Парная линейная и нелинейная регрессия

Содержание

Практическое задание № 1: Парная линейная регрессия

Задание:

На основании статистических данных показателя Y и фактора Х найти оценки коэффициента корреляции, параметров линии регрессии.

Используя критерий Фишера с надежностью р=0,95, оценить адекватность принятой модели статистическим данным.

Если с заданной надежностью принятая математическая модель адекватна экспериментальным данным, то найти:

• с надежностью р=0,95 доверительную зону базисных данных;
• точечную оценку прогноза;
• с надежностью р=0,95 интервальную оценку прогноза;
• оценки коэффициентов эластичности для базисных значений и прогноза;
• оценку индекса корреляции.

Построить графики:

• фактических данных;
• линии регрессии и ее доверительную зону;
• линии эластичности.

Ход работы:

Вводится гипотеза, что между фактором Х и показателем Y существует линейная стохастическая зависимость Y=aX+b.

Оценки параметров a и b парной регрессии вычисляются по формулам

 

Подставляя полученные значения a и b, получаем прогнозные значения показателя Yp.

 

 

 

 

Таблица 1.1 Оценка параметров линейной регрессии

Y	X	Y*X	X^2	Yp	(Y-Yp)^2	(Y-Yc)^2	(X-Xc)^2	Dy	Ymin	Ymax	Kkor	Kel
12,8	2,25	28,800	5,063	13,932	1,281	47,334	9,052	0,857	13,074	14,789	20,700	0,309
13,8	2,98	41,124	8,880	15,326	2,330	34,574	5,192	0,728	14,598	16,055	13,399	0,371
15,1	2,15	32,465	4,623	13,741	1,848	20,976	9,664	0,876	12,865	14,617	14,238	0,299
16,0	2,71	43,360	7,344	14,811	1,415	13,542	6,496	0,774	14,036	15,585	9,379	0,350
16,6	3,70	61,420	13,690	16,702	0,010	9,486	2,429	0,619	16,083	17,321	4,801	0,423
17,6	4,59	80,784	21,068	18,402	0,644	4,326	0,447	0,528	17,875	18,930	1,391	0,477
18,4	4,77	87,768	22,753	18,746	0,120	1,638	0,239	0,517	18,229	19,264	0,625	0,486
19,5	5,34	104,130	28,516	19,835	0,112	0,032	0,007	0,505	19,330	20,340	-0,015	0,514
20,5	5,45	111,725	29,703	20,046	0,207	0,672	0,037	0,507	19,539	20,552	0,157	0,519
21,7	6,00	130,200	36,000	21,096	0,364	4,080	0,550	0,533	20,564	21,629	1,497	0,543
22,1	6,25	138,125	39,063	21,574	0,277	5,856	0,983	0,554	21,020	22,128	2,399	0,553
23,8	6,79	161,602	46,104	22,606	1,426	16,974	2,345	0,616	21,990	23,222	6,309	0,574
24,7	8,24	203,528	67,898	25,376	0,457	25,200	8,888	0,852	24,524	26,228	14,966	0,620
25,5	8,51	217,005	72,420	25,892	0,154	33,872	10,571	0,903	24,989	26,795	18,923	0,628
27,1	9,15	247,965	83,723	27,115	0,000	55,056	15,142	1,029	26,086	28,143	28,874	0,645
	9,78			28,318			20,442	1,157	27,161	29,476		0,660
295,2	78,88	1690,001	486,8454	295,2	10,64484	273,624	72,041773				137,6426
n=	15	Xc=	5,2586667	R=	0,980	Ft=	4,6672
a=	1,911	Yc=	19,68	Fros=	321,163	t(0,95,13)	2,1604
b=	9,633	S=	0,9048942	Kkor=	0,980

 

 

 

Оценим полученные параметры модели.

Для этого по следующим формулам определяем коэффициент детерминации; среднее квадратичное отклонение погрешностей; стандартные погрешности оценок параметров; вычисленный t - критерий каждого параметра; доверительные интервалы для параметров; F - статистику Фишера.

Коэффициент детерминации, который характеризует плотность связи всех независимых сменных с зависимой, равняется

R находится близко к 1, и это  означает, что существует достаточно  плотная связь между статистическими  значениями у, и теоретическими уі*.

