Контрольная работа по "Економетрия"

Дисперсія:

 

 

Середньоквадратичне відхилення:

 

 

Коефіцієнт кореляції:

 

2) Для y и x₂ :

 

 

 

Дисперсія:

 

 

Середньоквадратичне відхилення:

 

 

Коефіцієнт кореляції:

 

3) Для x₁  и x₂:

 

 

 

Дисперсія:

 

 

Середньоквадратичне відхилення:

 

 

Коефіцієнт кореляції:

 

Матриця парних коефіцієнтів кореляції.

-	y	x1	x2
y	1	0.22	-0.12
x1	0.22	1	0.69
x2	-0.12	0.69	1

Аналіз першого рядка  цієї матриці дозволяє зробити відбір факторних ознак, які можуть бути включені в модель множинної кореляційної залежності. Факторні ознаки, у яких r_yxi < 0.5 виключають з моделі.

Колінеарність – залежність між факторами. В якості критерію мультиколінеарності може бути прийнято дотримання наступних нерівностей:

r(x_jy) > r(x_kx_j) ; r(x_ky) > r(x_kx_j).

Якщо одне з нерівностей  не дотримується, то виключається той  параметр x_k або x_j, зв'язок якого з результативним показником Y виявляється найменш тісною.

Коефіцієнт частинної  кореляції відрізняється від  простого коефіцієнта лінійної парної кореляції тим, що він вимірює  парну кореляцію відповідних  ознак (y i x_i) за умови, що вплив на них інших факторів (x_j) усунуто.

 

- Тіснота зв'язку не сильна.

- Тіснота зв'язку не сильна.

- Тіснота зв'язку не сильна.

- Тіснота зв'язку сильна.

- Тіснота зв'язку не сильна.

- Тіснота зв'язку сильна.

 

3. Аналіз параметрів рівняння регресії.

Перейдемо до статистичного  аналізу отриманого рівняння регресії: перевірці значимості рівняння і  його коефіцієнтів, дослідженню абсолютних і відносних помилок апроксимації.

Для незміщеної оцінки дисперсії  проробимо наступні обчислення: незміщена помилка ε = Y - Y(x) = Y - X*s (абсолютна помилка апроксимації).

 

Y	Y(x)	ε	(Y-Yср)2
9	11.77	-2.77	17.64
10	12.19	-2.19	10.24
14	13.06	0.94	0.64
15	12.19	2.81	3.24
12	12.56	-0.56	1.44
19	15.17	3.83	33.64
13	13.35	-0.35	0.04
11	15.51	-4.51	4.84
14	13.35	0.65	0.64
15	12.86	2.14	3.24
0	0	0	75.6

 

s_e² = (Y - X*s)^T(Y - X*s) = 61.6879

Незміщена оцінка дисперсії дорівнює:

 

Оцінка середньоквадратичного  відхилення дорівнює (стандартна помилка для оцінки Y):

 

Знайдемо оцінку коваріаціонной матриці вектора k = S • (X^TX)^-1:

 

Дисперсії параметрів моделі визначаються співвідношенням S ²_i = K_ii, тобто це елементи, що лежать на головній діагоналі.

З метою розширення можливостей  змістовного аналізу моделі регресії використовуються частинні коефіцієнти еластичності, які визначаються за формулою:

;  

Частинний коефіцієнт еластичності E₁ < 1. Отже, його вплив на результативну ознаку Y незначний.

 

Частинний коефіцієнт еластичності E₂ < 1. Отже, його вплив на результативну ознаку Y незначний.

Тісноту сукупного впливу факторів на результат оцінює індекс множинної кореляції (від 0 до 1).

 

Зв'язок між ознакою Y факторами X  слабкий.

Значимість коефіцієнта  кореляції.

 

По таблиці Стьюдента  знаходимо Tтабл:

T_крит(n-m-1;a) = (7;0.05) = 1.895

Оскільки Tнабл < Tкрит, то приймаємо гіпотезу про рівність 0 коефіцієнта кореляції. Іншими словами, коефіцієнта кореляції статистично - не значущий.

Інтервальна оцінка для коефіцієнта кореляції (довірчий інтервал).

 

Довірчий інтервал для  коефіцієнта кореляції:

r(-0.0599;0.918)

Коефіцієнт детермінації:

R²= 0.43² = 0.1841

тобто в 18.41 % випадків зміни  х призводять до зміни y. Іншими словами - точність підбору рівняння регресії – низька.

 

4. Оцінка значення  результативної ознаки при заданих  значеннях факторів.

Y(0.0,0.0,) = 11.55 + 0.4153 * 0.0-0.8703 * 0.0 = 11.55

Довірчі інтервали з  ймовірністю 0.95 для середнього значення результативної ознаки M(Y).

S² = X₀^T(X^TX)^-1X_0,  де

X₀^T = [ 1  ; 0.0 ; 0.0]

(X^TX)^-1

1.87	-0.0886	-0.0684
-0.0886	0.0134	-0.0217
-0.0684	-0.0217	0.0731

 

X₀ :

1

0

0

 

Множимо матриці, знаходимо S² = 1.87.

 

(Y – t*S_Y ; Y + t*S_Y )

(11.55 – 1.895*4.06 ; 11.55 + 1.895*4.06)

(3.86;19.24)

C ймовірністю 0.95 середнє  значення Y при X_0i знаходиться у зазначених межах.

