Критерии Стюдента

1.1. Критерий Стьюдента

t-критерий Стьюдента применяется, когда необходимо сделать статистический вывод, равно ли математическое ожидание M{Х} генеральной совокупности некоторому предполагаемому значению С или ког­да требуется построить доверительный интервал для M{Х}. Обнаруже­но, что случайная величина t (при независимых наблюдениях) распреде­лена по закону Стьюдента, если Х распределена нормально:

где N- общее число наблюдений (объем выборки),

Х - среднее арифметическое случайной переменной Х;

S{Х),  S{X}- среднеквадратическое отклонение соответственно единичных значений Х и среднего арифметического Х.

На рис.1.2 показаны кривые дифференциального закона распределе­ния Ф(t) для различных степеней свободы f=N-1 , по которым вычисляют несмещенную оценку дисперсии S^{2{ Х }   . При сравнитель­но небольших N кривая Ф(t) более пологая, чем нормальный закон распределения Ф(Х). При N-----  кривая Ф(t) приближается к кривой нормированного нормального распределения. Из рис.1.2 видно, что t-распределение симметрично относительно t=0, поэтому в таблицах, где даны критические значения t_{кр = tq,f  для принятого уровня значимости q и имеющегося чис­ла степеней свободы f , задаются только положительные tкр .}}

_{^{Если при расчете t по формуле (1.3) при подстановке в нее вместо М{X} предполагаемого значения С окажется, что t< tкр , то можно сделать вывод о том, что гипотеза М{X} = С    не проти­воречит результатам  наблюдения при принятой уровне значимости q .}}

_{^{В противном случае эта гипотеза отвергается с тем же уровнем значимости q. При этом остается возможность совер­шить ошибку первого рода, т.е. отвергнуть верную гипотезу с вероят­ностью q .                          -}}

_{^{Рассмотрим использование t-критерия Стьюдента для построения доверительного интервала для математического ожидания.}}

_{^{При t=tкр  разность [X - M{Х}] в (1.3) равна половине шири­ны доверительного интервала __ т.е.}}

_{^{Доверительный интервал, в котором с доверительной вероятностью P=I-q находится математическое ожидание M{X} , определяется следующими выражениями:}}

_{^{Поскольку мате­матическое ожидание М{X} есть истинное, объективно существующее неслучайное значение, а границы интервала - случайные величины (за счет наличия в них случайных величин X и S{X}), то правильно будет говорить о том, что доверительный интервал (1.5), (1.6) с ве­роятностью Р = I - q накрывает М {X}.}}

_{^{1.2. Критерий Фишера}}

_{^{Критерий Фишера применяется при проверке гипотезы о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей, распределенных по нормальному закону.}}

_{^{F-критерий Фишера называют дисперсионным отношением, так как он формируется как отношение двух сравниваемых несмещенных оценок дисперсий:}}

_{^{причем в числителе ставится большая из двух дисперсий. Расчетное F сравнивают с _____________, которое находят из таблиц, для степеней свободы  _____________________________________где N1 - число элементов выборки, по который вычислена _______ .}}

_{^{N2 - число элементов выборки, по которым получена оценка дисперсии ________.}}

_{^{Если F<Fкр     , то принимается нулевая гипотеза о равенстве генеральных дисперсий _________________     при принятом уровне значимости q.}}

_{^{На рис. 1.3 показаны кривые распределения _____. Зачернена об­ласть критических значений F .}}

_{^{На практике задача сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить .точность приборов, инструментов или методов измерений. Предпочтительнее тот прибор, инструмент или метод, который обеспечи­вает наименьшее рассеяние результатов измерений, т.е. наименьшую дис­персию.}}

_{^{.     .}}

_{^{Кривые F-распределения Фишера}}

_^Рис.1.3

_{^{Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, т.е. генераль­ные дисперсии одинаковы, то различие несмещенных оценок дисперсий незначимо и объясняется случайными причинами, в частности  случайным отбором объектов выборки. Например, если различие несмещенных оценок дисперсий результатов измерений, выполненных двумя приборами, оказа­лось незначимым, то приборы имеют одинаковую точность.}}

_{^{Если нулевая гипотеза будет отвергнута, т.е. генеральные диспер­сии неодинаковы, то различие несмещенных оценок дисперсий значимо и не может быть объяснено случайными причинами, а является следствием того, что сами генеральные дисперсии различны. Например, если разли­чие _________________   результатов измерений, произведенных двумя приборами, оказалась значимым, то точность приборов различна.}}