Контрольная работа по "Теории вероятности"

Задание 1

В каждой урне по 3 черных и 5 белых шаров. Из первой урны переложен во вторую шар, после чего из второй урны извлечен шар. Определить вероятность того, что он белый.

Решение:

Пусть событие  состоит в том, что из второй урны извлечен белый шар. Гипотезы – «из первой урны во вторую переложили белый шар», – «из первой урны во вторую переложили черный шар».

Найдем вероятности гипотез. Из первой урны, в которой шаров, из них 5 белых, белый шар извлечь можно с вероятностью

.

Аналогично, находим  .

Найдем условные вероятности события при этих гипотезах. Если во вторую урну переложили белый шар, то во второй урне станет всего 9 шаров, из них 6 белых. Следовательно, вероятность извлечь белый шар равна:

 .

Если во вторую урну переложили черный шар, то во второй урне станет всего 9 шаров, из них 4 черных. Следовательно, вероятность извлечь белый шар равна:

 .

Так как гипотезы и - несовместны и образуют полную группу, то для расчета вероятности извлечь из второй урны белый шар,  применяем формулу полной вероятности:

Ответ: .

 

 

 

 

Задание 2

Учебник издан тиражом 10000 экземпляров. Вероятность того, что экземпляр учебника сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найдите вероятность того, что тираж содержит не более одной бракованной книги.

Решение:

Число велико, а вероятность - мала и рассматриваемые события (бракованная книга) независимы, поэтому имеет место формула Пуассона:

.

Найдем  :

.

Вероятность того, что тираж  содержит не более одной бракованной  книги (событие  ), т.е. тираж содержит либо одну бракованную книгу, либо ни одной, равна:

Ответ: .

Задание 3

Закон распределения случайной  величины имеет вид:

	-3	0	1	2	3
	0,3	0,1	0,3	0,2	0,1

Найти . Построить график функции распределения .

Решение:

Математическое ожидание дискретной случайной величины равно:

.

Дисперсия дискретной случайной  величины равна:

Функция распределения дискретной случайной величины определяется формулой

.

При

При .

При .

При .

При .

При .

Таким образом, функция распределения  имеет вид:

Построим график функции  :

Ответ:

 

 

 

 

Задание 4

Задана функция плотности  вероятности непрерывной случайной  величины :

Найти математическое ожидание величины . Найти функцию распределения . Найти параметр .

Решение:

Для начала найдем параметр . Из свойств плотности вероятностей имеем:

Следовательно,

Значит, плотность распределения  имеет вид:

Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно:

Функцию распределения  найдем по ее связи с плотностью вероятностей:

.

При имеем .

При имеем

При имеем

Следовательно, функция распределения  имеет вид:

Ответ: