Экономические модели в управленческом решении

Важнейшим видом  формализованного знакового моделирования  является математического моделирование, осуществляемое средствами языка математики и логики. Для изучения какого-либо класса явлений внешнего мира строится его математическая модель. Математическая модель – это приближенное описание какого-либо класса явлений, выраженное с помощью математической символики. Математическая модель представляет собой совокупность соотношений (формул, уравнений, неравенств, логических условий), определяющих процесс изменения состояния системы в зависимости от ее параметров, входных сигналов, начальных условий и времени.  

Вид математической модели зависит от природы реального  объекта, от задачи исследования объекта, от требуемой достоверности и  точности решения поставленной задачи. Математическая модель, как и любая  другая, описывает реальный объект лишь с некоторой степенью приближения к действительности. Процесс математического моделирования подразделяется на четыре основных этапа (рис 1).

1 этап: формулирование  законов, связывающих основные  объекты модели, т.е. запись в  виде математических терминов сформулированных качественных представлений о связях между объектами модели.

2 этап: исследование  математических задач, к которым  приводят математические модели. Основной вопрос – решение  прямой задачи, т.е. получение  в результате анализа модели  выходных данных (теоретических следствий) для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемых явлений.

3 этап: корректировка  принятой гипотетической модели  согласно критерию практики, т.е.  выяснение вопроса о том, согласуются  ли результаты наблюдений с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений. Если модель была вполне определена – все параметры ее были даны, – то определение уклонений теоретических следствий от наблюдений дает решения прямой задачи с последующей оценкой уклонений. Если уклонения выходят за пределы точности наблюдений, то модель не может быть принята. Часто при построении модели некоторые ее характеристики остаются неопределенными. Применение критерия практики к оценке математической модели позволяет делать вывод о правильности положений, лежащих в основе подлежащей изучению модели.

4 этап: последующий  анализ модели в связи с  накоплением данных об изученных  явлениях и модернизация модели.

Для построения математической модели конкретной задачи (проблемы) следует:

−      определить известные и неизвестные величины, а также существующие условия и предпосылки;

−      выявить важнейшие факторы проблемы;

−      выявить управляемые и неуправляемые параметры;

−      выполнить математическое описание посредством уравнений, неравенств, функций и иных отношений взаимосвязей между элементами модели (параметрами, переменными), исходя из содержания рассматриваемой задачи.

Исходной информацией  при построении математической модели служат данные о назначении и условиях работы исследуемой (проектируемой) системы. Эта информация определяет основную цель моделирования системы и позволяет сформулировать требования к поставленным задачам:

−      экономические задачи должны ставиться и решаться количественно, путем объективного расчета;

−      экономические задачи выбора рассматриваются как экстремальные;

−      функционирование экономики в целом предприятия или отдельного подразделения следует оценивать по некоторому критерию;

−     оптимальный вариант решения выбирается в условиях ограниченности ресурсов.

При математическом описании задач управления выделяют три типа задач:

1. Детерминированные задачи – задачи, которые формулируются в условиях полной определенности в значениях используемых параметров, составе и виде влияющих ограничивающих условий. В математическом представлении такое описание имеет однозначность, что позволяет получить однозначное решение. Например, стратегия действий «а» приведет к результату «А», стратегия действий «в» приведет к результату «В».  Чтобы выбрать нужную стратегию, следует установить, какой результат является оптимальным.

2. Вероятностные задачи – задачи, которые включают в своей постановке параметры, задаваемые в виде вероятностных величин, для которых известны вероятности достижения возможных значений. Решение таких задач («задач с риском») формулируется как конкретные результаты с вероятностной оценкой каждого из них.

3. Задачи в условиях неопределенности. Такие задачи возникают в ситуациях, когда отсутствует предварительная вероятностная оценка возможных будущих ситуаций или значений параметров, которые их характеризуют.

Экономико-математические методы рассматриваются как ряд  самостоятельных разделов, изучающих  методы решения определенных классов  задач. Прежде всего, экономико-математические модели подразделяются на методы решения задач линейного и нелинейного программирования, ниже приведены некоторые из них.

1. Регрессивный анализ  представляет собой статистическую  процедуру для математического  расчета среднего соотношения  зависимой и независимой переменных. Выделяют два вида регрессии: простую регрессию, которая включает одну независимую переменную и множественную, которая включает две и более переменных.

2. Метод Лангранжа основан  на дифференциальном исчислении  – поиске оптимального решения  через вычисление производных оптимизируемой функции. Метод Лангранжа применяется в случаях наличия ограничивающих условий и позволяет перейти от оптимизационной задачи имеющей ограничения к альтернативной оптимизационной задаче без ограничений, при условии совпадения решений.

3. Метод Гауса – это  способ решения оптимизационной  задачи, у которой оценка и  ограничения являются линейными  функциями, который представляет  собой последовательное изменение  состава опорного решения до  получения оптимального варианта, не допускающего улучшения.

4. Линейное программирование  – это наука о методах исследования  и отыскания наибольших и наименьших  значений линейной функции, на  неизвестные которой наложены  линейные ограничения. Таким образом, задачи линейного программирования относятся к задачам на условный экстремум функции. Для решения задач линейного программирования потребовалось создание специальных методов. Особенно широкое распространение линейное программирование получило в экономике, так как исследование зависимостей между величинами, встречающимися во многих экономических задачах, приводит к линейной функции с линейными ограничениями, наложенными на неизвестные. В менеджменте используют модель линейного программирования для определения оптимального способа распределения дефицитных ресурсов при наличии конкурирующих потребностей. Например: планирование ассортимента изделий, регулирование запасов, планирование распределения продукции, определение оптимального местоположения нового завода и др.

В условиях рыночных отношений, когда сырьевые ресурсы  ограничены, возникает вопрос оптимизации  прибыли, себестоимости и экономии ресурсов. Оптимизационные модели разного  характера часто сводятся к задачам  линейного программирования. Математическая модель оптимизации содержит одну целевую функцию, в которой показательной является эффективность производства, и систему ограничений, куда входят факторы, в области которых модель не теряет своей практической ценности.

5. Целочисленное программирование. Под целочисленным или дискретным программированием понимают задачи, в которых искомые переменные могут принимать только целые значения: число рабочих, количество единиц оборудования, устанавливаемых на заданной площади и пр. Решение задач целочисленного программирования трудоемко, поэтому по возможности не накладывают ограничений целочисленности переменных.

В ряде случаев  задачу целочисленного программирования решают как: непрерывную задачу линейного  программирования; округляют переменные; проверяют допустимость округленного решения, если решение допустимо, то оно принимается как целочисленное. При необходимости точного решения применяют специальные методы, где учитывается, что множество решений любой целочисленной задачи – конечно.

Трудоемкость  данного метода возрастает с ростом числа переменных и области граничных  условий, поэтому в реальных задачах  применяют методы, в которых не рассматриваются все возможные  альтернативы. Распространены методы отсечений и методы возврата, среди которых наиболее известен метод ветвей и границ. Метод ветвей и границ – это способ оптимального решения задачи через сравнение всех допустимых целочисленных решений.

6. Задачи с  булевыми переменными – это  самые различные по содержанию  задачи, в которых нужно что-то выбирать из имеющихся различных вариантов. Булевыми переменными (в честь английского математика Джорджа Буля) называются переменные, которые в результате решения могут принимать не любое целое значение, а только одно из двух: 0 либо 1.

7. Параметрическое программирование – это решение параметрической задачи, в которой от определенного параметра линейно зависят свободные члены системы уравнений, коэффициенты при неизвестных в целевой функции и в системе уравнений. Например: наличие ресурсов от предложений поставщиков, цена изделия от спроса, нормы расхода ресурсов от применяемых технологий.

