Прогнозирование расчетов

Прогноз выражает предвидение  на уровне конкретно-прикладной теории. Таким образом, прогноз отличается от гипотезы меньшей степенью неопределенности и большей достоверностью. В то же время связи прогноза с исследуемым  объектом, явлением не являются жесткими, однозначными: прогноз носит вероятностный  характер. "Прогноз (forecast) – вероятностное утверждение о будущем с относительно высокой степенью достоверности" (Э. Янч).

Под методом прогнозирования  понимается совокупность приемов и  способов мышления, позволяющих на основе анализа ретроспективных  данных, внешних и внутренних связей объекта прогнозирования, а также  их измерения в рамках рассматриваемого явления или процесса вывести  суждения определенной достоверности  относительно будущего развития объекта. "Метод прогнозирования – способ исследования объекта прогнозирования, направленный на разработку прогнозов" (Э. Янч).

Содержательная интерпретация  методов определяется природой, особенностями  и закономерностями исследуемых  процессов. Оценка будущих состояний  процессов и явлений производится на базе уже накопленных знаний о  сущности, свойствах и закономерностях  существующих или предполагаемых тенденций  их развития.

Методы прогнозирования  позволяют найти меру влияния  отдельных закономерностей и  причин развития, представить объект прогноза как динамическую систему  измеренных с определенной степенью достоверности взаимодействий реальных явлений, факторов, сил общественной деятельности и тем самым дать возможность воспроизвести с  определенной степенью вероятности  поведение этой системы в будущем.

 

 

Обычно методы экстраполяции  трендов применяются в краткосрочном (не более одного года) прогнозировании, когда число изменений в среде  минимально. Прогноз создается для  каждого конкретного объекта  отдельно и последовательно на каждый следующий момент времени. Если прогноз составляется для товара (продукта/услуги), в задачи прогнозирования, основанного на экстраполяции трендов, входят анализ спроса и анализ продаж этого продукта Результаты прогнозирования используются во всех сферах внутрифирменного планирования, включая общее стратегическое планирование, финансовое планирование, планирование производства и управления запасами, маркетинговое планирование и управление торговыми потоками и торговыми операциями.

Наиболее распространенными  методами экстраполяции трендов  являются:

• метод скользящего среднего;

• метод экспоненциального сглаживания.

Экспоненциальное сглаживание  популярный метод прогнозирования  многих временных рядов. Исторически  метод был независимо открыт Брауном  и Холтом. Броун служил на флоте США во время второй мировой войны, где занимался обнаружением подводных лодок и системами наведения. Позже он применил открытый им метод для прогнозирования спроса на запасные части. Свои идеи он описал в книге, вышедшей в свет в 1959 году. Исследования Холта были поддержаны Департаментом военно-морского флота США. Независимо друг от друга, Броун и Холт открыли экспоненциальное сглаживание для процессов с постоянным трендом, с линейным трендом и для рядов с сезонной составляющей.

 

 

Линейный метод Холта

Холт предложил усовершенствованный метод экспоненциального сглаживания, впоследствии названный его именем. Значения уровня и тренда сглаживаются с помощью экспоненциального сглаживания. Причем параметры сглаживания у них различны.

 

 

 

 

 

Здесь первое уравнение описывает  сглаженный ряд общего уровня.

Второе уравнение служит для оценки тренда.

Третье уравнение определяет прогноз на m отсчетов по времени  вперед.

- Lt обозначает уровень временного ряда и используется для моделирования тренда.

- bt обозначает тренд (наклон)

- Уровень ряда корректируется  непосредственно с учетом тренда  предшествующий период (bt-1) путем  добавления его к прошлому  уровню.

- Затем сам тренд корректируется  как разница между двумя последними  значениями временного ряда.

- Прогноз формируется  путем добавления тренда к  последнему уровню ряда.

Постоянные сглаживания  в методе Холта подбираются, например, путем перебора по этим параметрам с каким-то шагом. Можно использовать и менее сложные в смысле количества вычислений алгоритмы. Главное, что всегда можно подобрать такую пару параметров, которая дает большую точность модели на тестовом наборе и затем использовать эту пару параметров при реальном прогнозировании.

Частным случаем метода Холта является метод Брауна, когда  .

Модель Холта

 

 

Часто при исследовании временных  рядов используют методы экспоненциального  сглаживания (модели Брауна). Это объясняется  тем, что они позволяют более  обоснованно и сбалансировано учитывать  в текущем сглаженном уровне временного ряда его историю. Одна из основных особенностей этих методов заключается  в том, для расчета сглаженного  значения уровня St необходимо знать предыдущее сглаженное значение St-1 и фактическое значение временного ряда уt.

Метод Брауна – самый  распространённый метод краткосрочного прогнозирования в экономике. Скоро  ему "стукнет" пятьдесят лет.

 

 

Первое, что необходимо отметить в сглаживании Брауна – это  принципиально другое оценивание весов  предыдущих значений ряда. Если записать значение сглаженного ряда St и последовательно раскрывать значения St-1, St-2, …, через предыдущие уровни ряда и так до y0=S0, используя рекуррентное соотношение (3.2), то в итоге легко получаем следующее представление исходного соотношения:

 

.

 

В итоге получаем следующее  рекуррентное соотношение для вычисления усредненного значения ряда методом  Брауна:

 

                                                                       (3),

 

где t в данном случае число  членов ряда;

S0 – является начальным  уровнем временного ряда, характеризующая начальные условия.