Довірчі інтервали з  ймовірністю 0.95 для індивідуального  значення результативної ознаки.

 

(11.55 – 1.895*5.03 ; 11.55 + 1.895*5.03)

(2.02;21.08)

C ймовірністю 0.95 індивідуальне  значення Y при X_0i знаходиться у зазначених межах.

5. Перевірка  гіпотез щодо коефіцієнтів рівняння  регресії (перевірка значущості  параметрів множинного рівняння  регресії).

1) t-статистика

T_табл (n-m-1;a) = (7;0.05) = 1.895

 

 

 

Статистична значимість коефіцієнта регресії b₀ підтверджується.

 

 

Статистична значимість коефіцієнта регресії b₁ підтверджується.

 

 

Статистична значимість коефіцієнта регресії b₂ не підтверджується.

Довірчий інтервал для коефіцієнтів рівняння регресії.

Визначимо довірчі інтервали  коефіцієнтів регресії, які з надійність 95% будуть наступними:

(b_i - t_i S_bi; b_i + t_i S_bi)

b₀: (11.553 - 1.895 • 2.3589 ; 11.553 + 1.895 • 2.3589) = (7.0829;16.0231)

b₁: (0.4153 - 1.895 • 0.1993 ; 0.4153 + 1.895 • 0.1993) = (0.0376;0.793)

b₂: (-0.8703 - 1.895 • 0.4657 ; -0.8703 + 1.895 • 0.4657) = (-1.7528;0.0121)

2) F-статистика. Критерій  Фішера

 

 

Табличне значення при  ступенях свободи k₁ = 2 i k₂ = n-m-1 = 7, Fkp(2;7) = 4.74.

Оскільки фактичне значення F < Fkp, то коефіцієнт детермінації статистично  не значущий і рівняння регресії статистично  ненадійно.

 

Задача № 3

 

Використовуючи показники ефективності роботи локомотивного депо, розрахувати параметри моделі степеневої залежності.

Використовуючи метод  екстраполяція знайти прогнозні  дані для наступного року динамічного  ряду.

Показник	Роки
	1	2	3	4	5	6	7
Продуктивність локомотива у вантажному русі, тис. т-км	2319	2335	2355	2367	2350	2380	2386

 

Рішення

 

При виборі виду функції  тренда можна скористатися методом  кінцевих різниць (обов'язковою умовою застосування даного підходу є рівність інтервалів між рівнями ряду).

Кінцевими різницями першого порядку є різниці між послідовними рівнями ряду:

Δ¹_t = Y_t - Y_t-1

Кінцевими різницями  другого порядку є різниці  між послідовними кінцевими різницями 1-го порядку:

Δ²_t = Δ¹_t - Δ¹_t-1

Кінцевими різницями j-го порядку є різниці між послідовними кінцевими різницями (j–1)-го порядку:

Δ^j_t = Δ^j-1_t - Δ^j-1_t-1

Якщо загальна тенденція  виражається лінійним рівнянням Y = a + bt, тоді кінцеві різниці першого  порядку постійні: Δ¹₂ = Δ¹₃ = ... = Δ¹_n, а різниці другого порядку дорівнюють нулю.

Якщо   загальна   тенденція виражається параболою другого  порядку: Y = a+ bt + ct², то отримаємо постійними кінцеві   різниці   другого   порядку: Δ²₃ = Δ²₄ = ... = Δ²_n, нульовими - різниці третього порядку.

Якщо приблизно постійними виявляються темпи зростання, то для вирівнювання застосовується показова функція.

При виборі форми рівняння слід виходити з обсягу наявної інформації. Чим більше параметрів містить рівняння, тим більше має бути спостережень при одній і тій же мірі надійності оцінювання.

Вибір форми кривої може здійснюватися і на основі прийнятого критерію якості рівняння регресії, в якості якого може служити сума квадратів відхилень фактичних значень рівня ряду від значень рівнів, розрахованих за рівнянням тренду.

Із сукупності кривих вибирається та, якій відповідає мінімальне значення критерію. Іншим статистичним критерієм є коефіцієнт множинної детермінації R².

yi	Δ1t	Δ2t	Темп росту
2319	-	-	-
2335	16	-	1.01
2355	20	4	1.01
2367	12	-8	1.01
2350	-17	-29	0.99
2380	30	47	1.01
2386	6	-24	1

 

Ступінь рівняння тренду має вигляд y = a t^b (ln y = ln a + b ln t).

1. Знаходимо  параметри рівняння методом найменших  квадратів.

Система рівнянь МНК:

a₀n + a₁∑t = ∑y

a₀∑t + a₁∑t² = ∑y•t

Для наших даних система  рівнянь має вигляд:

7a₀ + 8.53a₁ = 54.35

8.53a₀ + 13.2a₁  = 66.23

З першого рівняння висловлюємо  а₀ і підставимо в друге рівняння

Отримуємо a₀ = 0.0138, a₁ = 7.75.

Рівняння тренду:

y = 2316.62t^0.0138

Емпіричні коефіцієнти  тренду a i b є лише оцінками теоретичних коефіцієнтів β_i, а саме рівняння відображає лише загальну тенденцію в поведінці розглянутих змінних.

Коефіцієнт тренда b статечної функції є відносний показник сили зв'язку, або коефіцієнт еластичності. Він показує, на скільки відсотків зміниться в середньому значення результативного ознаки при зміні періоду t на 1%.