После вычисляем расчетное значение критерия Фишера.

F - статистика Фишера, которая проверяет  гипотезу об уровне значимости  связи всех независимых сменных  из зависимой сменной, равняется

Вычисленное значение F - статистики сравнивается с табличным распределением Фишера Fр(k,d), где d = Т - (k + 1) - количество степеней свободы, k – количество факторов.

Для вычисления табличного значения F - статистики Фишера берем уровень надежности р = 0,95, число степеней свободы d = Т-(k + 1) = 15-(1 + 1) = 13 . По таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора по значению уровня надежности, числа факторов и числа степеней свободы находим

Fp(k, Т - (k + 1)) = F0.95 (1,13) = 4,667.

F > Fр(k,d) → 321,16 > 4,67 → зависимость значащая

Так как Fros >Ftab, то с надежностью Р=0,95 можно считать эконометрическую модель адекватной статистическим данным.

 Вычисляем доверительный интервал  для прогнозного значения по  формуле 

Доверительные интервалы для линейной однофакторной модели у* =а0 + а1 х в точках хi, равняются 

Границы значений линейной однофакторной модели равняются

 

Значение коэффициента эластичности для базисных значений и прогноза вычисляется по формуле

Kel=aX/Y

Для наглядного представления расчетов строим графики статистических данных, доверительной зоны для базисных данных и прогноза, график эластичности.

Рисунок 1.1 График линии регрессии

Рисунок 1.2 Линия коэффициента эластичности

Выводы

1. Поскольку Fрасч>Ft, то с надежностью Р=0,95 можно считать, что принятая математическая модель адекватна экспериментальным данным и на основании этой модели можно проводить экономический анализ и находить значения прогноза.
2. Для Хр=9,78 точечная оценка прогноза показателя имеет значение Yp=28,318. С вероятностью Р=0,95 прогноз показателя будет принимать значения в интервале от 27,161 до 29,476.
3. При изменении фактора на единицу показатель изменится на 1,911
4. Для прогнозного значения среднее значение коэффициента эластичности равняется 0,66. Это означает, что изменение фактора на 1% приведет к изменению показателя в среднем на 0,66%.
5. Значение коэффициента эластичности во время увеличения фактора от 1 до 15 изменяется от 0,309 до 0,645.
6. Коэффициент корреляции Ккор=0,98, что говорит о тесной линейной связи фактора и показателя.

Практическое задание №2: Нелинейная парная регрессия

Задание:

На основании статистических данных показателя Y и фактора Х найти оценки параметров линии регрессии, если предположить, что стохастическая зависимость между фактором Х и показателем Y имеет вид:

.

Используя критерий Фишера с надежностью р=0,95, оценить адекватность принятой модели статистическим данным.

Если с заданной надежностью принятая математическая модель адекватна экспериментальным данным, то найти:

• с надежностью р=0,95 доверительную зону базисных данных;
• точечную оценку прогноза;
• с надежностью р=0,95 интервальную оценку прогноза;
• оценки коэффициентов эластичности для базисных значений и прогноза;
• оценку индекса корреляции.

Построить графики:

• фактических данных;
• линии регрессии и ее доверительную зону;
• линии эластичности.

 

Ход работы

Вводится гипотеза, что между фактором Х и показателем Y существует такая стохастическая зависимость: .

Заменой y1=1/y, приводим нелинейную парную регрессию к линейной  . Оценки параметров a и b для данной регрессии определяются по формулам:

,

,

где     .

Для необходимых расчетов удобно использовать пакет Excel. Строим электронную таблицу (см. табл. 1.). Блок входных данных формируется в первых двух колонках (блок a3:b17). В следующих колонках размещается блок промежуточных расчетов. Формула для расчета Yp имеет вид: и записывается в ячейку g3.  Формула для расчета Dy имеет вид: и заносится в ячейку k3. Затем формулы копируем в остальные ячейки столбцов (блоки g3:g17 и k3:k17 соответственно).

Значение рассчитывается в блоке к3:к17. Значения   рассчитываются соответственно в блоках l3:l17, m3:m17.

Оценку доверительного полуинтервала для прогноза рассчитываем в ячейке g17. Границы доверительного интервала находятся в ячейках l17, m17.

.