8. Блочное программирование  используется для решения задач  многоуровневой иерархической структуры,  которые ставятся применительно  к производственным комплексам, холдингам, финансово-промышленным группам, корпорациям и т.п. Эти организации состоят из нескольких предприятий, имеющих свои локальные характеристики (ресурсами, показателями) и в то же время объединенных совокупностью ограничений и единой целевой функцией. Блочное программирование включает модели, в которых отдельные ограничивающие условия содержат все переменные (ограничения, образующие блок-связку) и модели, которые имеют только часть переменных (ограничения, образующие блоки).

9. Теория графов  использует наглядность геометрии при анализе больших технических и организационных систем. Граф – это совокупность вершин и ребер. Каждую вершину сети нумеруют порядковым номером, дугу сети – двойной индексацией. Каждая дуга имеет свои характеристики. Зная топологию сети и ее параметры можно решать разнообразные задачи оптимизации.

Теория графов широко используется при моделировании  как программных, так и аппаратных компонентов вычислительных систем. Например, она часто используется для оценки времени исполнения программ разного уровня. В этих моделях вершины представляют отдельные программы, модули либо операторы, а дуги – передачу управления между ними. Либо наоборот, соответствуют фрагментам программ, а вершины – это точки ветвления, либо передачи управления.

10. Динамическое  программирование дает возможность  принять ряд последовательных  решений, обеспечивающих оптимальность  развития процесса в целом.  Метод динамического программирования  часто помогает эффективно решить  задачу, переборный алгоритм для  которой потребовал бы экспоненциального времени. Идея этого метода состоит в сведении исходной задачи к решению некоторых ее подзадач «меньшего размера» и использовании табличной техники для сохранения уже найденных ответов. Решение подзадач при этом происходит в порядке возрастания их размеров – от меньших к большим. Разработал метод динамического программирования Беллман (Bellman) Ричард Эрнест (1920-1984), американский математик (основные его труды по вычислительной математике и теории оптимального управления).

11. Стохастическое  программирование обеспечивает  решение задач со случайными  величинами. Основоположниками теории  случайных процессов являются  Л.Башелье (в 1900 г. рассмотрел  эволюцию стоимостей акций как  случайный процесс) и А.Эейштейн (1905 г. описал броуновское движение взвешенных частиц в жидкости как случайный процесс).  За последние полвека в области применения стохастических методов в экономике получили Нобелевские премии: П.Самуэльсон (1970 г.), ДжТобин (1981 г.), Г.Марковиц и У.Шарп (1990 г., совместно с М.Миллером), Р.Мертон и М.Шоулз (1997 г.).

Модели  и явления, которые содержат в  своей основе случайную компоненту, называются стохастическими. Случайность  рассматривается как специфическая  форма проявления необходимости  в природе, когда параллельно основному изучаемому процессу протекают независимые и неуправляемые сопутствующие процессы, пути развития которых, пересекаясь, суммируются, давая всплески и выбросы случайных компонентов. В основе стохастической теории случайных процессов могут быть положены два различных подхода. Первый из них основан на использовании теории многомерных функций распределения случайных величин и второй – на основе корреляционной теории случайных процессов.

Экономическая система представляет собой вероятностную (стохастическую), динамическую, адаптивную систему, охватывающую процессы производства, обмена, распределения и потребления материальных благ или предоставления различных сервисных услуг. Выходные параметры системы случайным образом зависят от входных параметров. Любая неопределенность и  случайность во входных параметрах в нижних уровнях управления приводит к неопределенностям и случайностям в выходных параметрах подсистем более высокого порядка и системы в целом. Экономическая система – это сложная, многокритериальная, многоуровневая иерархическая структура, которая подвержена влиянию внешних факторов (погодные условия, внешняя политика) и в которой наблюдается преднамеренное искажение информации (сокрытие информации и целенаправленная экономическая диверсия).