Р. Браун предлагает определять величину б исходя из длины сглаживаемого  ряда:

 

.

 

Что касается начального параметра S0, то в конкретных задачах его  берут или равным значению первого  уровня ряда У1, или равным средней арифметической нескольких первых членов ряда, например, членов у1, у2, у3:

 

.

 

Также начальное значение может быть оценено исходя из уже  полученной формулы, из которой следует, что начальному значению после t итераций придается вес  . Правильный выбор начального уровня может иметь существенное значение, так как заведомо неверное значение при небольшом количестве наблюдений может привести к большим ошибкам прогнозов. В этой ситуации можно придать   большое значение и тем самым быстро погасить влияние нулевого уровня, но при большом   снижаются сглаживающие свойства модели.

Рассмотрим полученную формулу (3). Допустим, что в нашем распоряжении достаточно большой временной ряд, т.е.  , тогда значение второго слагаемого формулы (3)   быстро стремиться к 0 за счет свойств сглаживаемого ряда. Соответственно, приближенная оценка t-го члена сглаженного ряда может быть получена из следующего соотношения:

 

                                                                                  (4),

 

то есть величина St – сглаженное значение ряда, является взвешенной суммой всех членов ряда. При этом величины весов в зависимости от того насколько далеко отстоит уровень от сглаживаемого будут убывать экспоненциально, что очевидно из соотношения (4). Вес значения уровня (t) составит  , вес для уровня (t-1)составит  , для уровня

(t-2) составит   и так  далее, для y0 соответственно –   при бесконечно большом N.

Определим модельную дисперсию  ряда, заданного соотношением (4).

 

,

 

где:   – среднее  квадратичное отклонение для выборки  равно:

 

 

 

где: yt – фактические значения показателя,

St – расчетные значения показателя,

n – число наблюдений,

m – коэффициент тренда (для экстраполяции на основе  среднего значения временного  ряда m = 1, для линейного тренда m = 2, для квадратичного тренда m = 3).

Так как значение параметра  сглаживания ряда динамики колеблется в пределах  , то сглаженный ряд имеет то же математическое ожидание, что и исходный, но меньшую дисперсию . Также можно заметить, что, изменяя значение сглаживающего фильтра , мы влияем на силу сглаживания. Чем больше величина   приближается к единице, тем более «актуальным» становиться ряд. Чем меньше параметр сглаживания, тем больше сокращается дисперсия исходного ряда.

Реакция модели при критических  значениях  .

Выбор величины постоянной сглаживания требует особого  внимания. Если взять  , то получим , то есть адаптация модели отсутствует. Если принять  , то получим , то есть модель, в которой сглаженное значение равно фактическому уровню временного ряда.

На практике подбор допустимого  значения параметра сглаживания  рекомендуется производить эмпирическим путем, то есть, итеративно перебирая  его возможные значения и выбирая  оптимальный уровень коэффициента по критерию минимизации дисперсии  ошибки прогноза на тестовом наборе данных. Этот способ предлагается как наиболее достоверный. На выбор постоянной сглаживания  будут влиять конкретные специфические характеристики временного ряда. Опыт исследователей показывает, что наибольшая точность при прогнозировании экономических временных рядов может быть достигнута при практически любом допустимом значении  . Основываясь на опыте исследований можно отметить, что в случае, когда параметр принимает значения близкие к 1, следует подвергнуть сомнению законность выбора данной модели. Так как это может свидетельствовать о наличии в ряду ярко выраженных тенденций или сезонных колебаний. Для таких рядов следует использовать другие модели, более эффективные. Стоит отметить, что на величину постоянной сглаживания также может оказывать влияние период упреждения. При увеличении периода прогноза следует учитывать общую тенденцию за прошлые периоды, нежели последние изменения.

Под периодом упреждения при  прогнозировании понимается отрезок  времени от момента, для которого имеются последние статистические данные об изучаемом объекте, до момента, к которому относится прогноз.

Экстраполяция тренда

Операцию экстраполяции  в общем виде можно представить  в виде определения значения функции:

 

,

 

где   – экстраполируемое значение уровня; L – период упреждения; уt – уровень, принятый за базу экстраполяции.

При предположении о том, что средний уровень ряда не имеет  тенденции к изменению или  если это изменение незначительно, экспоненциальное сглаживание Брауна предполагает оценивание текущего значения одного коэффициента в прогнозной модели динамики временного ряда следующим  образом

 

,

 

т.е. прогнозируемый уровень  равен среднему значению уровней  в прошлом, прогнозирование ведется  на один шаг вперед, то прогнозное значение   является точечной оценкой.

Границы доверительные интервального  прогноза, проведенного методом простого экспоненциального сглаживания  можно оценить следующим образом:

 

.

 

Здесь   – коэффициент  экспоненциального сглаживания, изменяется от 0 до 1.

Если 0<  <0,5, то при расчете  прогноза учитываются прошлые значения временного ряда, а при 0,5< <1 –  значения, близкие к периоду упреждения.

Примерное значение коэффициента сглаживания определяют по формуле  Р.Брауна:

 

 

 

где m – число уровней  временного ряда, входящих в интервал сглаживания.

  – табличное значение t – статистики Стьюдента с  n-1 степенями и уровнем вероятности  p.

Прогноз на период  равен: