Контрольная работа по «Экономико – математические методы и модели в экономике»

    Министерство  образования и науки Российской Федерации

 

       Новосибирский государственный технический университет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине «Экономико – математические методы и модели в экономике»

 

 

            Выполнил:

 

Студент группы : ЭМЗ – 001

Заочного факультета

Литвинов Д.В.

Шифр: 080809206

Вариант 6

 

 

             Проверил:

 

Джафаров К.А.

 

 

Новосибирск, 2015 г.

 

Задача 1

На заготовительный участок поступили стальные прутья длиной 111 см. Необходимо разрезать их на заготовки по 19, 23 и 30 см. Последних требуется соответственно 311, 215 и 190 шт. Построить модель, на основе которой можно сформулировать задачу выбора варианта выполнения этой работы, при котором число разрезаемых прутьев минимально.

Решение

Нетрудно перебрать все возможные варианты разреза:

Варианты разреза	Вид прутьев			Отходы
	19	23	30
1	5	-	-	16
2	4	1	-	12
3	4	-	1	5
4	3	2	-	8
5	3	1	1	1
6	2	3	-	4
7	2	0	2	13
8	1	4	0	0
9	1	2	1	16
10	1	1	2	9
11	1	-	3	2
12	-	3	1	12
13	-	2	2	5

Пусть − количество прутьев, разрезаемых по варианту с номером i=1,13. Набор натуральных чисел составляет план разреза. Из условий задачи вытекают следующие ограничения на неизвестные.

Суммарное количество отходов описывается функцией:

 

Задача 2

Построить математическую модель некоторого социально-экономического явления (конфликтной ситуации) посредством инструментов теории игр. Найдите решение поставленной задачи или укажите алгоритм решения.

Решение

Сельскохозяйственное предприятие планирует посадить некоторую сельскохозяйственную культуру двух сортов. Посевная площадь 1000 га. Сорта отличаются друг от друга требованиями к влаге во время вегетационного периода. Проанализировав погодные условия, выделены 4 состояния погоды (S1, S2, S3, S4), отличающиеся режимом осадков. Средняя урожайность (ц/га) каждого сорта на всем участке для каждого состояния погоды приведена в таблице:

	S1	S2	S3	S4
Сорт 1	25	31	33	39
Сорт 2	38	35	30	26

Возможные варианты посева:

А1) сорт 1 посадить на 100% площади;

А2) сорт 1 посадить на 75% площади, сорт 2 посадить на 25% площади;

А3) сорт 1 посадить на 50% площади, сорт 2 посадить на 50% площади;

А4) сорт 1 посадить на 25% площади, сорт 2 посадить на 75% площади;

А5) сорт 2 посадить на 100% площади;

Определить оптимальную стратегию с помощью критериев недостаточного основания Лапласа, максиминного критерия Вальда, критерия минимаксного риска Сэвиджа, пессимизма-оптимизма Гурвица (коэффициент пессимизма взять равным 0,4).

Решение

А1) сорт 1 посадить на 100% площади;

По критерию Байеса за оптимальные принимается та стратегия (чистая) Ai, при которой максимизируется средний выигрыш a или минимизируется средний риск r. 
Считаем значения ∑(aijpj) 
∑(a1,jpj) = 25•1 + 38•0 = 25 
∑(a2,jpj) = 31•1 + 35•0 = 31 
∑(a3,jpj) = 33•1 + 30•0 = 33 
∑(a4,jpj) = 39•1 + 26•0 = 39

Ai	П1	П2	∑(aijpj)
A1	25	0	25
A2	31	0	31
A3	33	0	33
A4	39	0	39
pj	1	0	0

 
Выбираем из (25; 31; 33; 39) максимальный элемент max=39 
Вывод: выбираем стратегию N=4. 
А2) сорт 1 посадить на 75% площади, сорт 2 посадить на 25% площади;

По критерию Байеса за оптимальные принимается та стратегия (чистая) Ai, при которой максимизируется средний выигрыш a или минимизируется средний риск r. 
Считаем значения ∑(aijpj) 
∑(a1,jpj) = 25•0.75 + 38•0.25 = 28.25 
∑(a2,jpj) = 31•0.75 + 35•0.25 = 32 
∑(a3,jpj) = 33•0.75 + 30•0.25 = 32.25 
∑(a4,jpj) = 39•0.75 + 26•0.25 = 35.75 

 

Ai	П1	П2	∑(aijpj)
A1	18.75	9.5	28.25
A2	23.25	8.75	32
A3	24.75	7.5	32.25
A4	29.25	6.5	35.75
pj	0.75	0.25	0

 
Выбираем из (28.25; 32; 32.25; 35.75) максимальный элемент max=35.75 
Вывод: выбираем стратегию N=4.