Коэффициент эластичности для всех значений имеет следующий вид:

и рассчитывается в колонке n3:n17.

Для оценки адекватности принятой модели экспериментальным данным используется критерий Фишера . Его расчетное значение вычисляется в ячейке f21. Значение индекса корреляции рассчитывается в ячейке f20.  

 

 

Таблица 1 Нелинейная парная регрессия (расчёт)

y	x	y1	y1*x	x2	y1p	yр	(y-yp)2	(y-yc)2	(X-Xc)2	Dy	Ymin	Ymax
4,37	1,08	0,229	0,247	1,166	0,210	4,764	0,156	3,166	2,182	0,202	4,562	4,967
4,01	1,53	0,249	0,382	2,341	0,237	4,218	0,043	2,015	1,055	0,192	4,026	4,409
3,29	2,05	0,304	0,623	4,203	0,269	3,724	0,188	0,489	0,257	0,183	3,540	3,907
3,10	2,58	0,323	0,832	6,656	0,301	3,327	0,051	0,259	0,001	0,181	3,146	3,507
3,22	3,02	0,311	0,938	9,120	0,327	3,056	0,027	0,396	0,214	0,183	2,873	3,239
2,99	3,58	0,334	1,197	12,816	0,361	2,769	0,049	0,159	1,046	0,191	2,578	2,961
2,90	4,06	0,345	1,400	16,484	0,390	2,563	0,113	0,096	2,259	0,203	2,360	2,767
2,37	4,56	0,422	1,924	20,794	0,420	2,379	0,000	0,049	4,011	0,219	2,160	2,598
1,87	5,01	0,535	2,679	25,100	0,448	2,234	0,133	0,519	6,017	0,236	1,998	2,470
1,82	5,51	0,549	3,027	30,360	0,478	2,093	0,074	0,594	8,719	0,257	1,836	2,350
1,89	6,06	0,529	3,206	36,724	0,511	1,957	0,004	0,491	12,270	0,282	1,675	2,239
2,28	6,52	0,439	2,860	42,510	0,539	1,856	0,180	0,097	15,704	0,304	1,551	2,160
1,46	7,02	0,685	4,808	49,280	0,569	1,757	0,088	1,278	19,917	0,330	1,427	2,087
1,56	7,53	0,641	4,827	56,701	0,600	1,667	0,011	1,062	24,729	0,356	1,310	2,023
1,73	8,05	0,578	4,653	64,803	0,631	1,584	0,021	0,741	30,171	0,384	1,199	1,968
	8,48				0,657	1,521			35,080	0,408	1,113	1,929
38,86	68,16	6,47	33,60	379,06	6,29	39,95	1,14	11,41	128,55	3,70	36,24	43,65
n=	15		xc=	2,55714	R=	0,94875	Ft=	5,591
a=	0,0605		y1c=	0,29923	Fр=	117,159	t(0,95,7)	2,365
b=	0,1446		S=	0,29609

 

 

 

Для наглядного представления расчетов строим графики статистических данных, доверительной зоны для базисных данных и прогноза, график эластичности (см. рис. 1, 2).

Рисунок 1 График линии регрессии

Рисунок 2 График статистических и расчетных данных

Рисунок 3 График коэффициента эластичности

 

Выводы

1. Поскольку Fрасч>Ft, то с надежностью Р=0,95 можно считать, что принятая математическая модель адекватна экспериментальным данным и на основании этой модели можно проводить экономический анализ и находить значения прогноза.

2. Для Хр=8,48 точечная оценка прогноза показателя имеет значение Yp=1,521. С вероятностью Р=0,95 прогноз показателя будет принимать значения в интервале от 1,113 до 1,929.

3. Для прогнозного значения среднее  значение коэффициента эластичности  равняется 0,337. Это означает, что изменение фактора на 1% приведет к изменению показателя в среднем на 0,337%.

Список литературы

1. Ежеманская С.Н. Эконометрика / Серия «Учебники, учебные пособия», - ростов н/Д: Феникс, 2003. – 160 с.
2. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. Проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАТА, 2003. – 311 с.
3. Орлов А.И. Эконометрика: Учебник для вузов – 2-е изд. Перераб. и доп. / А.И. Орлов – М.: Издательство «Экзамен», 2003 – 576 с.