

как объясняющих, так и  объясняемой переменных. Проверим предположение, что e_t подчиняется авторегрессионой схеме порядка p, т.е. задается уравнением

, где  – белый шум.

В терминах коэффициентов  модели основная и альтернативная гипотезы принимают вид:

H₀ : γ₁ = · · · = γp = 0,

H₁ : + · · · + > 0.

Для проверки модели на нормальность проводят тест Жарге-Бера (Jarque Bera). Этот тест выглядит следующим образом. Он вычисляет выборочные значения для коэффициентов асимметрии

 

и эксцесса

 

Где выборочное среднее, а σ - выборочное среднеквадратичное остатков модели.

Таким образом, можно сделать  вывод о том, что для оценки качества моделей существует много  способов. Среди них тесты на автокорреляцию и нормальность распределения. Так  же используется построение автокорреляционных функций.

 

Глава 3. Анализ динамики и прогнозирование средней цены на первичном и вторичном рынке жилья в России.

Рассмотрим два временных  ряда:

• У- Средние цены на первичном рынке жилья по Российской Федерации (квартиры среднего качества (типовые)) за 1 кв м;
• Х- Средние цены на вторичном рынке жилья по Российской Федерации (квартиры среднего качества (типовые)) за 1 кв м.

Данные взяты по годам  с 1998 года по 2012 с официального сайта ГОСКОМСТАТа:

Y	X
4216	4431
5704	5371
7690	6422
9122	8789
11443	11254
14320	13659
18131	17911
22008	21916
32504	36198
40971	44630
49138	53752
44481	48940
46807	56762
44777	44002
49872	48102

Все расчеты выполняются  с помощью программы EViews.

Сначала, чтобы убедиться, что эти ряды связаны между собой проведем тест Грэйнжера, нулевые гипотезы которого заключаются в следующем:

Н0: ряд У не является причиной по Грейнджеру для ряда Х;

Н0: ряд Х не является причиной по Грейнджерудля ряда У.

А альтернативные гипотезы:

Н1: ряд Уявляется причиной по Грейнджеру для ряда Х;

Н1: ряд Х является причиной по Грейнджерудля ряда У.

 

 

 

Pairwise Granger Causality Tests
Date: 05/07/13   Time: 09:44
Sample: 1 15
Lags: 2
Null Hypothesis:	Obs	F-Statistic	Prob.
X does not Granger Cause Y	13	1.02299	0.4022
Y does not Granger Cause X		4.11036	0.0592

 
F_крит = 3.805565

F_набл> F_крит , значит гипотеза «Y does not Granger Cause X» (У не является причиной по Грэйнжеру для Х) отвергается, т.е. средние цены на первичном рынке жилья влияют на изменение цен на вторичном рынке.

Теперь проверим являются ли наши ряды стационарными или же нет. Для анализа ряда на стационарность используется тест на наличие единичного корня – тест Дики-Фуллера (DF) или расширенный тест Дики-Фуллера (ADF). В ADF-тесте нулевая гипотеза заключается в наличии единичного корня. Проверка гипотезы осуществляется путем сравнения фактической величины t-статистики с соответствующим табличным значением. Если абсолютное значение фактического значения t превысит табличное на установленном уровне значимости, то нулевая гипотеза должна быть отвергнута и принята альтернативная гипотеза, заключающаяся в отсутствии единичных корней и стационарности временного ряда.

 После проверки на  стационарность без нахождения  первой производной выяснили, что  оба ряда не являются типа  TS, так как они не являлись стационарным ни на одном из уровней значимости. Но после нахождения первой производной и выделения тренда и константы мы получили, что ряды стационарны:

 

Null Hypothesis: D(Y) has a unit root
Exogenous: Constant, Linear Trend
Lag Length: 2 (Automatic - based on SIC, maxlag=2)
			t-Statistic	Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic			-4.719551	0.0248
Test critical values:	1% level		-5.521860
	5% level		-4.107833
	10% level		-3.515047