А3) сорт 1 посадить на 50% площади, сорт 2 посадить на 50% площади;

По критерию Байеса за оптимальные принимается та стратегия (чистая) Ai, при которой максимизируется средний выигрыш a или минимизируется средний риск r. 
Считаем значения ∑(aijpj) 
∑(a1,jpj) = 25•0.5 + 38•0.5 = 31.5 
∑(a2,jpj) = 31•0.5 + 35•0.5 = 33 
∑(a3,jpj) = 33•0.5 + 30•0.5 = 31.5 
∑(a4,jpj) = 39•0.5 + 26•0.5 = 32.5 

Ai	П1	П2	∑(aijpj)
A1	12.5	19	31.5
A2	15.5	17.5	33
A3	16.5	15	31.5
A4	19.5	13	32.5
pj	0.5	0.5	0

 
Выбираем из (31.5; 33; 31.5; 32.5) максимальный элемент max=33 
Вывод: выбираем стратегию N=2.

А4) сорт 1 посадить на 25% площади, сорт 2 посадить на 75% площади;

По критерию Байеса за оптимальные принимается та стратегия (чистая) Ai, при которой максимизируется средний выигрыш a или минимизируется средний риск r. 
Считаем значения ∑(aijpj) 
∑(a1,jpj) = 25•0.25 + 38•0.75 = 34.75 
∑(a2,jpj) = 31•0.25 + 35•0.75 = 34 
∑(a3,jpj) = 33•0.25 + 30•0.75 = 30.75 
∑(a4,jpj) = 39•0.25 + 26•0.75 = 29.25 

Ai	П1	П2	∑(aijpj)
A1	6.25	28.5	34.75
A2	7.75	26.25	34
A3	8.25	22.5	30.75
A4	9.75	19.5	29.25
pj	0.25	0.75	0

 
Выбираем из (34.75; 34; 30.75; 29.25) максимальный элемент max=34.75 
Вывод: выбираем стратегию N=1.

А5) сорт 2 посадить на 100% площади;

По критерию Байеса за оптимальные принимается та стратегия (чистая) Ai, при которой максимизируется средний выигрыш a или минимизируется средний риск r. 
Считаем значения ∑(aijpj) 
∑(a1,jpj) = 25• + 38•1 = 38 
∑(a2,jpj) = 31• + 35•1 = 35 
∑(a3,jpj) = 33• + 30•1 = 30 
∑(a4,jpj) = 39• + 26•1 = 26

Ai	П1	П2	∑(aijpj)
A1	0	38	38
A2	0	35	35
A3	0	30	30
A4	0	26	26
pj		1	0

Выбираем из (38; 35; 30; 26) максимальный элемент max=38 
Вывод: выбираем стратегию N=1.

 

 

 

 

 

 

Задача 3

Рассмотреть реальную систему массового обслуживания. Опишите систему. Найдите стационарные характеристики системы: среднее время пребывания клиента в очереди; среднее число клиентов в системе; доля времени, течение которого система простаивает и т.д.

 

Решение:

Железнодорожная касса продает билеты. Интенсивность потока пассажиров, желающих купить билеты, равна 0,9 пассажиров в минуту. На обслуживание пассажиров кассир тратит в среднем 2 минуты. Требуется рассчитать основные характеристики этой СМО.

 

В кинотеатре перед сеансом, на кассе происходит продажа билетов. Интенсивность клиентов, которые хотят приобрести билет, равна 0,9 клиентов в минуту. На выбор места и оплату билетов в среднем тратится 2 минуты. Рассчитаем основные характеристики данной системы массового обслуживания (смо).

 

 

В данном случае имеем одноканальную смо с интенсивностью поступлений =0,5 клиент/мин и интенсивностью обслуживания пасс/мин.

P=λ / μ = 0,45 / 0,5 = 0,9

Т.к. , то система имеет стационарный режим работы.

Вероятность простоя кассы:

Среднее число клиентов:

EX = p / 1 – p = 0,9 / (1 – 0,9) = 9

Среднее время пребывания клиента у кассы:

Ev = EX / λ = 9 / 0,5 = 18 минут

Среднее время, проведенное клиентом в очереди:

Eq = Ev – 1/μ = 18 – 1/0,5 = 9 минут